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第1讲　功与功率
一、功(必二第八章第1节)
1.定义:一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生了一段位移,就说这个力对物体做了功。
2.做功的两个要素
3.功的正负
公式 W=Flcosα (1)α是力与位移方向之间的夹角,l为物体的对地位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。
正功 当0≤α<时,W>0,力对物体做正功。
零功 当α=时,W=0,力对物体不做功。
负功 当<α≤π时,W<0,力对物体做负功,或者说物体克服这个力做功。
提醒:功的正、负不表示方向,也不表示多少。
二、功率(必二第八章第1节)
1.定义
功与完成这些功所用时间的比值。
2.物理意义:描述力对物体做功的快慢。
3.分类
平均功率 物体在一段时间内或某一过程中做功的快慢;
瞬时功率 物体在某一时刻或某一位置时做功的快慢;
额定功率 动力机械可以长时间正常工作的最大功率;
实际功率 动力机械实际工作时输出的功率,要求小于或等于额定功率。
4.计算公式
P= P描述时间t内力平均对物体做功的快慢;
P=Fv ①若v为平均速度,则P为平均功率。 ②若v为瞬时速度,则P为瞬时功率。 ③当力F和速度v不在同一直线上时,可以将力F分解或者将速度v分解。
【质疑辨析】
角度1 功
(1)只要物体受力的同时又发生了位移,则一定有力对物体做功。 (　　)
(2)一个力对物体做了负功,则说明这个力一定阻碍物体的运动。 (　　)
(3)作用力做正功时,反作用力一定做负功。(　　)
(4)合力的功等于各力做功的代数和。 (　　)
(5)力与物体速度间的夹角小于90°,则力做的功大于0。 (　　)
角度2 功率
(6)应用P=既能求某一时刻的瞬时功率,也可以求平均功率。 (　　)
(7)由P=Fv可知,发动机功率一定时,机车的牵引力与运行速度的大小成反比。(　　)
提示:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ (6)×　(7)√
精研考点·提升关键能力
考点一　恒力做功　(核心共研)
【核心要点】
“三看” 判断功的正负
【典例剖析】
角度1 恒力做功分析
[典例1](2023·沈阳模拟)如图所示为某款磁吸式车载手机支架,手机支架本身具有磁性,在手机背面贴上贴片后,手机放在支架上便会被牢牢吸住,两者始终保持相对静止,给司机带来很大方便。若手机面向司机按如图所示角度放置,汽车在水平路面上 (　　)
A.静止时,手机受到三个力的作用
B.沿直线加速前进时,支架对手机的力的方向竖直向上
C.沿直线匀减速前进时,手机受到的合力不断减小
D.沿直线匀速前进时,摩擦力对手机做正功,支持力对手机做负功
角度2 恒力做功计算
[典例2](2023·北京等级考)如图所示,一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m,加速度大小为a,物体和桌面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,在物体移动距离为x的过程中 (　　)
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时,F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
【备选例题】
　　如图所示,一恒力F通过一固定在物体上的滑轮拉物体沿光滑水平面前进了位移s,在运动过程中,F与水平方向夹角保持为θ,则拉力对物体所做的功为(　　)
A.Fscosθ B.2Fscosθ
C.Fs(1+cosθ) D.Fscos2
考点二　变力做功　(核心共研)
【核心要点】
“四法”求解变力做的功
方法 情境图 注释
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动 运动一周克服摩擦力做功 Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+… =Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·2πR
等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B 绳子对物块做功 W=F·(-)
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0 在F-x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正功,位于x轴下方的“面积”为负功。
平均 值法 外力推动物块缓慢压缩轻质弹簧,使其向左移动Δx 力与位移为线性关系,力做功W=Δx=Δx,可得出弹簧弹性势能表达式为Ep=k(Δx)2
【典例剖析】
角度1 微元法求解变力做功
[典例3](2023·三亚模拟)水平桌面上,长6 m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面、大小不变的力F=10 N,F拉着小球从M点运动到N点,F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,g取10 m/s2,sin37°=0.6,
cos37°=0.8,则下列说法正确的是 (　　)
A.拉力F对小球做的功为16π(J)
B.拉力F对小球做的功为8π(J)
C.小球克服摩擦力做的功为16π(J)
D.小球克服摩擦力做的功为4π(J)
角度2 图像法求变力做功
[典例4](2023·大庆模拟)一质量为2 kg的物体,在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动,当运动一段时间后拉力逐渐减小,且当拉力减小到零时,物体刚好停止运动。图中给出拉力随位移变化的关系图像,则根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(g取10 m/s2) (　　)
A.物体与水平面间的动摩擦因数为μ=0.25
B.物体在8 m处的加速度为a=4 m/s2
C.整个过程中拉力做功为96 J
D.合力做的功为-32 J
角度3 平均值法求变力做功
[典例5](一题多解)(2023·厦门模拟)木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁,每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比,木匠砸击4次,就把一枚长为L的钉子全部砸进木梁,那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是(　　)
A. B.
C. D.
【备选例题】
　　如图1所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示,图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为 (　　)
A.0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.
考点三　功率分析和计算　(核心共研)
【核心要点】
1.“先判后算”求功率
2.“两类”机车的启动问题
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像 和v-t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F=↓ a=↓ a=不变 F不变,v↑ P=Fv↑直到P=P额=Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动,持续时间t0=
AB 段 过程 分析 F=F阻 a=0 vm= v↑ F=↓ a=↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 - F=F阻 a=0 以vm=做匀速直线运动
共同规律 P=Fv　a=　vm=
提醒:解决机车启动问题时,首先要分清是哪一类启动,然后注意所研究的问题处于哪个阶段,同时注意匀加速过程的最大速度v'和全程的最大速度vm的区别和求解方法。
【典例剖析】
角度1 平均功率与瞬时功率
[典例6](2023·山东等级考)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径均为R的水轮,以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布,单位长度上有n个,与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水,其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g,则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 (　　)
A. B.
C. D.nmgωRH
角度2 机车恒P启动
[典例7](2023·西安模拟)新一代航拍无人机(图甲)空载时机身不足250 g,轻小便携,工作时旋翼转动获得向上的牵引力。在某次航拍活动中,无人机载重启动,以额定功率竖直上升并达到最大速度,其加速度a与速度倒数的关系图像如图乙所示。已知无人机机身及载重总质量为2.5 kg,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)无人机升力提供的功率;
(2)无人机上升的最大速度。
角度3 机车恒a启动
[典例8](2022·浙江6月选考)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置,把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台,先加速再匀速,最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动,到达平台速度刚好为零,g取10 m/s2,则提升重物的最短时间为 (　　)
A.13.2 s B.14.2 s
C.15.5 s D.17.0 s
【备选例题】
　　(多选)(2020·天津等级考)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能,成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车,初速度为v0,以恒定功率P在平直轨道上运动,经时间t达到该功率下的最大速度vm,设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内 (　　)
A.做匀加速直线运动
B.加速度逐渐减小
C.牵引力的功率P=Fvm
D.牵引力做功W=m-m
答案及解析
考点一　恒力做功　
【典例剖析】
角度1 恒力做功分析
[典例1](2023·沈阳模拟)如图所示为某款磁吸式车载手机支架,手机支架本身具有磁性,在手机背面贴上贴片后,手机放在支架上便会被牢牢吸住,两者始终保持相对静止,给司机带来很大方便。若手机面向司机按如图所示角度放置,汽车在水平路面上 (　　)
A.静止时,手机受到三个力的作用
B.沿直线加速前进时,支架对手机的力的方向竖直向上
C.沿直线匀减速前进时,手机受到的合力不断减小
D.沿直线匀速前进时,摩擦力对手机做正功,支持力对手机做负功
【解析】选D。如图甲所示,汽车在水平路面上处于静止状态,手机受力平衡,受到重力mg、支架的支持力N、摩擦力f以及磁片的吸引力F四个力的作用,故A错误;如图乙所示,汽车在水平路面上沿直线加速前进时,支架对手机的力F支架和手机的重力mg的合力F合指向前进的水平方向,故支架对手机的力F支架不可能竖直向上,故B错误;汽车做匀减速直线运动时,手机的加速度为一定值,故其合力
F合也为定值,故C错误;如图丙所示,汽车匀速直线前进时,摩擦力方向与位移方向夹角为锐角,故摩擦力对手机做正功,支持力方向与位移方向夹角为钝角,故支持力对手机做负功,故D正确。
角度2 恒力做功计算
[典例2](2023·北京等级考)如图所示,一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m,加速度大小为a,物体和桌面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,在物体移动距离为x的过程中 (　　)
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时,F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
【解析】选D。设力F与水平方向的夹角为θ,则摩擦力为f=μ(mg-Fsinθ),摩擦力做的功Wf=μ(mg-Fsinθ)x,即摩擦力做的功与F的方向有关,选项A错误;合力做的功W=F合x=ma·x,可知合力做功与力F方向无关,选项B错误;当力F水平时,则F=ma+μmg,力F做功为WF=Fx=(ma+μmg)x,选项C错误;因合外力做功为max,大小一定,而合外力做的功等于力F与摩擦力f做功的代数和,而当Fsinθ=mg时,摩擦力f=0,则此时摩擦力做功为零,此时力F做功最小,最小值为max,选项D正确。
【方法技巧】 求解恒力做功的思路
警示:求力做功时要判断各个力做功的正、负,求和时不能丢掉正负号。
【备选例题】
　　如图所示,一恒力F通过一固定在物体上的滑轮拉物体沿光滑水平面前进了位移s,在运动过程中,F与水平方向夹角保持为θ,则拉力对物体所做的功为(　　)
A.Fscosθ B.2Fscosθ
C.Fs(1+cosθ) D.Fscos2
【解析】选C。绳上的拉力大小等于F,定滑轮受到两侧绳的拉力作用,其做的总功等于拉力F对物体所做的功,即W=Fscosθ+Fs=Fs(1+cosθ),故选C。
考点二　变力做功
【典例剖析】
角度1 微元法求解变力做功
[典例3](2023·三亚模拟)水平桌面上,长6 m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面、大小不变的力F=10 N,F拉着小球从M点运动到N点,F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,g取10 m/s2,sin37°=0.6,
cos37°=0.8,则下列说法正确的是 (　　)
A.拉力F对小球做的功为16π(J)
B.拉力F对小球做的功为8π(J)
C.小球克服摩擦力做的功为16π(J)
D.小球克服摩擦力做的功为4π(J)
【关键点拨】 F的大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以可以将圆弧分成很多小段,每小段看成直线运动,再将它们求和即可。
【解析】选A。将圆弧分成很多小段l1,l2,…ln,拉力F在每小段上做的功为W1,W2,…Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos37°,W2=Fl2cos37°,…Wn=Flncos37°,故WF=W1+W2+…+Wn=Fcos37°(l1+l2+…+ln),即WF=Fcos37°·=16π(J),故A正确,B错误;同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·=8π(J),故C、D错误。
角度2 图像法求变力做功
[典例4](2023·大庆模拟)一质量为2 kg的物体,在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动,当运动一段时间后拉力逐渐减小,且当拉力减小到零时,物体刚好停止运动。图中给出拉力随位移变化的关系图像,则根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(g取10 m/s2) (　　)
A.物体与水平面间的动摩擦因数为μ=0.25
B.物体在8 m处的加速度为a=4 m/s2
C.整个过程中拉力做功为96 J
D.合力做的功为-32 J
【题眼破译】——提升信息转化能力
【解析】选D。物体做匀速运动时,受力平衡,则f=F=8 N,所以有μ==,解得μ=0.4,故A错误;由题图可知在8 m处拉力大小为4 N,根据牛顿第二定律可知此时有F-f=ma,代入数据可得a=-2 m/s2,故B错误;F-s图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功,即WF=(8×4+×8×8) J=64 J,滑动摩擦力做的功Wf=-μmgx,解得Wf=-96 J,所以合力做的功为W合=WF+Wf=64 J+(-96 J)=-32 J,故C错误,D正确。
角度3 平均值法求变力做功
[典例5](一题多解)(2023·厦门模拟)木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁,每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比,木匠砸击4次,就把一枚长为L的钉子全部砸进木梁,那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B。
方法一:设每次砸击对铁钉做的功为W,钉子所受阻力与其进入木梁中深度的比值为k,他第1锤将铁钉砸进木梁的深度为d,根据题意可得:W=d,4W=L,解得d=,故选B。
方法二:作出钉子所受阻力与进入深度的关系图,可知前一半深度与后一半深度过程中,阻力做功之比为1∶3,由题意可知,每次砸锤,锤对钉做功相同,将钉全部砸进木梁需要砸4次,则第1锤将铁钉砸进木梁的深度是,故选B。
【备选例题】
　　如图1所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示,图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为 (　　)
A.0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.
【解析】选C。在F-x图像中,图线与x轴所围面积的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,面积W=S===Fm·=Fmx0=,故选C。
考点三　功率分析和计算
【典例剖析】
角度1 平均功率与瞬时功率
[典例6](2023·山东等级考)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径均为R的水轮,以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布,单位长度上有n个,与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水,其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g,则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 (　　)
A. B.
C. D.nmgωRH
【解析】选B。每个水筒中水的重力为G=mg
水筒的线速度为v=ωR
t时间内,装水的水筒个数为N=nvt=nωRt
筒车对灌入稻田的水做功的功率为P===,故B正确,A、C、D错误。
角度2 机车恒P启动
[典例7](2023·西安模拟)新一代航拍无人机(图甲)空载时机身不足250 g,轻小便携,工作时旋翼转动获得向上的牵引力。在某次航拍活动中,无人机载重启动,以额定功率竖直上升并达到最大速度,其加速度a与速度倒数的关系图像如图乙所示。已知无人机机身及载重总质量为2.5 kg,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)无人机升力提供的功率;
答案:(1)24 W
【解析】(1)电动机输出功率P机=Fv
对无人机应用牛顿第二定律得F-mg-f=ma
解得:a=·-(g+)
结合a -图像可得斜率k== W/kg=9.6 W/kg
解得:P机=24 W
(2)无人机上升的最大速度。
答案: (2)0.8 m/s
【解析】(2)无人机达到最大速度时,a=0,由题图乙可得=k=9.6 W/kg,
解得:vm=0.8 m/s
角度3 机车恒a启动
[典例8](2022·浙江6月选考)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置,把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台,先加速再匀速,最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动,到达平台速度刚好为零,g取10 m/s2,则提升重物的最短时间为 (　　)
A.13.2 s B.14.2 s
C.15.5 s D.17.0 s
【思维流程】
【解析】选C。为了以最短时间提升重物,一开始先以最大拉力拉重物匀加速上升,当功率达到额定功率时,保持功率不变直到重物达到最大速度,接着做匀速运动,最后以最大加速度匀减速上升至平台速度刚好为零,重物在第一阶段匀加速上升过程,根据牛顿第二定律可得a1== m/s2=5 m/s2,当功率达到额定功率时,设重物的速度为v1,则有v1== m/s=4 m/s,此过程所用时间和上升高度分别为t1== s=0.8 s,h1== m=1.6 m,重物以最大速度匀速运动时,有vm=== m/s=6 m/s,重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为t3== s=1.2 s,h3== m=3.6 m,设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为t2,该过程根据动能定理可得P额t2-mgh2=m-m,又h2=85.2 m-1.6 m-3.6 m=80 m,联立解得t2=13.5 s,故提升重物的最短时间为tmin=t1+t2+t3=0.8 s+13.5 s+1.2 s=15.5 s,C正确,A、B、D错误。
【备选例题】
　　(多选)(2020·天津等级考)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能,成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车,初速度为v0,以恒定功率P在平直轨道上运动,经时间t达到该功率下的最大速度vm,设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内 (　　)
A.做匀加速直线运动
B.加速度逐渐减小
C.牵引力的功率P=Fvm
D.牵引力做功W=m-m
【解析】选B、C。由题可知,动车的启动方式为恒定功率启动,由公式P=F牵v,
F牵-F=ma可知启动过程中v增大,F牵减小,所以动车的运动为加速度减小的加速运动,故A错误,B正确;因为当F牵=F时匀速,动车速度最大为vm=,故P=Fvm,故C正确;由动能定理可知:W牵-W阻=m-m,故D错误。

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