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第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
函数的概念
毕画H 画母
中 の
t —→ h
温故知新
1、回顾初中学习的函数概念
设在一个变化过程中，有两个变量x与y,如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y是x
的函数，x 叫做自变量.
3、请同学们考虑以下两个问题：
(1)l=4t是和正比例函数 y=4x 一样吗
(2)y=x 与 是同一个函数吗
:
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。 因此，需要从新的高度认识函数，本节课我们 将从集合的角度重新认识函数.
2.你能确定这趟列车运行多长时间前进210km吗
对应关系 范围 范围
S=350t
对于任意时刻t, 都有唯一确定的路程S和它对应
对于数集A={t|O≤t≤0.5}中的任一时刻
在数集B ={S|O≤S≤17.5}中都有唯一确定的路程S和它对应
变量与变量对应— →集合与集合对应
t —→ S A —→ B
创设问题●引出概念
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。 思拷：这段时间“根据对应行关的路程5,(遮趟科酶闽速到350km/h后，运 行单时就前瞒关系她啊表东认为这个说法正确吗
A ={t|0≤t≤ S=350t
B ={S|o≤S≤17.5
自变量的集合 对应关系
函数值的集合
数集A 中的任一时刻t,
对应关系S=350t
)
数集B 中 都有唯一确定的路程S 与它对应
对于任意时刻t, 都有唯—确定的路程S 与它对应
对于
按照
创设问题 · 引出概念
问题2:某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如
果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.
(1)那么怎么确定一个工人一周的所得 d→W
对应关系W=350d
创设问题 · 引出概念
问题2:某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如
果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.
(2)一个人的工资W是他工作d的函数吗
对于任一工作天数d, 都有唯—确定的工资W 和它对应
对应关系W=350d
创设问题 · 引出概念
问题2:某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如 果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.
(3)能否仿造问题1的方式刻画这个函数
对应关系W=350d
对于任一工作天数d, 都有唯—确定的工资W 和它对应
对于任一工作天数d, 都有唯—确定的工资W 与它对应
w=350d
A ={1,2,3,4,5,6} B ={350,700,1050,1400,1750,2100}
自变量的集合 对应关系 函数值的集合
对于数集A 中的任一工作天数d,
按照 对应关系w=350d
数 集B 中都有唯一确定的工资w 与它对应
创设问题 · 引出概念
问题2:某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如
果工资确定的工资标准是每人每天3 50元，而且每周付一次工资.
(4)[问题1]和[问题2]中的函数对应关系相同，你们
按照 对应关系w=350d
数集B 中 都有唯一确定的工资w 与它对应
认为他们是同个函数吗
对于数集A 中的任一工作天数d,
400
(4)[问题1]和[问题2]中的函数对应关系相同，你们 认为他们是同个函数吗
对于数集A 中的任一工作天数d,
你认为影响
按照对应关系w=350d 函数的要素
有哪些
数集B 中都有唯一确定的工资w 与它对应
对应关系
自变量的集合 函数值的集合
创设问题 · 引出概念
问题2:某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如 果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.
问题3.图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index,
)值变 图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数

化
I
I
QI
称A
(A
简
150
图 1 :00 24:0ot
(1)按照图1你认为这里的I是的函数吗
(2)你能仿造前面的方法刻画这个函数吗
你能根据 图找到中 午12时的 AQI的值 吗
对应关系：图 1
北京空气质量指数
I
A ={t|O≤t≤2 图
自变量的集合 对应关系 函数值的集合
函数值的集合
B ={25,50,80,100 B ={T|0≤I≤100} B ={I|0≤I≤150}
对于任一时刻t, 都有唯—确定的与它对应
数集A 中的任一时刻t,
图1所对应的关系
B ={I|0≤I≤150}
函数值所在的集合
对于任一时刻t, 都有唯—确定的与它对应
A ={t|0≤t≤
自变量的集合
数集B 中都有唯一确定的I 与它对应
图1
对应关系
对于
按照
函数值的集合
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r= 食物支出金额/总支出金额)反映一个 地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我 国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的 生活质量越来越高
表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35
28.57
(1)按照图表3.1-1你认为这里的恩格尔系数r是y 的函数吗
(2)你能仿造前面的方法刻画这个函数吗
对应关系：表3.1-1
对于任一年份y, 都有唯一确定的系数r与它对应
自变量的集合
A ={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}
对应关系 表3
函数值的集合
B ={0.3669,0.3681,03817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857}
对于数集A 中的任一年份y,
表3所对应的关系
B {r|0数集B 中 都有唯一确定的r 与它对应
按照
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集 合 函数值的集合
问题1 ={1|0≤t≤0.5} S=350t w=350d f B B ={S|O≤S≤17.5}
问题2 1,2.3,4.5,6.7 数集A B 数 集 B B-1407505
问题3 C (C =B )
问题4 2006,2007,2008, 2009,2010,2011, 2012,2013,2014, 2015 表3 B4{r|0问5:上述4个问题中的函数具有哪些共同特征
在 数集B中都有 唯一确定的数 y 和它对应，
则就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数， f×(x)
记作 y=f(x),x∈A.
一般地，设A,B 是 非空的实数集 ， 如果对于 数集A中的任意 一个实数x, 按照某种 确定的对应关系f ,
{f(x)|x∈A}cB
值域是B的子集
x 叫做自 变 量 ，x 的取值范围构成的集合A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y 值叫做函 数 值，
所有函数值组成的集合{ f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.
函 数 的定 义
函数的三要素
自变量的集合 定义域 对应关系 对应关系f
函数值的集合
值域
尝试练习一
1.下列对应关系能否构成定义在A 到B 上的函数
B A f B B 一对一
中国
美国不
英国是 (6)
1
2
3
(5)
1
2
3
(4)
1
2
3
A
(3)
f
(2)
f
(1)
f
1
2
3
A
不 是
多对一
不是
B A
4
5
6
7
是
是
是
4
5
6
4
5
6
4
5
6
1
2
3
1
2
3
4
6
B
B
A. B. C. D.
2 . 集合M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形，其中能表示 以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是(B).
A. B. C. D.
尝试练习二
1下列四个图象中，不是函数图象的是(B).
3、请同学们考虑以下两个问题：
(1)l=4t是和正比例函数 y=4x 一样吗
(2)y=x 与 是同一个函数吗
函数类型 定义域 对应关系 值域
一次函数 R y=kx+b(k≠0) R
二次函数 R y=ax +bx+c (a≠0) a>0, a<0,
;
反比例函数 B {yly≠0}
旧知新解
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域
例题讲解
【例题】试着构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式 y=x(10-x) 描述
【解】把y=x(10-x) 看成二次函数，那么它的定义域是R,值域是B={y|y≤25}
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0构建如下情景：
长方形的周长为20,设一边长为x, 面积为y, 那么y=x(10-x)
其中，x的取值范围是A={x|0按照某种那个对应关系，Vx∈R,y=1
解决问题(1)y=1 是函数吗
所以y=1是集合A到集合B的一个函数
(第2题)
解(1)设从今日八点起24小时内经过时间t的温度为yC, 则定义域 为{f|0≤≤24},值域为{v|2≤y≤12}.
(2)由图知12时的温度约为9.7℃
P642.2016 年11月2日8时至次日八时，北京的温度走势如图所示。
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域
(2)根据图像求，这一天中，12时所对应的温度
8时 1时 14时 17时 20时 23时 02时 05时 08时
解：由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之
对应，所以f:A→B 是从A到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5}, 值域C={2,3,4,5}
3.集合A,B 与对应关系f, 如图所示，
f:A→B 是否为从集合A到集合B的函数
如果是，那么定义值域与对应关系各是什么
【总结提升】
这节课我们学习了哪些内容，请用框图表示这些知识之间的联系
(即画出知识结构图)
定义域
函数的三要素 值域
对应法则f
函数的符号 已知函数关系
式求函数值
特殊函数的定
义域、值域
函数的概念
素养作业 ·提技能
P67 1,2
P72 2,5,6

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