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第2讲　机械能守恒定律
一、重力势能与弹性势能(必修二第八章第2节)
1.重力做功与重力势能
重力做功的特点 ①重力做功与路径无关,只与始末位置的高度差有关。 ②重力做功不引起物体机械能的变化
重力势能 ①表达式:Ep=mgh。 ②重力势能的特点 重力势能是物体和地球所共有的,重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化与参考平面的选取无关
重力做功与重力势能变化的关系 重力对物体做正功,重力势能减小;重力对物体做负功,重力势能增大,即WG=Ep1-Ep2=-ΔEp
2.弹性势能
定义 发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能
弹力做功与弹性势能变化的关系 弹力做正功,弹性势能减小;弹力做负功,弹性势能增大,即W=-ΔEp
提醒:弹簧弹性势能表达式Ep=kx2,其中k表示弹簧的劲度系数,x表示形变量。
二、机械能守恒定律(必修二第八章第4节)
1.内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。
2.表达式:mgh1+m=mgh2+m。
【质疑辨析】
角度1 重力势能与弹性势能
(1)被举到高处的物体重力势能一定大于零。(　　)
(2)重力势能的变化与零势能参考平面的选取无关。 (　　)
(3)重力做功与物体通过的路程有关。 (　　)
(4)弹簧弹力做负功时,弹性势能减小。 (　　)
角度2 机械能守恒定律
(5)物体所受的合外力为零,物体的机械能一定守恒。 (　　)
(6)物体的速度增大时,其机械能可能减小。(　　)
(7)物体除受重力外,还受其他力,但其他力不做功,则物体的机械能一定守恒。(　　)
提示:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×(6)√　(7)√
精研考点·提升关键能力
考点一　机械能守恒的判断　(核心共研)
【核心要点】
“四个”角度理解机械能守恒定律成立的条件
【典例剖析】
角度1单个物体机械能守恒的判断
[典例1](多选)(2023·广州模拟)航天员在地面模拟失重训练的一种方式是在水下进行(如图)。航天员需要穿水槽训练航天服浸没在水中,通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等,假设其总质量为m,训练空间的重力加速度为g且不变,在某次出舱作业过程中,给自己一个初速度后竖直向上匀速上浮的距离为h,以下说法正确的是 (　　)
A.航天员所受的合力为零,合力不做功,其机械能守恒
B.上升h的过程中,动能不变
C.上升h的过程中,重力势能减小了mgh
D.上升h的过程中,机械能增加了mgh
角度2 多个物体机械能守恒的判断
[典例2]
(2023·徐州模拟)如图所示,光滑半圆弧槽静止在光滑的水平面上,一滑块从槽顶端A处由静止下滑,滑至槽最低点上方的某点B时速度达到最大,则滑块运动到B点时 (　　)
A.圆弧槽速度也达到最大值
B.滑块和槽组成的系统总动能最大
C.滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率
D.重力对滑块做功的功率大于滑块克服支持力做功的功率
角度3 机械能变化
[典例3](多选)(2023·南阳模拟)如图甲所示,小物块(可以看成质点)以一定的初速度从倾角为α=30°的斜面底端A点沿斜面向上运动。选择地面为参考平面,上滑过程中,物块的机械能E随物块离A点距离x的变化关系如图乙所示。小物块上滑时离A最远距离为4 m,重力加速度大小g取10 m/s2,则 (　　)
A.物块的质量m=2 kg
B.物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.3
C.物块上滑过程中的加速度大小a=10 m/s2
D.物块回到斜面底端时的速度大小为4 m/s
【备选例题】
　　(多选)(2023·宜昌模拟)如图所示,轻弹簧下端固定在水平地面上,一质量为m的小球从弹簧的正上方O点由静止释放,小球在A点开始接触弹簧,到达B点时弹簧弹力与小球重力大小相等,小球到达C点时速度减为零,不计空气阻力,弹簧始终在弹性限度内,则 (　　)
A.整个运动过程中小球机械能守恒
B.以弹簧和小球为系统,系统的机械能守恒
C.小球运动到A点时,其动能最大
D.小球运动到B点时,其重力的瞬时功率最大
考点二　单个物体机械能守恒问题　(核心共研)
【核心要点】
三种表达式
提醒:在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点,转化观点不用选取零势能面。
【典例剖析】
角度1 质点类
[典例4](2023·成都模拟)游乐场的过山车项目,虽惊险刺激,但安全事故时有发生,若游客未系好安全带,后果将不堪设想。如图所示为某同学进行的模拟探究:过山车轨道均在竖直平面内,一质量为m=50 kg的游客乘坐过山车从左边第一个峰点P静止出发,无动力沿轨道运动,先后经过半径为RA=10 m的圆轨道最低点A和半径为RB=15 m 的圆轨道最高点B。已知P、A的高度差为h1=30 m,A、B的高度差为h2=20 m,两圆轨道之间是与圆轨道分别相切的倾斜直轨道,游客可视为质点,不计摩擦阻力和空气阻力,重力加速度大小取g=10 m/s2。
(1)求游客在A点对座椅的压力大小;
(2)若游客未系安全带,则他可能在半径为RB的圆轨道上某处被抛出。试通过计算判断游客能否沿轨道到达B点。
角度2 非质点类
[典例5](2023·南宁模拟)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上,另一半悬在桌边,桌面足够高,如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端,如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑,三种情况均由静止释放,当整根链条刚离开桌面时,关于它们的速度关系,下列判断正确的是(　　)
A.v甲=v乙=v丙　 B.v甲C.v丙>v甲>v乙 D.v乙>v甲>v丙
【备选例题】
　　如图所示,有一根长为L,质量为M的均匀链条AB静止在光滑水平桌面上,其长度的悬于桌边外。如果在链条的A端施加一个拉力使链条AB以0.2g(g为重力加速度)的加速度运动,直到把悬着的部分拉回桌面。设拉动过程中链条与桌边始终保持接触,则拉力需做功 (　　)
A. B.
C. D.
考点三　系统机械能守恒问题　(核心共研)
【核心要点】
三种常见物体系统机械能守恒
1.轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见情景
三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒
2.轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
模型 特点 ①平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能一般不守恒。 ③对于杆和物体组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒
3.轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
常见情景
模型特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒
两点提醒 ①对同一弹簧,弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大
【典例剖析】
角度1 轻绳连接的物体系统机械能守恒
[典例6]
(多选)(2023·成都模拟)如图所示,将一根光滑的硬质金属导线制成四分之一圆弧轨道AB①后固定在竖直平面内,O1为轨道的圆心,O1B水平。质量为m的细圆环P套在轨道上,足够长的轻质细绳绕过光滑的细小定滑轮O2、O3分别连接圆环P与另一质量也为m的小球Q②,AO1BO2为一边长为R的正方形。若将细圆环P从圆弧轨道的最高点A由静止释放,圆环P在细绳拉动下将沿轨道运动。已知重力加速度为g,空气阻力忽略不计①,则细圆环P下滑至B点的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.小球Q的机械能先增加后减少
B.细圆环P的机械能先减少后增加
C.小球Q的速度为零时,细圆环P的速度大小为
D.细圆环P运动到B点时,圆弧轨道对圆环P的弹力大小为mg
角度2 轻杆连接的物体系统机械能守恒
[典例7](多选)(2023·白山模拟)如图所示,可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动的刚性轻质支架①两端分别固定质量为5m、6m的小球A、B。支架两条边的长度均为L②,用手将B球托起至与转轴O等高,此时连接A球的细杆与竖直方向的夹角为θ,sinθ=0.6,重力加速度大小为g,现突然松手,两小球在摆动的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.A球与转轴O等高时的动能为mgL
B.B球下降的最大高度为L
C.A球的最大动能为mgL
D.B球的最大动能为mgL
角度3 轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
[典例8](2023·成都模拟)如图,圆心为O1的光滑半圆环固定于竖直面,轻弹簧上端固定在O1正上方的O2点,c是O1O2和圆环的交点;将系于弹簧下端且套在圆环上的小球从a点静止释放,此后小球在a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长,在c点时弹簧被压缩, aO1⊥aO2。则下列判断正确的是 (　　)
A.小球在b点受到的合力为零
B.弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量
C.弹簧处于原长时,小球的速度最大
D.在a、b之间,小球机械能最大的位置有两处
【备选例题】
　　(多选)(2023·朔州模拟)如图所示,长度为R的轻杆上等距离固定质量均为m的n个小球,轻杆一端连接转动点O,将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放,忽略一切阻力,重力加速度为g,则从释放到轻杆摆至竖直位置的过程中是 (　　)
A.n=1时,轻杆对小球不做功
B.n=2时,轻杆对第1个小球做功为mgR
C.n=10时,轻杆对第7个小球不做功
D.当轻杆对第k个小球做正功时,应满足k>
答案及解析
考点一　机械能守恒的判断
【典例剖析】
角度1单个物体机械能守恒的判断
[典例1](多选)(2023·广州模拟)航天员在地面模拟失重训练的一种方式是在水下进行(如图)。航天员需要穿水槽训练航天服浸没在水中,通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等,假设其总质量为m,训练空间的重力加速度为g且不变,在某次出舱作业过程中,给自己一个初速度后竖直向上匀速上浮的距离为h,以下说法正确的是 (　　)
A.航天员所受的合力为零,合力不做功,其机械能守恒
B.上升h的过程中,动能不变
C.上升h的过程中,重力势能减小了mgh
D.上升h的过程中,机械能增加了mgh
【解析】选B、D。航天员在上升过程中,根据题意,由平衡条件可得F浮=mg,浮力向上,位移向上,浮力对其做正功,所做功为W浮=mgh;而若只有重力做功,机械能守恒,但该过程除重力做功外,浮力做正功,因此机械能增加了mgh,故A错误,D正确;匀速上升过程动能不变,故B正确;上升h的过程,重力势能增加了mgh,故C错误。
角度2 多个物体机械能守恒的判断
[典例2]
(2023·徐州模拟)如图所示,光滑半圆弧槽静止在光滑的水平面上,一滑块从槽顶端A处由静止下滑,滑至槽最低点上方的某点B时速度达到最大,则滑块运动到B点时 (　　)
A.圆弧槽速度也达到最大值
B.滑块和槽组成的系统总动能最大
C.滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率
D.重力对滑块做功的功率大于滑块克服支持力做功的功率
【解析】选C。滑块运动到B点时,对圆弧槽的压力斜向左下方,有水平向左的分力,圆弧槽继续向左加速,圆弧槽速度没有达到最大值,A错误;滑块和槽组成的系统机械能守恒,滑块运动至最低点时,系统重力势能最小,由滑块和槽组成的系统总动能最大,B错误;在B点取一很短时间Δt,对滑块分析,由动能定理得P支·Δt-
P重·Δt=ΔEk,可得P支-P重==0,则有P支=P重,可知滑块克服支持力做功的功率等于重力对滑块做功的功率,根据槽对滑块的支持力与滑块对槽的压力是作用力与反作用力关系,可知滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率,C正确,D错误。
【方法技巧】 三种方法判断机械能守恒
提醒:系统机械能守恒时系统与外界没有能量交换,其中的单个物体机械能通常不守恒。
角度3 机械能变化
[典例3](多选)(2023·南阳模拟)如图甲所示,小物块(可以看成质点)以一定的初速度从倾角为α=30°的斜面底端A点沿斜面向上运动。选择地面为参考平面,上滑过程中,物块的机械能E随物块离A点距离x的变化关系如图乙所示。小物块上滑时离A最远距离为4 m,重力加速度大小g取10 m/s2,则 (　　)
A.物块的质量m=2 kg
B.物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.3
C.物块上滑过程中的加速度大小a=10 m/s2
D.物块回到斜面底端时的速度大小为4 m/s
【题眼破译】——提升信息转化能力
【解析】选A、D。上升到最高点时物块的机械能等于重力势能,则E2=40 J=mgh,解得m=== kg=2 kg,故A正确;机械能的变化量等于除重力外的其他力所做的功,故满足ΔE=μmgcosα·x,其中ΔE=64 J-40 J=24 J,解得μ==,故B错误;上滑过程中由牛顿第二定律可得mgsinα+μmgcosα=ma,解得a=8 m/s2,故C错误;下滑过程中由牛顿第二定律可得mgsinα-μmgcosα=ma',解得a'=2 m/s2,由运动学公式可得v'2=2a'x,解得v'=4 m/s,故D正确。
【备选例题】
　　(多选)(2023·宜昌模拟)如图所示,轻弹簧下端固定在水平地面上,一质量为m的小球从弹簧的正上方O点由静止释放,小球在A点开始接触弹簧,到达B点时弹簧弹力与小球重力大小相等,小球到达C点时速度减为零,不计空气阻力,弹簧始终在弹性限度内,则 (　　)
A.整个运动过程中小球机械能守恒
B.以弹簧和小球为系统,系统的机械能守恒
C.小球运动到A点时,其动能最大
D.小球运动到B点时,其重力的瞬时功率最大
【解析】选B、D。小球接触弹簧后,小球的机械能转化为弹簧的弹性势能,小球机械能减少,故A错误;以弹簧和小球为系统,只有重力和弹簧弹力做功,则系统的机械能守恒,故B正确;小球从A运动到B的过程中,由于小球的重力大于弹簧的弹力,故小球从A到 B的过程中做加速度减小的加速运动,小球运动到B点时,速度最大,动能最大,其重力的瞬时功率最大,故C错误,D正确。
考点二　单个物体机械能守恒问题
【典例剖析】
角度1 质点类
[典例4](2023·成都模拟)游乐场的过山车项目,虽惊险刺激,但安全事故时有发生,若游客未系好安全带,后果将不堪设想。如图所示为某同学进行的模拟探究:过山车轨道均在竖直平面内,一质量为m=50 kg的游客乘坐过山车从左边第一个峰点P静止出发,无动力沿轨道运动,先后经过半径为RA=10 m的圆轨道最低点A和半径为RB=15 m 的圆轨道最高点B。已知P、A的高度差为h1=30 m,A、B的高度差为h2=20 m,两圆轨道之间是与圆轨道分别相切的倾斜直轨道,游客可视为质点,不计摩擦阻力和空气阻力,重力加速度大小取g=10 m/s2。
(1)求游客在A点对座椅的压力大小;
答案:(1)3 500 N
【解析】(1)游客从P点到A点,由机械能守恒定律有mgh1=m
在A点,游客受重力和座椅支持力作用,由牛顿第二定律有FA-mg=m
联立并代入数据求解得FA=3 500 N
由牛顿第三定律解得游客在A点对座椅的压力大小为FA'=FA=3 500 N
(2)若游客未系安全带,则他可能在半径为RB的圆轨道上某处被抛出。试通过计算判断游客能否沿轨道到达B点。
答案: (2)见解析
【解析】(2)假设游客能从P点经A点到B点,由机械能守恒定律有mg(h1-h2)=m
代入数据可得游客在B点的速度为vB=10 m/s
在B点,由牛顿第二定律有mg-FB=m
代入数据得FB=- N
因FB=- N<0,假设不成立
游客将在B点左侧圆轨道上某处被抛出,不能到达B点。
【思维流程】
【方法技巧】 求解单个物体机械能守恒问题的一般步骤
角度2 非质点类
[典例5](2023·南宁模拟)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上,另一半悬在桌边,桌面足够高,如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端,如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑,三种情况均由静止释放,当整根链条刚离开桌面时,关于它们的速度关系,下列判断正确的是(　　)
A.v甲=v乙=v丙　 B.v甲C.v丙>v甲>v乙 D.v乙>v甲>v丙
【关键点拨】 对于非质点类物体机械能守恒问题,关键在于找到物体各部分重心的变化情况。
【解析】选D。三种情况下所研究的系统机械能守恒,由-ΔEp =ΔEk得,对于甲有mg×+mg×=m,解得v甲=,对于乙有mg×+mg×+mg×=×2m,解得v乙=,对于丙有mg×+mg×=×2m,解得v丙=,则v乙>v甲>v丙,故选D。
【备选例题】
　　如图所示,有一根长为L,质量为M的均匀链条AB静止在光滑水平桌面上,其长度的悬于桌边外。如果在链条的A端施加一个拉力使链条AB以0.2g(g为重力加速度)的加速度运动,直到把悬着的部分拉回桌面。设拉动过程中链条与桌边始终保持接触,则拉力需做功 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D。根据题意,由运动学公式v2-=2ax可得,把悬着的部分拉回桌面时,链条的速度为v==,设拉力需做功为W,由动能定理有W-Mg·L=Mv2,解得W=MgL,故选D。
考点三　系统机械能守恒问题
【典例剖析】
角度1 轻绳连接的物体系统机械能守恒
[典例6]
(多选)(2023·成都模拟)如图所示,将一根光滑的硬质金属导线制成四分之一圆弧轨道AB①后固定在竖直平面内,O1为轨道的圆心,O1B水平。质量为m的细圆环P套在轨道上,足够长的轻质细绳绕过光滑的细小定滑轮O2、O3分别连接圆环P与另一质量也为m的小球Q②,AO1BO2为一边长为R的正方形。若将细圆环P从圆弧轨道的最高点A由静止释放,圆环P在细绳拉动下将沿轨道运动。已知重力加速度为g,空气阻力忽略不计①,则细圆环P下滑至B点的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.小球Q的机械能先增加后减少
B.细圆环P的机械能先减少后增加
C.小球Q的速度为零时,细圆环P的速度大小为
D.细圆环P运动到B点时,圆弧轨道对圆环P的弹力大小为mg
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①细圆环P与小球Q组成的系统机械能守恒;
信息②细圆环P与小球Q沿细绳方向的分速度相等。
【解析】选C、D。在细圆环P下滑至B点的过程中,小球Q先向下运动,后向上运动,细绳拉力对Q先做负功后做正功,因此小球Q的机械能先减少后增加,A错误;细绳拉力对细圆环P先做正功后做负功,因此细圆环P的机械能先增加后减少,B错误;根据速度的合成与分解可知,细圆环P的速度沿细绳方向的分量大小等于Q的速度大小,当小球Q的速度为零时,细圆环P的速度方向与细绳垂直,根据几何关系可知,此时细绳与水平方向的夹角为45°,根据机械能守恒定律有mg[R-(R-R)]+mg(R-Rcos45°)=m,解得vP=,C正确;细圆环P运动到B点时,P、Q的速度大小相等,设为v,根据机械能守恒定律可得mgR=·2mv2,在B点,对细圆环P有N=,解得圆弧轨道对圆环P的弹力大小N=mg,D正确。
角度2 轻杆连接的物体系统机械能守恒
[典例7](多选)(2023·白山模拟)如图所示,可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动的刚性轻质支架①两端分别固定质量为5m、6m的小球A、B。支架两条边的长度均为L②,用手将B球托起至与转轴O等高,此时连接A球的细杆与竖直方向的夹角为θ,sinθ=0.6,重力加速度大小为g,现突然松手,两小球在摆动的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.A球与转轴O等高时的动能为mgL
B.B球下降的最大高度为L
C.A球的最大动能为mgL
D.B球的最大动能为mgL
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①小球A与小球B组成的系统机械能守恒;
信息②小球A与小球B转动的角速度相等,线速度也相等。
【解析】选B、C、D。根据题意知A、B两球共轴转动,无论何时两球的角速度均相同,二者的转动半径相同则线速度大小也相等。设A球与转轴O等高时的速度为v,由系统的机械能守恒定律有6mgLcosθ-5mgLcosθ=×5mv2+×6mv2,解得v=,则A球与转轴O等高时的动能为Ek=×5mv2=mgL,故A错误;根据题意,当小球B下降到最低点时,小球A、B的速度为零,设小球B向下转动的角度为α,则小球A向上转动的角度也为α,如图所示,
由系统的机械能守恒定律有6mgLsinα-5mgL[cosθ+sin(α+θ-90°)]=0,解得sinα=,则小球B下降的最大高度为H=Lsinα=L,故B正确;根据题意,当小球B向下转动的角度为β时,小球A向上转动的角度也为β,则由动能定理有6mgLsinβ-5mgL[cosθ+sin(β+θ-90°)]=EkA+EkB,由数学知识解得,当β=37°时,小球A、B的动能之和有最大值为Ekm=mgL,由于小球A、B速度的大小相等,则有EkA=mgL,EkB=mgL,故C、D正确。
角度3 轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
[典例8](2023·成都模拟)如图,圆心为O1的光滑半圆环固定于竖直面,轻弹簧上端固定在O1正上方的O2点,c是O1O2和圆环的交点;将系于弹簧下端且套在圆环上的小球从a点静止释放,此后小球在a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长,在c点时弹簧被压缩, aO1⊥aO2。则下列判断正确的是 (　　)
A.小球在b点受到的合力为零
B.弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量
C.弹簧处于原长时,小球的速度最大
D.在a、b之间,小球机械能最大的位置有两处
【解析】选D。套在圆环上的小球从a点静止释放,此后小球在a、b间做往复运动,表明小球在a点的合力不等于零,合力的方向沿着a点的切线向上;因为系统的机械能守恒,a点和b点关于O1O2对称,所以小球在b点受到的合力不等于零,合力的方向沿着b点的切线向上,A错误;小球从a点到c点运动的过程中,小球在a点时动能最小等于零,小球在a点时位置最低,小球在a点时的重力势能最小,那么,小球在a点时的机械能最小;又因为小球和弹簧组成的系统机械能守恒,所以小球在a点时,弹簧的弹性势能最大,那么,小球在a点时弹簧的形变量最大,所以弹簧在a点的伸长量一定大于弹簧在c点的压缩量,B错误;小球受到重力、弹簧的拉力、圆环的支持力,这三个力的合力为零时,小球的速度最大,此时弹簧处于伸长状态,C错误;因为系统的机械能守恒,所以弹簧处于原长时,小球的机械能最大;在a、b之间,弹簧处于原长的位置有两处,一处位于a、c之间,另一处位于c、b之间,这两点关于O1O2对称,D正确。
【方法技巧】 求解系统机械能守恒问题的一般步骤
提醒:对于一些绳子突然绷紧,物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,否则机械能一般不守恒。
【备选例题】
　　(多选)(2023·朔州模拟)如图所示,长度为R的轻杆上等距离固定质量均为m的n个小球,轻杆一端连接转动点O,将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放,忽略一切阻力,重力加速度为g,则从释放到轻杆摆至竖直位置的过程中是 (　　)
A.n=1时,轻杆对小球不做功
B.n=2时,轻杆对第1个小球做功为mgR
C.n=10时,轻杆对第7个小球不做功
D.当轻杆对第k个小球做正功时,应满足k>
【解析】选A、C、D。对整体由机械能守恒有nmgR=mgR(++……++
……+)+m+m+……+m+……+m,线速度关系v1=ω,v2=ω……vn=ω,对第k个小球由动能定理有mgR+W杆=m-0,联立解得W杆=mgR[3k-(2n+1)]。当n=1时,W杆=0,故A正确;当n=2、k=1时W杆=mgR××(3-5)=-mgR,故B错误;当n=10,k=7时W杆=mgR××(21-21)=0,故C正确;当轻杆对第k个小球做正功时,应满足W杆=mgR[3k-(2n+1)]>0,解得k>,故D正确。
　

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