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第二节　二项式定理
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CONTENTS
1
2
3
知识 体系构建
课时 跟踪检测
考点 分类突破
PART
1
知识 体系构建
课前自修
　
1. （1＋ x ）10的展开式中 x 2的系数为（　　）
A. 1 B. 10
C. 45 D. 120
解析：　（1＋ x ）10的展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ xr ，令 r ＝2
得 x 2的系数为 ＝45，故选C.
2. （2022·北京高考8题）若（2 x －1）4＝ a 4 x 4＋ a 3 x 3＋ a 2 x 2＋ a 1 x ＋
a 0，则 a 0＋ a 2＋ a 4＝（　　）
A. 40 B. 41
C. －40 D. －41
解析：　法一（赋值法）　依题意，令 x ＝1，可得1＝ a 4＋ a 3＋
a 2＋ a 1＋ a 0，令 x ＝－1，可得81＝ a 4－ a 3＋ a 2－ a 1＋ a 0，以上两式
相加可得82＝2（ a 4＋ a 2＋ a 0），所以 a 0＋ a 2＋ a 4＝41，故选B.
法二（通项公式法）　二项式（2 x －1）4的通项为 Tr ＋1＝ （2
x ）4－ r （－1） r ，分别令 r ＝4，2，0，可分别得 a 0＝1， a 2＝24，
a 4＝16，所以 a 0＋ a 2＋ a 4＝41，故选B.
3. （2024·宜宾模拟）在二项式（ x 2－ ） n 的展开式中，二项式系数
的和是32，则展开式中各项系数的和为（　　）
A. －32 B. －1
C. 1 D. 32
解析：　∵二项式系数的和是32，则2 n ＝32，∴ n ＝5，令 x ＝1，
则展开式中各项系数的和为（－1）5＝－1，故选B.
4. （ ）9的展开式中常数项为 .（用数字作答）
解析：根据通项公式 Tk ＋1＝ （ ）9－ k （－ ） k ＝（－1） k
，令 ＝0，解得 k ＝6，所以 T 7＝（－1）6 ＝84.
84
1. 若二项展开式的通项为 Tr ＋1＝ g （ r ）· xh （ r ）（ r ＝0，1，2，…，
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0 Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数 Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数 Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数 Tr ＋1是有理项.
2. 常用公式
（1） ＋…＋ ＝2 n ；
（2） ＋…＝ ＋…＝2 n －1.
1. 二项式（ x ＋ ） n （ n ∈N*）的展开式中只有一项的系数为有
理数，则 n 的可能取值为（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析：　 · · · ，由结论1可知： n － r 是2的倍
数， r 是3的倍数， n ＝7， r ＝3符合题意，故选B.
2. 已知 ＋2 ＋22 ＋23 ＋…＋2 n ＝243，则
＋…＋ ＝ .
解析：逆用二项式定理得 ＋2 ＋22 ＋23 ＋…＋2 n ＝
（1＋2） n ＝243，3 n ＝35，所以 n ＝5，由结论2得，
＋…＋ ＝25－1＝31.
31
PART
2
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
课堂演练
1. （2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（　　）
A. －40 B. 40
C. －80 D. 80
解析：　（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ （2 x ）5－ r
（－ ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5－2 r
＝1，可得 r ＝2.即含 x 的项为第3项，∴ T 3＝80 x ，故 x 的系数为80.
故选D.
二项式中的特定项及系数问题
2. （ ）30的展开式中无理项的项数为（　　）
A. 27 B. 24
C. 26 D. 25
解析：　（ ）30展开式的通项为 Tr ＋1＝ ·（ ）30－
r ·（ ） r ＝ · ， r ＝0，1，2，…，30，若 x 的指数15－
r 为整数，则 r 是6的倍数，所以当 r ＝0，6，12，18，24，30时为有
理项，共6项，故无理项的项数为31－6＝25，故选D.
3. 的展开式中常数项是 （用数字作答）.
解析：（ x 2＋ ）6展开式的通项 Tr ＋1＝C （ x 2）6－ r ·（ ） r ＝
2 rx 12－3 r ，令12－3 r ＝0，解得 r ＝4，所以常数项为 24＝240.
240
练后悟通
求二项展开式中特定项的策略
　　求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk ＋1＝ an － kbk
的特点，一般需要建立方程求 k ，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的
取值范围（ k ＝0，1，2，…， n ）.
提醒　两类系数的区别：二项式系数是指 ， ，…， ，它只与
各项的项数有关，而与 a ， b 的值无关；项的系数是指该项中除变量
外的常数部分，与各项的项数有关，也与 a ， b 的值有关.
二项式系数的性质与各项系数的和
考向1　二项展开式中的系数和问题
【例1】　（1）（2024·惠州一模）已知（2 x －1）5＝ a 5 x 5＋ a 4 x 4＋ a
3 x 3＋ a 2 x 2＋ a 1 x ＋ a 0，则｜ a 0｜＋｜ a 1｜＋…＋｜ a 5｜＝（　　）
A. 1 B. 243
C. 121 D. 122
解析：令 x ＝1，得 a 5＋ a 4＋ a 3＋ a 2＋ a 1＋ a 0＝1，①.
令 x ＝－1，得－ a 5＋ a 4－ a 3＋ a 2－ a 1＋ a 0＝－243，②.
①＋②，得2（ a 4＋ a 2＋ a 0）＝－242，即 a 4＋ a 2＋ a 0＝－121.
①－②，得2（ a 5＋ a 3＋ a 1）＝244，即 a 5＋ a 3＋ a 1＝122.所
以｜ a 0｜＋｜ a 1｜＋…＋｜ a 5｜＝122＋121＝243.
（2）在（2 x －3 y ）10的展开式中，奇数项系数的和为 .

解析：设（2 x －3 y ）10＝ a 0 x 10＋ a 1 x 9 y ＋ a 2 x 8 y 2＋…＋ a 10 y
10，令 x ＝ y ＝1，得 a 0＋ a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝1，①.令 x ＝1， y
＝－1得 a 0－ a 1＋ a 2－ a 3＋…＋ a 10＝510，②.①＋②得2（ a 0＋
a 2＋…＋ a 10）＝1＋510，所以奇数项的系数和为 .
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（3）一般地，若 f （ x ）＝ a 0＋ a 1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ anxn ，则 f （ x ）展
开式中各项系数之和为 f （1），奇数项系数之和为 a 0＋ a 2＋ a 4
＋…＝ ，偶数项系数之和为 a 1＋ a 3＋ a 5＋…＝
.
（2）对形如（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式
各项系数之和，只需令 x ＝ y ＝1即可；
考向2　系数的最值问题
【例2】　在（ x － ） n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最
大，则展开式中系数最小的项的系数为（　　）
A. －126 B. －70
C. －56 D. －28
解析：　∵只有第5项的二项式系数最大，∴ n ＝8，（ x － ） n 的
展开式的通项为 Tk ＋1＝（－1） k （ k ＝0，1，2，…，8），
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的
二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二
项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为
（－1）3 ＝－56.
解题技法
1. 求二项式系数最大项
（1）如果 n 是偶数，那么中间一项（第 ＋1项）的二项式系数最
大，最大值为 ；
（2）如果 n 是奇数，那么中间两项（第 项与第 ＋1项）的二
项式系数相等且最大，最大值为 或 .
2. 求展开式系数最大项
求（ a ＋ bx ） n （ a ， b ∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采
用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A 1， A 2，…， An ＋1，且
第 k 项系数最大，应用解出 k .
1. （多选）在（ － x ）6的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A. 常数项为160
B. 第4项的二项式系数最大
C. 第3项的系数最大
D. 所有项的系数和为64
解析：　展开式的通项为 ·（ ）6－ k ·（－ x ） k ＝26－ k
（－1） k · x 2 k －6，由2 k －6＝0，得 k ＝3，所以常数项为23（－
1）3 ＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系
数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令 x ＝1，得（ －1）
6＝1，所有项的系数和为1，D错误.
2. 设 m 为正整数，（ x ＋ y ）2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a ，
（ x ＋ y ）2 m ＋1展开式的二项式系数的最大值为 b ，若13 a ＝7 b ，则
m ＝ .
解析：根据二项式系数的性质，知（ x ＋ y ）2 m 展开式中二项式系
数的最大值为 ，而（ x ＋ y ）2 m ＋1展开式中二项式系数的最大
值为 ，则 ＝ a ， ＝ b .又13 a ＝7 b ，所以13 ＝7
，即13× ＝7× ，解得 m ＝6.
6
多项式展开式中特定项（系数）问题
考向1　几个多项式和的展开式中特定项（系数）问题
【例3】　在1＋（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋（1＋ x ）3＋（1＋ x ）4＋（1
＋ x ）5＋（1＋ x ）6的展开式中，含 x 3项的系数是（　　）
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
解析：　法一　（1＋ x ） n 的通项公式为 Tr ＋1＝ xr ，当 n 依次取
3，4，5，6， r 取3得到含 x 3的系数为 ＝35.
法二　多项式可化为 ，二项式（ x ＋1）7的通
项公式为 Tr ＋1＝ x 7－ r ，令7－ r ＝4 r ＝3，含 x 3项的系数为 ＝
35.故选C.
解题技法
　　对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据
二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即
可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系
数）.
考向2　几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题
【例4】　（2022·新高考Ⅰ卷13题） （ x ＋ y ）8的展开式中 x 2 y
6的系数为 （用数字作答）.
解析：（ x ＋ y ）8展开式的通项 Tr ＋1＝ x 8－ ryr ， r ＝0，1，…，7，
8.令 r ＝6，得 T 6＋1＝ x 2 y 6，令 r ＝5，得 T 5＋1＝ x 3 y 5，所以
（ x ＋ y ）8的展开式中 x 2 y 6的系数为 ＝－28.
－28
解题技法
　　对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可
以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分
类方法，以免重复或遗漏.
考向3　三项式展开式中特定项（系数）问题
【例5】　（ x －3 y ＋2）5的展开式中，常数项为 ，所有不含字
母 x 的项的系数之和为 .
解析：由多项式知常数项为25＝32.令 x ＝0， y ＝1，即得所有不含字
母 x 的项的系数之和，所以所求系数之和为（0－3×1＋2）5＝（－1）
5＝－1.
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－1
解题技法
（ a ＋ b ＋ c ） n 展开式中特定项的求解方法
1. （ x ＋ y ）5的展开式中 x 3 y 3的系数为（　　）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
解析：　因为（ x ＋ y ）5的展开式的第 r ＋1项 Tr ＋1＝ x 5－
ryr ，所以 （ x ＋ y ）5的展开式中 x 3 y 3的系数为
＝15.故选C.
2. （ x 2－ ＋ y ）6的展开式中， x 3 y 3的系数是 .（用数
字作答）
解析：（ x 2－ ＋ y ）6表示6个因式 x 2－ ＋ y 的乘积，在这6个因式
中，有3个因式选 y ，其余的3个因式中有2个选 x 2，剩下一个选－
，即可得到 x 3 y 3的系数，即 x 3 y 3的系数是 ×（－2）＝
20×3×（－2）＝－120.
－120
3. （2021·浙江高考13题）已知多项式（ x －1）3＋（ x ＋1）4＝ x 4＋ a
1 x 3＋ a 2 x 2＋ a 3 x ＋ a 4，则 a 1＝ ； a 2＋ a 3＋ a 4＝ .
解析：（ x －1）3展开式的通项 Tr ＋1＝ x 3－ r ·（－1） r ，（ x ＋
1）4展开式的通项 Tk ＋1＝ x 4－ k ，则 a 1＝ ＝1＋4＝5； a 2
＝ （－1）1＋ ＝3； a 3＝ （－1）2＋ ＝7； a 4＝ （－
1）3＋ ＝0.所以 a 2＋ a 3＋ a 4＝3＋7＋0＝10.
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PART
3
课时 跟踪检测
关键能力 分层施练 素养重提升
课后练习
1. （2024·枣庄模拟）在（2 x ＋ ）6的展开式中，含 x 4项的系数为
（　　）
A. 160 B. 192
C. 184 D. 186
解析：　二项式（2 x ＋ ）6的展开式的通项是 Tr ＋1＝ （2 x ）6
－ r （ ） r ＝ 26－ rx 6－2 r ，当 r ＝1时， T 2＝ ×25× x 4＝192 x 4，含
x 4项的系数为192.故选B.
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2. （2024·益阳模拟）设（1＋2 x ） n ＝ a 0＋ a 1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ anxn ，
若 a 3＝2 a 2，则 n ＝（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：　二项式（1＋2 x ） n 的展开式的通项为 Tr ＋1＝ 1 n － r （2
x ） r ＝ 2 rxr ，所以 a 2＝ 22， a 3＝ 23，又 a 3＝2 a 2，所以
23＝2× 22，所以 n ＝5，故选B.
3. 已知（1＋2 x ） n （ n ∈N*）的展开式中第4项与第6项的二项式系数
相等，则（1＋2 x ） n 的展开式的各项系数和为（　　）
A. 38 B. 310
C. 28 D. 210
解析：　由题知 ，由组合数性质得 n ＝8，则（1＋2 x ） n
＝（1＋2 x ）8.令 x ＝1，则（1＋2 x ）8的展开式各项系数和为38.
4. （2＋ ）（1＋ x ）6的展开式中含 x 2的项的系数为（　　）
A. 55 B. 50
C. 135 D. 270
解析：　（1＋ x ）6的展开式的通项为 Tk ＋1＝ · xk ，令 k ＝3，则
T 4＝ · x 3＝20 x 3，令 k ＝2，则 T 3＝ · x 2＝15 x 2，所以（2＋ ）
（1＋ x ）6的展开式中含 x 2的项的系数为20＋2×15＝50.故选B.
5. 已知（1－ ） n 的展开式中所有项的系数和等于 ，则展开式中项
的系数的最大值是（　　）
A. B.
C. 7 D. 70
解析：　令 x ＝1得，（1－ ） n ＝ ，∴ n ＝8，∴（1－ ）8的
展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ （－ ） r ，要求展开式中项的系数
的最大值，则 r 必为偶数，∴ T 1＝ （－ ）0＝1， T 3＝ （－
）2＝7 x 2， T 5＝ （－ ）4＝ x 4， T 7＝ （－ ）6＝ x 6， T
9＝ （－ ）8＝ x 8，故选C.
6. （多选）已知（ x －1）5＝ a 0＋ a 1（ x ＋1）＋ a 2（ x ＋1）2＋…＋ a
5（ x ＋1）5，则（　　）
A. a 0＝－32 B. a 2＝－80
C. a 3＋4 a 4＝0 D. a 0＋ a 1＋…＋ a 5＝1
解析：　令 x ＝－1得（－1－1）5＝ a 0，即 a 0＝－32，故
A正确.令 x ＝0得（－1）5＝ a 0＋ a 1＋…＋ a 5，即 a 0＋ a 1＋…
＋ a 5＝－1，故D不正确.令 x ＋1＝ y ，则（ x －1）5＝ a 0＋ a 1
（ x ＋1）＋ a 2（ x ＋1）2＋…＋ a 5（ x ＋1）5就变为（ y －2）5
＝ a 0＋ a 1 y ＋ a 2 y 2＋…＋ a 5 y 5，根据二项式定理知， a 2即二
项式（ y －2）5展开式中 y 2项的系数， y 5－ k （－2）
k ，故 a 2＝ （－2）3＝－80，故B正确. a 4＝ （－2）1＝－
10， a 3＝ （－2）2＝40，故C正确.
7. 在（ x 2＋2 x ＋ y ）5的展开式中， x 5 y 2的系数为 .
解析：（ x 2＋2 x ＋ y ）5＝[（ x 2＋2 x ）＋ y ]5，由通项公式可得
（ x 2＋2 x ）5－ kyk ，∵要求 x 5 y 2的系数，故 k ＝2，此时
（ x 2＋2 x ）3＝ x 3·（ x ＋2）3，其对应 x 5的系数为 ×21＝6.∴ x 5 y 2
的系数为 ×6＝60.
60
8. 在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数
相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充
在下面（横线处）问题中，并解决问题.
已知（2 x －1） n ＝ a 0＋ a 1 x 1＋ a 2 x 2＋ a 3 x 3＋…＋ anxn （ n ∈N*），
若（2 x －1） n 的展开式中， 　　　　.
（1）求 n 的值；
解：选择条件①：若（2 x －1） n 的展开式中只有第6项
的二项式系数最大，则 ＝5.所以 n ＝10.
选择条件②：若（2 x －1） n 的展开式中第4项与第8项的二项
式系数相等，则 .所以 n ＝10.
选择条件③：若（2 x －1） n 的展开式中所有二项式系数的和
为210，则2 n ＝210.所以 n ＝10.
解：由（1）知 n ＝10，则（2 x －1）10＝ a 0＋ a 1 x 1＋ a 2 x 2＋ a
3 x 3＋…＋ a 10 x 10，
令 x ＝0，则 a 0＝1，令 x ＝－1，则310＝ a 0－ a 1＋ a 2－ a 3＋…＋ a 10
＝1＋｜ a 1｜＋｜ a 2｜＋｜ a 3｜＋…＋｜ a 10｜，
所以｜ a 1｜＋｜ a 2｜＋｜ a 3｜＋…＋｜ a 10｜＝310－1.
（2）求｜ a 1｜＋｜ a 2｜＋｜ a 3｜＋…＋｜ an ｜的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
9. 如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 023天后是
（　　）
A. 星期二 B. 星期三
C. 星期四 D. 星期五
解析：　82 023＝（1＋7）2 023＝ 70＋ 7＋ 72＋…
＋ 72 023，则82 023除以7的余数为1，所以是星期四.
10. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋ x 3＋ x 5＋…＋ xk ＋…
＋ xn （ k ， n 为正奇数），f'（ x ）是 f （ x ）的导函数，则f'
（1）＋ f （0）＝（　　）
A. 2 n B. 2 n －1
C. 2 n ＋1 D. 2 n －1＋1
解析：　因为 f （ x ）＝ x ＋ x 3＋ x 5＋…＋ xk
＋…＋ xn ，令 x ＝0，则 f （0）＝ ＝1，由于f'（ x ）＝
x 2＋ x 4＋…＋ xk －1＋…＋ xn －1，令 x ＝1，则f'（1）＝
＋…＋ ＋…＋ ＝2 n －1，所以f'（1）＋ f （0）＝
2 n －1＋1.故选D.
11. （多选）若（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ） n ＝ a 0＋ a 1 x ＋
a 2 x 2＋…＋ anxn ，且 a 1＋ a 2＋…＋ an －1＝125－ n ，则下列结论正
确的是（　　）
A. n ＝6
B. a 1＝21
C. （1＋2 x ） n 展开式中二项式系数和为729
D. a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋ nan ＝321
解析：　对于A，因为（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ）
n ＝ a 0＋ a 1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ anxn ，令 x ＝1，得2＋22＋…＋2 n ＝ a 0
＋ a 1＋ a 2＋…＋ an ＝ ＝2 n ＋1－2，令 x ＝0，得 n ＝ a 0，
因为（1＋ x ） n 中 xn 项为 xn ＝ xn ，所以 an ＝1，所以 a 1＋ a 2
＋…＋ an －1＝2 n ＋1－2－ n －1＝125－ n ，解得 n ＝6，故A正确；
对于B， a 1＝1＋ ＝21，故B正确；对于C，
（1＋2 x ）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；
对于D，令 f （ x ）＝（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ）6＝ a 0＋ a
1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ a 6 x 6，f'（ x ）＝1＋2（ x ＋1）＋…＋6（ x ＋1）5＝ a
1＋2 a 2 x ＋…＋6 a 6 x 5，令 x ＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋
5×24＋6×25＝ a 1＋2 a 2＋3 a 3＋4 a 4＋5 a 5＋6 a 6＝321，故D正确.
12. 已知（ x ） n （ n ∈N*，1≤ n ≤12）的展开式中有且仅有
两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个 n 的值为
.
解析：（ x ） n 的展开式的通项为 Tr ＋1＝ ·（ ） n －
r ·（ ） rxr ， r ≤ n ， r ∈N. 若系数为有理数，则 ∈Z，且
∈Z. 当 n ＝3时 r ＝0； n ＝4时 r ＝4； n ＝5时 r ＝2； n ＝6时 r ＝0，
6； n ＝7时 r ＝4； n ＝8时 r ＝2，8； n ＝9时 r ＝0，6； n ＝10时 r
＝4，10； n ＝11时 r ＝2，8； n ＝12时 r ＝0，6，12.所以 n 可取6，
8，9，10，11中的任意一个值.
6（答案
不唯一， n 取6，8，9，10，11中任意一个值均可）
13. 设（ x 2＋1）（4 x －3）8＝ a 0＋ a 1（2 x －1）＋ a 2（2 x －1）2＋…
＋ a 10（2 x －1）10，则 a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝ .
解析：令 x ＝ ，得 a 0＝［（ ）2＋1］×（4× －3）8＝ ，令 x
＝1，得 a 0＋ a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝（12＋1）×（4×1－3）8＝2，所
以 a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝ a 0＋ a 1＋ a 2＋…＋ a 10－ a 0＝2－ .

14. 若（ ） n 的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的
项，求其第5项.
解：依题意，（ ） n 的展开式的通项为 Tk ＋1＝ ）
n － k （ ） k ，当 n 为偶数时，只有第10项的二项式系数最大，即 ＋1＝10，则 n ＝18，此时 T 5＝ ）18－4·（ ）4＝3 060 x 4.
当 n 为奇数时，第10，11项的二项式系数最大或第9，10项的二项
式系数最大，即 ＝10或 ＝9，解得 n ＝19或 n ＝17.
当 n ＝19时， T 5＝ ）19－4·（ ）4＝3 876 ；
当 n ＝17时， T 5＝ ）17－4（ ）4＝2 380 .
综上，当 n ＝18时，第5项为3 060 x 4；当 n ＝19时，第5项为3 876
；当 n ＝17时，第5项为2 380 .
15. 已知 Sn 是数列{ an }的前 n 项和，若（1－2 x ）2 024＝ b 0＋ b 1 x ＋ b 2 x
2＋…＋ b 2 024 x 2 024，数列{ an }的首项 a 1＝ ＋…＋
＝ Sn · ，则 S 2 024＝（　　）
A. － B. C. 2 024 D. －2 024
解析：　令 x ＝ ，得（1－2× ）2 024＝ b 0＋ ＋…＋
＝0.令 x ＝0，得 b 0＝1，所以 a 1＝ ＋…＋ ＝－1.由 an ＋
1＝ SnSn ＋1＝ Sn ＋1－ Sn ，得 ＝1，所以
＝－1，所以数列{ }是首项为 ＝－1，公差为－1的等差数列，
所以 ＝－1＋（ n －1）·（－1）＝－ n ，所以 Sn ＝－ ，所以 S 2
024＝－ .
16. 已知函数 f （ x ）＝（1＋ x ） n ＋2（1＋ x ） n ＋1＋…＋ m （1＋ x ） n
＋ m －1，其中 m ， n ∈N*， m ＜ n .
（1）求函数 f （ x ）中含 xn 项的系数；
解：由二项式定理知，函数 f （ x ）中含有 xn 项的系数
为 ＋2 ＋3 ＋…＋ m .
（2）求证： ＋2 ＋3 ＋…＋ m
.
解：证明：函数 f （ x ）＝（1＋ x ） n ＋2（1＋ x ） n ＋1＋…＋
m （1＋ x ） n ＋ m －1，　①
则由（1）知，函数 f （ x ）中含 xn 项的系数为 ＋2 ＋3
＋…＋ m .
又因为（1＋ x ） f （ x ）＝（1＋ x ） n ＋1＋2（1＋ x ） n ＋2＋…＋
（ m －1）（1＋ x ） n ＋ m －1＋ m （1＋ x ） n ＋ m ，　②
①－②得－ xf （ x ）＝（1＋ x ） n ＋（1＋ x ） n ＋1＋…＋（1＋ x ） n
＋ m －1－ m （1＋ x ） n ＋ m ＝ － m （1＋
x ） n ＋ m ＝ ，
即 f （ x ）＝ .
函数 f （ x ）中含 xn 项的系数即为多项式（ mx －1）·（1＋ x ） n ＋ m
＋（1＋ x ） n 中含 xn ＋2项的系数，为 m ，
所以 ＋2 ＋3 ＋…＋ m ＝ m ＝ m
＝ m · ＝ m ＝（ m － ） .
感 谢 观 看!2025年高考数学一轮复习-9.2-二项式定理
[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝___________________________(n∈N＊)；
(2)通项公式：Tk＋1＝an－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展开式的第______项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为.
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数____．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＝____．
[常用结论]
．＋…＝＋…＝2n-1.
．＝.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　　)
(4)通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)
A．6　　 B．－6　
C．24　　 D．－24
2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为(　　)
A．－40 　 B．－40x2
C．40 　 D．40x2
3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A．252x3 　 B．210x4
C．252x5 　 D．210x6
4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
考点一　二项展开式的通项公式的应用
　形如(a＋b)n的展开式问题
[典例1]　(1)(2023·北京高考)的展开式中，x的系数是(　　)
A．－40　 　B．40　 　C．－80　 　D．80
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
[典例2]　(1)(2024·广东佛山开学考试)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．－23 　 B．－3
C．3 　 D．15
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如(a＋b＋c)n的展开式问题
[典例3]　(2024·河北沧州模拟)(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．－10 　 B．10
C．－30 　 D．30
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东揭阳开学考试)已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为(　　)
A．2 　 B．－1
C．1 　 D．－2
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60 　 B．80
C．84 　 D．120
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________．
考点二　二项式系数与项的系数问题
　二项式系数和与系数和
[典例4]　(1)(多选)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，下列命题正确的是(　　)
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中所有偶数项系数的和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为
D．＋…＋＝－1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二项式系数的性质
[典例5]　若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　赋值法的应用
(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．
[跟进训练]
2．(1)(多选)在二项式的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A．常数项是
B．各项的系数和是64
C．第4项的二项式系数最大
D．奇数项的二项式系数和为－32
(2)(2024·广东广州模拟)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．
考点三　二项式定理的应用
[典例6]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 　 B．1
C．11 　 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 　 B．1.13
C．1.14 　 D．1.20
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
[跟进训练]
(2024·华中师大一附中模拟)组合数被9除的余数是________．
参考答案与解析
[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＊)；
(2)通项公式：Tk＋1＝an－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展开式的第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为.
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＝2n．
[常用结论]
．＋…＝＋…＝2n-1.
．＝.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　　)
(4)通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)
A．6　　 B．－6　
C．24　　 D．－24
A　[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为＝6.故选A.]
2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为(　　)
A．－40 　 B．－40x2
C．40 　 D．40x2
B　[的展开式的中间项为(2x)3·＝－40x2.故选B.]
3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A．252x3 　 B．210x4
C．252x5 　 D．210x6
C　[由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝xk，且有＝，因此n＝10.故二项式系数最大的项为x5＝252x5.故选C.]
4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
－15　[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2.
故x2的系数为－15．]
考点一　二项展开式的通项公式的应用
　形如(a＋b)n的展开式问题
[典例1]　(1)(2023·北京高考)的展开式中，x的系数是(　　)
A．－40　 　B．40　 　C．－80　 　D．80
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
(1)D　(2)16　5　[(1)由二项式定理可知展开式的第k＋1项，
Tk＋1＝(2x)5-k＝x5-2k(k＝0，1，…，5)，令5－2k＝1，可得k＝2．即含x的项为第3项，
所以T3＝80x，故x的系数为80.故选D.
(2)由题意，(＋x)9的通项为Tk＋1＝)9-kxk(k＝0，1，2，…，9)，当k＝0时，可得常数项为T1＝)9＝16；若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．]
　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
[典例2]　(1)(2024·广东佛山开学考试)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．－23 　 B．－3
C．3 　 D．15
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答)
(1)A　(2)－28　[(1)由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故选A.
(2)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6－x3y5＝－28x2y6，
所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．]
　形如(a＋b＋c)n的展开式问题
[典例3]　(2024·河北沧州模拟)(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．－10 　 B．10
C．－30 　 D．30
C　[(x2－x＋y)5表示5个因式x2－x＋y的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－x，即可得到x5y2的系数，所以展开式中含x5y2的项为(x2)2×(－x)＝－30x5y2，故展开式中x5y2的系数为－30.故选C.]
　几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东揭阳开学考试)已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为(　　)
A．2 　 B．－1
C．1 　 D．－2
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60 　 B．80
C．84 　 D．120
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________．
(1)C　(2)D　(3)92　[(1)(x＋1)4的展开式中x2的系数为＝6，x3的系数为＝4，所以(ax－2)·(x＋1)4的展开式中x3的系数为6a－2×4＝6a－8，依题意得6a－8＝－2，得a＝1.故选C.
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝＝，
所以x2的系数为＝120.故选D.
(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为35＋(－1)34＋(－1)233＋(－1)332＋(－1)431＋(－1)530＝92.
法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝(1＋2x)5＋(1＋2x)4(－3x2)＋(1＋2x)3(－3x2)2＋(1＋2x)2(－3x2)3＋(1＋2x)(－3x2)4＋(－3x2)5，
所以x5的系数为25＋×23×(－3)＋×2×(－3)2＝92.]
考点二　二项式系数与项的系数问题
　二项式系数和与系数和
[典例4]　(1)(多选)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，下列命题正确的是(　　)
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中所有偶数项系数的和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为
D．＋…＋＝－1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
(1)ACD　(2)－3或1　[(1)由二项式知＝22 023，A正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023，
由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝＝－，B错误；
由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝， C正确；
令x＝可得a0＋＋…＋＝0，
又a0＝1，
所以＋…＋＝－1，D正确．故选ACD.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．]
　二项式系数的性质
[典例5]　若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．
4　[根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9，10，11，令x＝1，有(m－1)n＝2n，当n＝9，11时，m＝3；当n＝10时，m＝3或－1，故有序实数对(m，n)共有4组不同的解，分别为(3，9)，(3，11)，(－1，10)，(3，10)．]
　赋值法的应用
(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．
[跟进训练]
2．(1)(多选)在二项式的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A．常数项是
B．各项的系数和是64
C．第4项的二项式系数最大
D．奇数项的二项式系数和为－32
(2)(2024·广东广州模拟)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．
(1)AC　(2)364　[(1)二项式的展开式通项为Tk＋1＝＝.
令3－k＝0，可得k＝2，故常数项是＝，A正确；各项的系数和是＝，B错误；
二项式展开式共7项，故第4项的二项式系数最大，C正确；奇数项的二项式系数和为25＝32，D错误．故选AC.
(2)令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，
令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－1)6＝1，
两式相加，除以2，得：a0＋a2＋a4＋a6＝365，当x＝0时，a0＝1，
所以a2＋a4＋a6＝364．]
考点三　二项式定理的应用
[典例6]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 　 B．1
C．11 　 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 　 B．1.13
C．1.14 　 D．1.20
(1)B　(2)B　[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝522 023－522 022＋522 021－…＋52－
＋a，因为512 023＋a能被13整除，结合选项，
所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1.
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.]
　二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
[跟进训练]
3．(2024·华中师大一附中模拟)组合数被9除的余数是________．
8　＝，＝×234＝233＝811＝(9－1)11＝·91－C1111·90＝9k－1＝9(k－1)＋8，其中k∈N，∴该组合数被9除的余数是8．]
课时分层作业(六十四)　二项式定理
一、单项选择题
1．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10　　 B．20　　 C．30　　 D．120
B　[因为展开式的二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，所以Tk＋1＝·x6-k·＝x6-2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝＝20．]
2．(2024·广东广州模拟)若(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(　　)
A．1 　 B．－1
C．15 　 D．－15
A　[由于(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，
故令x＝－1，可得a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1＋2)4＝1.故选A.]
3．(2024·四川成都模拟)已知(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为(　　)
A．―4 　 B．84
C．―280 　 D．560
B　[因为(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以＝，则n＝7.
又因为(x－2y)7的展开式的通项公式为Tk＋1＝x7-k(－2y)k，
令k＝2，所以展开式中的x5y2项的系数为(－2)2＝84.
故选B.]
4．(2024·浙江杭州模拟)在(x2＋x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．60 　 B．15
C．120 　 D．30
A　[在(x2＋x＋y)6的展开式中，含y2的项为·(x2＋x)4·y2，
故含x5y2的系数为＝60.
故选A.]
5．(2024·安徽宿州模拟)设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，则n＝(　　)
A．8 　 B．9
C．10 　 D．11
D　[已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
若a7＝a8，即·27＝·28，
即＝2×，
化简可得2(n－7)＝8，解得n＝11.故选D.]
6．(2024·湖南长沙一中模拟)若的展开式中共有n个有理项，则n的值为(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
C　[因为展开式的通项公式为Tk＋1＝＝，k＝0，1，…，6，当且仅当k＝0，3，6时，为整数，可得T1，T4，T7为有理项.
故选C.]
7．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 　 B．960
C．1 120 　 D．1 680
C　[因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tk＋1＝(－2x)k＝(－2)kxk，所以T5＝(－2)4x4，其系数为(－2)4＝1 120.故选C.]
8．(x2－x＋1)(1＋x)9展开式中含x5的系数是(　　)
A．28 　 B．－28
C．84 　 D．－84
C　[(1＋x)9展开式的通项为Tk＋1＝·19-k·xk＝·xk，k＝0，1，2，…，9，
当x2－x＋1选取x2时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x3的项，
由k＝3，可得T4＝·x3＝84x3；
当x2－x＋1选取－x时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x4的项，
由k＝4，可得T5＝·x4＝126x4；
当x2－x＋1选取1时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x5的项，
由k＝5，可得T6＝·x5＝126x5，
所以(x2－x＋1)(1＋x)9展开式中含x5的系数是1×84－1×126＋1×126＝84.
故选C.]
9．(2023·山东德州三模)若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，则(　　)
A．a0＝－1
B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝－312
C．a1＋a2＋…＋a12＝－2
D．＋…＋＝－1
D　[令x＝1，可得a0＝1，A错误；
令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝312，B错误；
令x＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝(4－3)12＝1，
故a1＋a2＋…＋a12＝1－a0＝1－1＝0，C错误；
令x＝，则＝a0＋＋…＋＝0，
故＋…＋＝0－a0＝－1，D正确．故选D.]
10．已知二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则(2＋x)k展开式的二项式系数和是(　　)
A．210 　 B．310
C．29 　 D．39
A　[用Tk表示二项式(1＋2x)13中第k项系数，
若二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则有Tk－1Tk＋1，其中Tk＝2k-1，k∈N*，
即＜k＜，
因为k∈N*，所以k＝10，
所以(2＋x)k展开式的二项式系数和为210.
故选A.]
二、多项选择题
11．在的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A．常数项是1 120　
B．第4项和第6项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为256
D．各项的系数之和为256
AC　[根据二项式定理，的通项公式为Tk＋1＝28-k(－1)kx8-2k，
常数项为24(－1)4＝1 120，A正确；
第4项的系数为28-3(－1)3＝－1 792，第6项的系数为28-5(－1)5＝－448，B错误；
因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，C正确；
令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误．
故选AC.]
12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有(　　)
A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和为1 458
D．展开式中含x2项的系数为240
ACD　[令x＝1，所以的展开式中各项系数的和为(1＋a)(2－1)6＝2，解得a＝1，故A正确；展开式通项为Tk＋1＝(2x)6－k＝(－1)k26－kx6－2k，当6－2k＝0时，k＝3；当6－2k＝1时，k＝(舍去)，
所以展开式中常数项为(－1)3×23＝－160；
当6－2k＝2时，k＝2；当6－2k＝3时，k＝(舍去)，
所以展开式中含x2项的系数为(－1)2×24＝240，B错误，D正确；二项式展开式系数的绝对值的和可看作是二项式展开式系数的和，所以令x＝1，则展开式系数的和为(1＋1)(2＋1)6＝1 458，C正确．故选ACD.]
三、填空题
13．(2023·天津高考)在的展开式中，x2项的系数为 ________．
60　[二项式的展开式的通项为Tk＋1＝(2x3)6-k·＝·26-k·(－1)k·x18-4k，
令18－4k＝2，得k＝4，所以x2项的系数为＝60．]
14．已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________．
64　[由题意，且，
所以n＝6，所以令x＝1，(1＋x)6的系数和为26＝64．]
15．(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
8　－2　[x2系数之和为(－1)2＝8，即a2＝8；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0；令x＝0，得a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．]
16．(2024·海南海口模拟)在(x＋1)4(y＋z)6的展开式中，系数最大的项为________．
120x2y3z3　[因为(x＋1)4的通项为x4-k，(y＋z)6的通项为y6-rzr，
所以(x＋1)4展开式系数最大的项为x2＝6x2，
(y＋z)6展开式系数最大的项为y3z3＝20y3z3，
所以在(x＋1)4(y＋z)6的展开式中，系数最大的项为120x2y3z3．]
17．(2024·江苏扬州模拟)若(x＋5)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，T＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，则T被5除所得的余数为________．
1　[由题知x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝62 023＝(5＋1)2 023,
故T＝52 023＋52 022＋…＋51＋1，
＝52 023＋52 022＋…＋51＋1)
＝52 023＋52 022＋…＋51)＋.
所以被5除得的余数是1．]
18．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n＋1行的第3个数字为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________，＋…＋＝________．
220　　[法一：由题意知an＝，
a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220.
＋…＋＝＋…＋＝＋…＋＝2＝2＝.
法二：由题意知an＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝＝＝＝…＝＝＝＝＝220.
＋…＋＝＝＋…＋＝2＝2＝.

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