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1．有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数与0相乘，都得0． （2）倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数． 注意： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；（即求一个数的倒数，不改变这个数的符号） ④倒数等于它本身的数有两个，分别是1和–1，注意不包括0． （3）有理数乘法的运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba． 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）． 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc． （4）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． （5）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． （2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 3．有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算，如无括号，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行．
与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算．小学时学习的乘法、除法运算也可以推广到有理教范围内． 1．有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数同0相乘，都得0． 有理数的乘法法则也可以表示如下： （+a）×（+b）=a×b， （－a）×（－b）=a×b， （－a）×（+b）=－（a×b）， （+a）×（－b）=－（a×b）， c×0=0，0×c=0． （2）乘法运算律 乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．表达式：ab=ba． 乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等．表达式：（ab）c=a（bc）． 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 表达式：a（b+c）=ab+ac． （3）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0． （4）显然，两个有理数相乘，积是一个有理数． 2．倒数 （1）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数． （2）判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”． （3）1的倒数是它本身，因为1×1=1． 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母． （4）任意数a（a≠0），它的倒数为． （5）真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身； 假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． 3．有理数的除法 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算．在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有上述关系． （1）有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数． 这个法则也可以表示成：． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4．有理数的乘除混合运算 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算．乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 5．探究与发现 从数系扩充看有理数乘法法则：在把非负有理数的加法、乘法运算推广到有理数范围内时，我们希望在有理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性，并且加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
【例1】　（2024 张家港市模拟）的倒数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据倒数的定义解答，乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：的倒数是，
故选：．
【例2】　（2024春 沙坪坝区校级月考）若一个数的倒数是，则这个数是　　
A． B．4 C． D．0.25
【答案】
【分析】根据倒数的定义进行解题即可．
【解答】解：一个数的倒数是，
这个数是，
故选：．
【例3】　（2024 榕江县校级二模）若与7互为倒数，则　　
A． B． C．7 D．
【答案】
【分析】根据倒数的定义回答即可．
【解答】解：与7互为倒数，
．
故选：．
【例4】　（2024 石家庄模拟）计算的结果等于　　
A． B． C． D．2
【答案】
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：．
【例5】　（2024 西青区二模）计算的结果等于　　
A． B． C． D．12
【答案】
【分析】根据有理数的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：原式．
故选：．
【例6】　（2024 福田区二模）计算的结果为　　
A．2024 B． C． D．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【例7】　（2023春 浦东新区校级期中）．
【答案】．
【分析】把变成，然后利用有理数乘法的分配律进行求解即可．
【解答】解：原式
．
【例8】　（2022秋 中山市期末）
【分析】运用乘法分配律计算即可．
【解答】解：原式，
，
．
【例9】　（2023秋 牟平区期中）用简便方法计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得；
（2）将改写成，再利用有理数乘法分配律计算即可得．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【例10】　（2024 武清区二模）计算的结果等于　　
A．3 B． C．2 D．
【答案】
【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可．
【解答】解：．
故选：．
【例11】　（2024 望江县三模）的结果是　　
A． B．6 C．2 D．
【答案】
【分析】先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行运算，即可作答．
【解答】解：
，
故选：．
【例12】　（2024春 长宁区期中）计算：　　．
【答案】．
【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【例13】　（2024春 松江区期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可．
【解答】解：原式
．
【例14】　（2024春 上海期中）计算：．
【分析】将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【解答】解：
．
【例15】　（2024春 黄浦区期中）计算：．
【答案】．
【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：
．
1．求倒数的方法： （1）求分数的倒数：交换分子、分母的位置． （2）求整数的倒数：整数分之1． （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． （4）求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 2．倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在，单独一个数不能称为倒数．必须说清谁是谁的倒数． 3．两数相乘，先根据有理数乘法的符号法则判断符号，再把绝对值相乘即可得到结果． 4．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 5．在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）． 6．有理数的乘除混合运算 （1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算． （2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负． （3）化成乘法后，应先约分再相乘． （4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
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1．有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数与0相乘，都得0． （2）倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数． 注意： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；（即求一个数的倒数，不改变这个数的符号） ④倒数等于它本身的数有两个，分别是1和–1，注意不包括0． （3）有理数乘法的运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba． 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）． 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc． （4）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． （5）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． （2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 3．有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算，如无括号，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行．
与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算．小学时学习的乘法、除法运算也可以推广到有理教范围内． 1．有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数同0相乘，都得0． 有理数的乘法法则也可以表示如下： （+a）×（+b）=a×b， （－a）×（－b）=a×b， （－a）×（+b）=－（a×b）， （+a）×（－b）=－（a×b）， c×0=0，0×c=0． （2）乘法运算律 乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．表达式：ab=ba． 乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等．表达式：（ab）c=a（bc）． 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 表达式：a（b+c）=ab+ac． （3）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0． （4）显然，两个有理数相乘，积是一个有理数． 2．倒数 （1）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数． （2）判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”． （3）1的倒数是它本身，因为1×1=1． 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母． （4）任意数a（a≠0），它的倒数为． （5）真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身； 假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． 3．有理数的除法 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算．在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有上述关系． （1）有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数． 这个法则也可以表示成：． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4．有理数的乘除混合运算 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算．乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 5．探究与发现 从数系扩充看有理数乘法法则：在把非负有理数的加法、乘法运算推广到有理数范围内时，我们希望在有理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性，并且加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
【例1】　（2024 张家港市模拟）的倒数是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2024春 沙坪坝区校级月考）若一个数的倒数是，则这个数是　　
A． B．4 C． D．0.25
【例3】　（2024 榕江县校级二模）若与7互为倒数，则　　
A． B． C．7 D．
【例4】　（2024 石家庄模拟）计算的结果等于　　
A． B． C． D．2
【例5】　（2024 西青区二模）计算的结果等于　　
A． B． C． D．12
【例6】　（2024 福田区二模）计算的结果为　　
A．2024 B． C． D．
【例7】　（2023春 浦东新区校级期中）．
【例8】　（2022秋 中山市期末）
【例9】　（2023秋 牟平区期中）用简便方法计算：
（1）；
（2）．
【例10】　（2024 武清区二模）计算的结果等于　　
A．3 B． C．2 D．
【例11】　（2024 望江县三模）的结果是　　
A． B．6 C．2 D．
【例12】　（2024春 长宁区期中）计算：　　．
【例13】　（2024春 松江区期末）计算：．
【例14】　（2024春 上海期中）计算：．
【例15】　（2024春 黄浦区期中）计算：．
1．求倒数的方法： （1）求分数的倒数：交换分子、分母的位置． （2）求整数的倒数：整数分之1． （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． （4）求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 2．倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在，单独一个数不能称为倒数．必须说清谁是谁的倒数． 3．两数相乘，先根据有理数乘法的符号法则判断符号，再把绝对值相乘即可得到结果． 4．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 5．在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）． 6．有理数的乘除混合运算 （1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算． （2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负． （3）化成乘法后，应先约分再相乘． （4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
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