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第4讲　功能关系　能量守恒定律
一、功能关系(必修二第八章第4节)
1.(1)做功的过程就是能量转化的过程,不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度,功和能的关系,一是体现在不同的力做功,对应不同形式的能转化,具有一一对应关系,二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.摩擦力做功的特点
(1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。
(2)一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值,差值为机械能转化为内能的部分,也就是系统机械能的损失量。
二、能量守恒定律(必修三第十二章第4节)
【质疑辨析】
角度1 功能关系
(1)力对物体做了多少功,物体就具有多少能。(　　)
(2)滑动摩擦力做功时,一定会引起机械能的转化。 (　　)
角度2 能量守恒定律
(3)既然能量在转移或转化过程中是守恒的,故没有必要节约能源。 (　　)
(4)一个物体的能量增加,必定有别的物体的能量减少。 (　　)
提示:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
精研考点·提升关键能力
考点一　功能关系的理解和应用　(核心共研)
【核心要点】
几种常见的功能关系及其表达式
【典例剖析】
角度1 由能量变化分析力做功
[典例1](2023·新课标全国卷)无风时,雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中,克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g) (　　)
A.0　B.mgh　C.mv2-mgh　D.mv2+mgh
角度2 由力做功分析能量变化
[典例2](多选)(2023·石家庄模拟)如图所示,楔形木块abc固定在水平面上,粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°,光滑斜面bc与水平面的夹角为30°,顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的两滑块A和B,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动,A、B不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦,在两滑块沿斜面运动的过程中 (　　)
A.轻绳对滑轮作用力的方向是竖直向下的
B.拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量
C.拉力对A做的功等于A机械能的增加量
D.两滑块组成系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功
【备选例题】
　　(多选)(2023·乌鲁木齐模拟)如图所示,质量为2 kg的物体沿倾角为30°的固定斜面匀减速上滑了2 m距离,物体加速度的大小为8 m/s2(重力加速度g取
10 m/s2)。在此过程中(　　)
A.物体的重力势能增加了40 J
B.物体的机械能减少了12 J
C.物体的动能减少了32 J
D.斜面克服摩擦力做功为12 J
考点二　能量守恒定律的理解和应用　(核心共研)
【核心要点】
对能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
【典例剖析】
角度1 多过程类问题
[典例3](2023·邯郸模拟)如图所示,在地面上方的竖直平面内固定一细杆轨道ABCDE,其中AB为粗糙的长直轨道,长为L=10 m,与水平方向的夹角为θ=37°,BCD、DE均为半径为R=1 m的光滑圆弧形轨道,AB与BCD相切于B点,B点离地高度为h=1.4 m,两圆心O1、O2等高,C为圆弧形轨道的最低点,E为最高点。一质量为m=0.2 kg的小环套在AB上,自AB中点由静止释放,恰好可到达E点(未掉落)。重力加速度g取10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,以地面为参考平面。求:
(1)AB段的动摩擦因数;
(2)若小环从A点由静止释放,小环过D点时对弧形轨道的压力大小;
(3)若改变小环在直杆上释放点的位置,小环落地时机械能的范围。
角度2 含弹簧类问题
[典例4](2023·济南模拟)如图所示,桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道MNP,MN为其竖直直径,桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q,其右端与P相切平滑连接,管道内径略大于小球直径,桌面到水平地面的竖直距离也为R,劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上,一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连,现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球,小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s,弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2(x为弹簧的形变量),不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗,重力加速度为g。
(1)求C点与O点的高度差h;
(2)若只改变小球的质量,使小球运动过程中不脱离圆弧轨道,求小球质量的取值范围。
考点三　能量图像问题　(核心共研)
【核心要点】
常见的能量图像
图像类型 图像示例 图像分析
Ek-x图像 ①物体的动能先减小后增大; ②Ek-x图像的斜率表示物体受到的合外力
Ep(重力 势能) -h 图像 ①物体的重力势能增大; ②Ep-h图像的斜率表示物体受到的重力
E-s图像 ①物体的机械能减小; ②E-s图像的斜率表示物体受到的除重力或弹力之外的力
a-x图像 ①加速度a随x增大而增大; ②a-x图像的面积表示的变化量
【典例剖析】
角度1 E-x图像
[典例5] (多选)(2023·江门模拟)滑雪运动员开展滑雪训练可简化为如下模型:将运动员(包括滑板)简化为质点,运动员以某一初速度从足够长的山坡底端向上冲,取坡底为参考平面。运动员的机械能E总和重力势能Ep随离开坡底的高度h的变化规律如图所示,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则下列说法正确的是 (　　)
A.运动员向上冲的过程克服摩擦力做功为2×103 J
B.运动员再次回到坡底时机械能为4.4×103 J
C.运动员的质量为40 kg
D.运动员的初速度大小为10 m/s
角度2 a-x图像
[典例6](2023·哈尔滨模拟)如图甲,倾角为θ的光滑斜面上,轻弹簧平行斜面放置且下端固定,一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点,作出滑块从O点下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧的劲度系数为
B.下滑过程中,在x=x2处,滑块的机械能最大
C.在x1~x2和x2~x3两段过程中,a-x图线斜率的绝对值均等于
D.在x1~x2和x2~x3两段过程中,弹簧弹性势能的增量相等
角度3 其他图像
[典例7](多选)(2023·重庆模拟)如图1所示,将长为L的轻绳一端固定在O点的拉力传感器上,另一端与一质量为m且可视为质点的小球相连,拉直轻绳使其与竖直方向夹角为θ。现让小球在不同θ角下由静止开始在竖直面内做圆周运动,记录每个θ角下小球运动过程中传感器上的最大拉力Fmax与最小拉力Fmin,并作出它们之间的部分关系图像如图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化,重力加速度为g,则图2中 (　　)
A.图线的斜率与小球质量m无关
B.a的大小与绳长L有关
C.c的大小可能为1.2mg
D.当b=2.0mg时对应的θ=60°
答案及解析
考点一　功能关系的理解和应用
【典例剖析】
角度1 由能量变化分析力做功
[典例1](2023·新课标全国卷)无风时,雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中,克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g) (　　)
A.0　B.mgh　C.mv2-mgh　D.mv2+mgh
【解析】选B。在地面附近雨滴做匀速运动,根据动能定理得mgh-W克=0,故雨滴克服空气阻力做功为mgh。故选B。
角度2 由力做功分析能量变化
[典例2](多选)(2023·石家庄模拟)如图所示,楔形木块abc固定在水平面上,粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°,光滑斜面bc与水平面的夹角为30°,顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的两滑块A和B,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动,A、B不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦,在两滑块沿斜面运动的过程中 (　　)
A.轻绳对滑轮作用力的方向是竖直向下的
B.拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量
C.拉力对A做的功等于A机械能的增加量
D.两滑块组成系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功
【解析】选B、D。根据题意可知,两段轻绳的夹角为90°,轻绳拉力的大小相等,根据平行四边形定则可知,合力方向与绳子方向的夹角为45°,所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的,故A错误;对A受力分析,受到重力,斜面的支持力、绳子拉力以及滑动摩擦力作用,根据动能定理可知,A动能的增加量等于拉力和重力以及摩擦力做功之和,而摩擦力做负功,则拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量,故B正确;根据除重力以外的力对物体做功等于物体机械能的变化量可知,拉力和摩擦力对A做的功之和等于A机械能的增加量,故C错误;对两滑块组成系统分析可知,除了重力之外只有摩擦力对A做功,所以两滑块组成系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功,故D正确。
【方法技巧】 功的正负与能量增减的对应关系
(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。
(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)对物体做负功还是做正功。
(3)机械能的增加与减少要看重力和弹力之外的力对物体做正功还是做负功。
【备选例题】
　　(多选)(2023·乌鲁木齐模拟)如图所示,质量为2 kg的物体沿倾角为30°的固定斜面匀减速上滑了2 m距离,物体加速度的大小为8 m/s2(重力加速度g取
10 m/s2)。在此过程中(　　)
A.物体的重力势能增加了40 J
B.物体的机械能减少了12 J
C.物体的动能减少了32 J
D.斜面克服摩擦力做功为12 J
【解析】选B、C。物体重力势能的增加量等于克服重力做的功,故有ΔEp=mg·ssin30°=20 J,故物体的重力势能增加了20 J,故A错误;物体上滑过程,据牛顿第二定律有mgsin30°+f=ma,解得f=6 N,摩擦力对物体做的功等于物体机械能的改变量,故有ΔE机=-f·s=-12 J,即物体机械能减少了12 J,故B正确;据动能定理有ΔEk=-mg·ssin30°-fs=-32 J,故物体的动能减少了32 J,故C正确。由于物体在上滑的过程中,斜面保持静止不动,所以斜面克服摩擦力做功为零,故D错误。
考点二　能量守恒定律的理解和应用
【典例剖析】
角度1 多过程类问题
[典例3](2023·邯郸模拟)如图所示,在地面上方的竖直平面内固定一细杆轨道ABCDE,其中AB为粗糙的长直轨道,长为L=10 m,与水平方向的夹角为θ=37°,BCD、DE均为半径为R=1 m的光滑圆弧形轨道,AB与BCD相切于B点,B点离地高度为h=1.4 m,两圆心O1、O2等高,C为圆弧形轨道的最低点,E为最高点。一质量为m=0.2 kg的小环套在AB上,自AB中点由静止释放,恰好可到达E点(未掉落)。重力加速度g取10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,以地面为参考平面。求:
(1)AB段的动摩擦因数;
答案:(1)0.3　
【解析】(1)小环由AB中点至E点,由能量守恒定律有mg(Lsinθ-R-Rcosθ)=
μmgcosθ·L
解得μ=0.3
(2)若小环从A点由静止释放,小环过D点时对弧形轨道的压力大小;
答案: (2)11.2 N　
【解析】(2)小环由A点至D点,由能量守恒定律有mg(Lsinθ-Rcosθ)=
m+μmgcosθ·L
在D点,由向心力公式有N=m=11.2 N
由牛顿第三定律,小环对弧形轨道的压力大小为N'=N=11.2 N
(3)若改变小环在直杆上释放点的位置,小环落地时机械能的范围。
答案: (3)6.4 J【解析】(3)小环刚好到E点时,机械能最小,有Emin=mg(R+Rcosθ+h)=6.4 J
小环自A点释放,落地的机械能最大,有Emax=mg(Lsinθ+h)-μmgcosθ·L=10 J
故小环落地的机械能范围为6.4 J【思维流程】
【方法技巧】 运用能量守恒定律解题的基本思路
角度2 含弹簧类问题
[典例4](2023·济南模拟)如图所示,桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道MNP,MN为其竖直直径,桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q,其右端与P相切平滑连接,管道内径略大于小球直径,桌面到水平地面的竖直距离也为R,劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上,一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连,现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球,小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s,弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2(x为弹簧的形变量),不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗,重力加速度为g。
(1)求C点与O点的高度差h;
答案:(1)　
【解析】(1)小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道,则小球在C点只有重力沿CO方向的分力提供向心力,设重力方向与CO的夹角为θ,由牛顿第二定律有mgcosθ=m
由几何关系有cosθ=
从静止释放到C点,由能量守恒定律有
ks2=m+mgh
联立解得h=
(2)若只改变小球的质量,使小球运动过程中不脱离圆弧轨道,求小球质量的取值范围。
答案: (2)0【解析】(2)小球在运动过程中不脱离轨道,可知小球能通过M点,则应有
mg≤m
从静止释放到M点,由能量守恒定律有
ks2=m+mgR
解得0考点三　能量图像问题　
【典例剖析】
角度1 E-x图像
[典例5] (多选)(2023·江门模拟)滑雪运动员开展滑雪训练可简化为如下模型:将运动员(包括滑板)简化为质点,运动员以某一初速度从足够长的山坡底端向上冲,取坡底为参考平面。运动员的机械能E总和重力势能Ep随离开坡底的高度h的变化规律如图所示,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则下列说法正确的是 (　　)
A.运动员向上冲的过程克服摩擦力做功为2×103 J
B.运动员再次回到坡底时机械能为4.4×103 J
C.运动员的质量为40 kg
D.运动员的初速度大小为10 m/s
【题眼破译】——提升信息转化能力
【解析】选A、C。由图像可知,运动员在冲上山坡之前,总的机械能为E总=10×
103 J,而冲上山坡,到达最高点时的机械能为E'总=8×103 J,而在运动员从山坡底端到冲上山坡最高点的过程中,除了重力做功以外还有摩擦力做负功,因此可知运动员向上冲的过程克服摩擦力做功为2×103 J,故A正确;运动员再次回到坡底的过程中,仍然是除了重力做功以外摩擦力做负功,易知在下坡的过程中克服摩擦力做的功和在上坡过程中一样,因此可知运动员再次回到坡底时机械能应为6×103 J,故B错误;由于取了坡底为参考平面,因此运动员滑上山坡最高点后的重力势能就等于运动员的机械能,有mgh=E'总,h=20 m,解得m=40 kg,故C正确;在坡底时运动员的动能等于运动员的机械能,则有mv2=E总,解得v=10 m/s,故D错误。
角度2 a-x图像
[典例6](2023·哈尔滨模拟)如图甲,倾角为θ的光滑斜面上,轻弹簧平行斜面放置且下端固定,一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点,作出滑块从O点下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧的劲度系数为
B.下滑过程中,在x=x2处,滑块的机械能最大
C.在x1~x2和x2~x3两段过程中,a-x图线斜率的绝对值均等于
D.在x1~x2和x2~x3两段过程中,弹簧弹性势能的增量相等
【解析】选C。由图乙可知,当小球下落到x2时,加速度为零,即弹力与重力沿斜面的分力大小相等,此时弹簧的形变量为x2-x1,则有k(x2-x1)=mgsinθ,解得k=,A错误。对小滑块和弹簧组成的系统进行分析,由于只有重力和弹力做功,则系统机械能守恒,当弹簧的弹性势能最小时,小滑块的机械能最大,故当小滑块下落到x1时,弹簧处于原长,弹性势能为零,为最小,则此时小滑块的机械能最大,B错误。在x1~x2的过程中,重力沿斜面的分力大于弹力,根据牛顿第二定律有mgsinθ-k(x-x1)=ma,又由A项可知k(x2-x1)=mgsinθ,联立解得a=-,由图乙可知,当x=x1时a=gsinθ,联立解得=,即为该段图线的斜率绝对值;在x2角度3 其他图像
[典例7](多选)(2023·重庆模拟)如图1所示,将长为L的轻绳一端固定在O点的拉力传感器上,另一端与一质量为m且可视为质点的小球相连,拉直轻绳使其与竖直方向夹角为θ。现让小球在不同θ角下由静止开始在竖直面内做圆周运动,记录每个θ角下小球运动过程中传感器上的最大拉力Fmax与最小拉力Fmin,并作出它们之间的部分关系图像如图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化,重力加速度为g,则图2中 (　　)
A.图线的斜率与小球质量m无关
B.a的大小与绳长L有关
C.c的大小可能为1.2mg
D.当b=2.0mg时对应的θ=60°
【解析】选A、D。由题知,小球由静止开始在竖直面内做圆周运动,故0<θ≤,小球在最高点时,轻绳上拉力最小,得Fmin=mgcosθ,在最低点时,轻绳上拉力最大,得Fmax-mg=m,由机械能守恒定律有mgL(1-cosθ)=mv2,联立解得Fmax=3mg-2mgcosθ=3mg-2Fmin,可知图2中Fmax-Fmin图线的斜率恒为k=-2,与小球质量m无关,故A正确;当Fmin=0时,有a=3mg,可知a的大小与绳长L无关,故B错误;由Fmin=mgcosθ可知,当θ=0时,Fmin最大值为mg,可知c

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