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第3讲　动能定理
一、动能和动能变化(必修二第八章第3节)
定义 物体由于运动而具有的能
公式 Ek=mv2
矢标性 动能是标量,只有正值,动能与速度方向无关
状态量 动能是状态量,因为v是瞬时速度
相对性 由于速度具有相对性,所以动能也具有相对性
动能的 变化 物体末动能与初动能之差,即ΔEk=m-m。动能的变化是过程量
提醒:动能Ek为非负值,而动能变化量ΔEk有正负之分。ΔEk>0表示物体的动能增加,ΔEk<0表示物体的动能减少。
二、动能定理(必修二第八章第3节)
提醒:合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系,但并不是说动能的变化就是合力做的功。
【质疑辨析】
角度1 动能和动能变化
(1)质量大的物体,动能一定大。 (　　)
(2)速度方向变化,物体的动能一定变化。 (　　)
(3)动能不变的物体一定处于平衡状态。 (　　)
角度2 动能定理
(4)物体的动能不变,所受的合外力必定为零。(　　)
(5)合外力做功是物体动能变化的原因。 (　　)
(6)动能定理只适用于同时作用的力做功。 (　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　
精研考点·提升关键能力
考点一　动能和动能变化量　(核心共研)
【核心要点】
动能Ek、动能变化量ΔEk与速度v的关系
项目 动能Ek 动能变化量ΔEk 速度v
数值 关系 Ek=mv2 ΔEk=m-m≠m(Δv)2
变化 关系 动能是标量,速度是矢量。当动能发生变化时,物体的速度(大小)一定发生了变化;当速度发生变化时,可能仅是速度方向的变化,物体的动能可能不变
【典例剖析】
角度1 动能
[典例1]在水平路面上有一辆以36 km/h行驶的客车,在车厢后座有一位乘客甲,把一个质量为4 kg的行李以相对客车5 m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙,则行李的动能是 (　　)
A.500 J B.200 J
C.450 J D.900 J
角度2 动能变化
[典例2](2023·唐山模拟)一个物体做匀加速直线运动,从某时刻开始经历时间t发生的位移为x,该过程中动能比原来增加了8倍。则该物体运动的加速度为(　　)
A. B. C.4 D.
【备选例题】
　　一个苹果竖直上抛再落回原处,苹果运动过程中受到的空气阻力忽略不计,从苹果被抛出瞬间开始研究,其动能Ek满足二次函数Ek=ax2+bx+c的形式,其中a、b、c为常数且均不等于0,关于其中x的物理意义,下列说法正确的是 (　　)
A.x表示苹果的瞬时速度v
B.x表示苹果运动的位移h
C.x表示苹果运动的时间t
D.x表示苹果重力的功率P
考点二　动能定理的应用　(核心共研)
【核心要点】
关于动能定理的四点注意
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
(2)当物体的运动包含多个不同过程时,可分段应用动能定理求解;当所求解的问题不涉及中间的速度时,也可以全过程应用动能定理求解。
(3)列动能定理方程时,必须明确各个力做功的正、负,确实难以判断的先假定为做正功,最后根据结果加以检验。
(4)动能是标量,功也是标量,所以动能定理是一个标量式,动能定理不存在分量表达式,解题时不能分解动能。
【典例剖析】
角度1 动能定理的基本应用
[典例3](多选)(2023·湖南选择考)如图,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面夹角为θ,BC段圆心为O,最高点为C,A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道,能沿轨道运动恰好到达C点,下列说法正确的是 (　　)
A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大
B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变
C.小球的初速度v0=
D.若小球初速度v0增大,小球有可能从B点脱离轨道
角度2 求解变力做功
[典例4](多选)(2023·广东选择考)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示,可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点由静止释放,沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg,滑道高度h为4 m,且过Q点的切线水平,重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程,下列说法正确的有 (　　)
A.重力做的功为360 J
B.克服阻力做的功为440 J
C.经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D.经过Q点时对滑道的压力大小为380 N
【备选例题】
　　(2023·广州模拟)如图所示,半径为R的圆弧轨道固定在竖直平面内,一质量为m的小球由距槽口M正上方3R的O点无初速度释放,经过一段时间小球运动到圆弧轨道的最高点N,且此时小球与轨道之间压力的大小为mg。重力加速度为g,则对小球由O到N的过程,下列描述正确的是 (　　)
A.小球在N点的速度大小为
B.小球在N点具有的重力势能为mgR
C.合力对小球做功为2mgR
D.摩擦力对小球做功为-2mgR
考点三　动能定理与图像问题结合　(核心共研)
【核心要点】
1.“五类”图像
2.“一个”流程
【典例剖析】
角度1 F-x图像
[典例5](多选)(2024·长春模拟)如图(a)所示,一质量为5 kg的物体P以初速度v0冲进一光滑管内部,管底部固定有两个弹簧,劲度系数为k2的短弹簧套在劲度系数为k1的长弹簧外,开始时弹簧均处于原长。物体P从A点开始接触长弹簧,到B点开始接触短弹簧,恰好能到达C点,AB间距离为0.10 m,BC间距离为0.05 m。图(b)是该物体所受合力随位移变化的关系(以A点作为坐标原点)。下列说法正确的是 (　　)
A.k1=100 N/m
B.物体处于C点时的加速度大小为a=12 m/s2
C.物体从A点运动到C点,两弹簧对物体做的功为2.25 J
D.物体的初速度为v0= m/s
角度2 Ek-x图像
[典例6](多选)(2022·福建选择考)一物块以初速度v0自固定斜面底端沿斜面向上运动,一段时间后回到斜面底端。该物块的动能Ek随位移x的变化关系如图所示,图中x0、Ek1、Ek2均已知。根据图中信息可以求出的物理量有 (　　)
A.重力加速度大小
B.物块所受滑动摩擦力的大小
C.斜面的倾角
D.沿斜面上滑的时间
角度3 W-x图像
[典例7](多选)(2023·新课标全国卷)一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上沿x轴运动,出发点为x轴零点,拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4,重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.在x = 1 m时,拉力的功率为6 W
B.在x = 4 m时,物体的动能为2 J
C.从x = 0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x = 0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为2 kg·m/s
【备选例题】
　　(2021·湖北选择考)如图(a)所示,一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑,运动过程中摩擦力大小f恒定,物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2,物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　)
A.m=0.7 kg,f=0.5 N
B.m=0.7 kg,f=1.0 N
C.m=0.8 kg,f=0.5 N
D.m=0.8 kg,f=1.0 N
答案及解析
考点一　动能和动能变化量　
【典例剖析】
角度1 动能
[典例1]在水平路面上有一辆以36 km/h行驶的客车,在车厢后座有一位乘客甲,把一个质量为4 kg的行李以相对客车5 m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙,则行李的动能是 (　　)
A.500 J B.200 J
C.450 J D.900 J
【关键点拨】5 m/s是行李相对客车的速率,需解出行李相对地面的速度大小。
【解析】选C。动能Ek=mv2的大小有相对性,不同参考系v值不同,Ek不同,一般应以地面为参考系。客车以36 km/h=10 m/s的速度向前行驶,甲乘客相对客车以5 m/s的速度将行李抛给乙乘客,所以行李的运动速度为v=(10+5) m/s=15 m/s。由动能的定义式有Ek=mv2=×4×152 J=450 J,故C正确,A、B、D错误。
角度2 动能变化
[典例2](2023·唐山模拟)一个物体做匀加速直线运动,从某时刻开始经历时间t发生的位移为x,该过程中动能比原来增加了8倍。则该物体运动的加速度为(　　)
A. B. C.4 D.
【关键点拨】 动能比原来增加了8倍,即动能变为原来的9倍。
【解析】选A。动能比原来增加了8倍即动能变为原来的9倍,由动能公式Ek=mv2,可知物体的速度变为原来的3倍,即v=3v0,由平均速度求位移,可得x=(v0+v)t,由加速度定义式a=,联立可得a=,A正确,B、C、D错误。
【备选例题】
　　一个苹果竖直上抛再落回原处,苹果运动过程中受到的空气阻力忽略不计,从苹果被抛出瞬间开始研究,其动能Ek满足二次函数Ek=ax2+bx+c的形式,其中a、b、c为常数且均不等于0,关于其中x的物理意义,下列说法正确的是 (　　)
A.x表示苹果的瞬时速度v
B.x表示苹果运动的位移h
C.x表示苹果运动的时间t
D.x表示苹果重力的功率P
【解析】选C。竖直上抛运动,以竖直向上为正方向v=v0-gt,-2gh=v2- ,P=mgv,则苹果动能Ek=mv2=m(v0-gt)2 ,解得Ek=m(-2gtv0+g2t2) ,所以A错误,C正确;苹果动能Ek=mv2=m(-2gh),B错误;苹果动能Ek=mv2=m()2,D错误。
考点二　动能定理的应用　
【典例剖析】
角度1 动能定理的基本应用
[典例3](多选)(2023·湖南选择考)如图,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面夹角为θ,BC段圆心为O,最高点为C,A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道,能沿轨道运动恰好到达C点,下列说法正确的是 (　　)
A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大
B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变
C.小球的初速度v0=
D.若小球初速度v0增大,小球有可能从B点脱离轨道
【解析】选A、D。小球恰好到达C点的速度为vC=0,则小球从C到B的过程中,有mgR(1-cosα)=mv2,FN=mgcosα-m,联立有FN=3mgcosα-2mg,则从C到B的过程中α由0增大到θ,则cosα逐渐减小,故FN逐渐减小,则小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大,A正确;由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小,则A到B的过程中重力的功率为P=-mgvsinθ,则A到B的过程中小球重力的功率始终减小,则B错误;从A到C的过程中有-mg·2R=m-m,解得v0=,C错误;小球在B点恰好脱离轨道,则有mgcosθ=m,vB=,则若小球初速度v0增大,小球在B点的速度有可能为,故小球有可能从B点脱离轨道,D正确。
【方法技巧】 应用动能定理的解题流程
角度2 求解变力做功
[典例4](多选)(2023·广东选择考)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示,可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点由静止释放,沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg,滑道高度h为4 m,且过Q点的切线水平,重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程,下列说法正确的有 (　　)
A.重力做的功为360 J
B.克服阻力做的功为440 J
C.经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D.经过Q点时对滑道的压力大小为380 N
【思维流程】
【解析】选B、C、D。重力做的功为WG=mgh=800 J,A错误;下滑过程据动能定理可得WG-Wf=m,代入数据解得,克服阻力做的功为Wf=440 J,B正确;经过Q点时向心加速度大小为a==9 m/s2,C正确;经过Q点时,根据牛顿第二定律F-mg=ma,解得货物受到的支持力大小为F=380 N,根据牛顿第三定律可知,货物对滑道的压力大小为380 N,D正确。
【备选例题】
　　(2023·广州模拟)如图所示,半径为R的圆弧轨道固定在竖直平面内,一质量为m的小球由距槽口M正上方3R的O点无初速度释放,经过一段时间小球运动到圆弧轨道的最高点N,且此时小球与轨道之间压力的大小为mg。重力加速度为g,则对小球由O到N的过程,下列描述正确的是 (　　)
A.小球在N点的速度大小为
B.小球在N点具有的重力势能为mgR
C.合力对小球做功为2mgR
D.摩擦力对小球做功为-2mgR
【解析】选A。由题知,小球运动到圆弧轨道的最高点N时小球与轨道之间压力的大小为mg,则2mg=m,解得vN=,A正确;由于题意没有规定零势能面在何处,则无法确定小球在N点具有的重力势能,B错误;根据动能定理可知,合力对小球做的功即小球动能的改变量,则从O到N有W合=m,解得W合 = mgR,C错误;小球从O到N根据动能定理有mg·2R+Wf=m,解得Wf=-mgR,D错误。
考点三　动能定理与图像问题结合　
【典例剖析】
角度1 F-x图像
[典例5](多选)(2024·长春模拟)如图(a)所示,一质量为5 kg的物体P以初速度v0冲进一光滑管内部,管底部固定有两个弹簧,劲度系数为k2的短弹簧套在劲度系数为k1的长弹簧外,开始时弹簧均处于原长。物体P从A点开始接触长弹簧,到B点开始接触短弹簧,恰好能到达C点,AB间距离为0.10 m,BC间距离为0.05 m。图(b)是该物体所受合力随位移变化的关系(以A点作为坐标原点)。下列说法正确的是 (　　)
A.k1=100 N/m
B.物体处于C点时的加速度大小为a=12 m/s2
C.物体从A点运动到C点,两弹簧对物体做的功为2.25 J
D.物体的初速度为v0= m/s
【解析】选B、D。根据图(b)可知,在0~0.10 m内k1==200 N/m,故A错误;根据牛顿第二定律可知,物体处于C点时的加速度大小为a== m/s2=12 m/s2,故B正确;F-x图像围成的面积代表做的功,所以物体从A点运动到C点,两弹簧对物体做的功为W=×0.10×20 J+×(20+60)×0.05 J=3 J,故C错误;根据动能定理可知0-m=-W,解得v0= m/s,故D正确。
角度2 Ek-x图像
[典例6](多选)(2022·福建选择考)一物块以初速度v0自固定斜面底端沿斜面向上运动,一段时间后回到斜面底端。该物块的动能Ek随位移x的变化关系如图所示,图中x0、Ek1、Ek2均已知。根据图中信息可以求出的物理量有 (　　)
A.重力加速度大小
B.物块所受滑动摩擦力的大小
C.斜面的倾角
D.沿斜面上滑的时间
【题眼破译】——提升信息转化能力
【解析】选B、D。由动能定义式得Ek1=m,则可求解质量m;上滑时,由动能定理Ek-Ek1=-(mgsinθ+f)x,下滑时,由动能定理Ek=(mgsinθ-f)(x0-x),x0为上滑的最远距离;由图像的斜率可知mgsinθ+f=,mgsinθ-f=,两式相加可得gsinθ=(+),两式相减可得f=,即可求解gsinθ和所受滑动摩擦力f的大小,但重力加速度大小、斜面的倾角不能求出,故A、C错误,B正确;根据牛顿第二定律和运动学关系得mgsinθ+f=ma,t=,故可求解沿斜面上滑的时间,D正确。
角度3 W-x图像
[典例7](多选)(2023·新课标全国卷)一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上沿x轴运动,出发点为x轴零点,拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4,重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.在x = 1 m时,拉力的功率为6 W
B.在x = 4 m时,物体的动能为2 J
C.从x = 0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x = 0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为2 kg·m/s
【解析】选B、C。由于拉力在水平方向,则拉力做的功为W= Fx,可看出W-x图像的斜率代表拉力F。在物体运动的过程中根据动能定理有W-μmgx=mv2,则x=
1 m时物体的速度为v1= 2 m/s,x=1 m时,拉力为F==6 N,则此时拉力的功率P= Fv1=12 W,x=4 m时物体的动能为Ek=2 J,A错误、B正确;从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为Wf=μmgx=8 J,C正确;根据W-x图像可知在0~2 m的过程中F1=6 N,2~4 m的过程中F2= 3 N,由于物体受到的摩擦力恒为f=4 N,则物体在x=2 m处速度最大,且根据选项A、B分析可知此时的速度v2= m/s,则从x=0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为p=mv=2 kg·m/s,D错误。
【备选例题】
　　(2021·湖北选择考)如图(a)所示,一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑,运动过程中摩擦力大小f恒定,物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2,物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　)
A.m=0.7 kg,f=0.5 N
B.m=0.7 kg,f=1.0 N
C.m=0.8 kg,f=0.5 N
D.m=0.8 kg,f=1.0 N
【解析】选A。0~10 m内物块上滑,由动能定理得-mgsin30°·s-fs=Ek-Ek0,整理得Ek=Ek0-(mgsin30°+f)s,结合0~10 m内的图像得,斜率的绝对值|k|=mgsin30°+f=4 N,
10~20 m内物块下滑,由动能定理得(mgsin30°-f)(s-s1)=Ek,整理得Ek=(mgsin30°-f)s-(mgsin30°-f)s1,结合10~20 m内的图像得,斜率k'=mgsin30°-f=3 N,联立解得f=0.5 N,m=0.7 kg,故选A。

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