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拓展拔高1　一元二次方程根的分布
设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,而m,n,k为常数,令f(x)=ax2+bx+c,结合二次函数的图象,以a>0的情形为例,对于一元二次方程根的分布的讨论常见情形总结如下:
(1)若方程有两个均大于m的实根,即x1,x2∈(m,+∞),则有
(2)若方程在[m,n]内有两根,即x1,x2∈[m,n],则有
(3)若方程有两根,一根比m大,一根比m小,即x1(4)若m(5)若方程有两个不同的根,且在(m,n)内有且仅有一个根,则f(m)·f(n)<0或f(m)=0,另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内.
视角一　已知两根与实数k的大小关系
[例1](1)若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)
【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,
所以解得a>1,
故实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)已知关于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一负根,则实数m的取
值范围是　　　　.
【解析】方法一:显然2m+1≠0,令f(x)=x2-x+,则f(0)<0,即<0,所以(2m+1)(m-1)<0,解得-方法二:设x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的两个根,则x1x2=<0,
解得-(-,1)
思维升华
当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先判断二次项系数能否为0.
【加练备选】
　　　若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围为　　　　　　　.
【解析】由题意,关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,
设f(x)=x2-kx+2,
根据二次函数的性质,可得f(-1)=k+3<0,
解得k<-3,
所以实数k的取值范围为(-∞,-3).
(-∞,-3)
视角二　已知两根所在的区间
[例2](1)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则实数m的取值范围是(　　)
A. [,] B. (,] C. [,2) D. (,]∪{6-2}
【解析】选D.将方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则需要满足:
①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,
解得②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,
把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=,
此时方程为x2-x=0,两根为0,,
而 (0,1),不合题意,舍去;
把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=,
此时方程为3x2-4x+1=0,两根为1,,
而∈(0,1),故符合题意;
③函数与x轴只有一个交点,其横坐标在区间(0,1)内,
Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±2,
当m=6+2时,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2- (0,1),不合题意;
若m=6-2,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2,符合题意.
综上,实数m的取值范围为(,]∪{6-2}.
由题意,得即解得-(2)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)
内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围为　　　　　　　　;
【解析】①设函数f(x)=x2+2mx+2m+1,
则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,
(-,-)
由题意,得即
解得-②若方程两根均在区间(0,1)内,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
【解析】②由题意知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图如图,
(-,1-]
思维升华
求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②对称轴;③判别式;④在区间端点的函数值.
提醒:注意以下两点:一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用;二是对于一些特殊情况,还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法.
视角三　可转化为一元二次方程根的分布的问题
[例3](1)(2023·黄山模拟)若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.(7,+∞)
D.(-∞,-3)
【解析】选C.设t=2x,则t>0,则转化为函数g(t)=t2-mt+m+3有两个不同的零点t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),
所以
即
解得m>7.
(2)(2023·石家庄模拟)设函数f(x)=-cos 2x+asin x+a+,若方程f(x)=0在(0,π)上有4
个不相等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.
(-3,6-6)
【解析】f(x)=-(1-2sin 2x)+asin x+a+=3sin 2x+asin x+a+3,x∈(0,π),令sin x=t,
t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,当0有且仅有一个实数根,因为方程f(x)=0在(0,π)上有4个不相等的实数根,所以原问
题等价于h(t)=3t2+at+a+3=0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根,所以
解得-3思维升华
(1)一元二次方程根的分布问题很多都涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题,经过换元后都能转化为根的分布问题求解.
(2)本题中,令sin x=t,将原问题转化为3t2+at+a+3=0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.
谢谢观赏！！拓展拔高1　一元二次方程根的分布
设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,而m,n,k为常数,令f(x)=ax2+bx+c,结合二次函数的图象,以a>0的情形为例,对于一元二次方程根的分布的讨论常见情形总结如下:
(1)若方程有两个均大于m的实根,即x1,x2∈(m,+∞),则有
(2)若方程在[m,n]内有两根,即x1,x2∈[m,n],则有
(3)若方程有两根,一根比m大,一根比m小,即x1(4)若m(5)若方程有两个不同的根,且在(m,n)内有且仅有一个根,则f(m)·f(n)<0或f(m)=0,另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内.
视角一　已知两根与实数k的大小关系
[例1](1)若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)
【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,
所以解得a>1,
故实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)已知关于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一负根,则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】方法一:显然2m+1≠0,令f(x)=x2-x+,则f(0)<0,即<0,所以(2m+1)(m-1)<0,解得-方法二:设x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的两个根,则x1x2=<0,
解得-答案: (-,1)
思维升华
当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先判断二次项系数能否为0.
【加练备选】
　　　若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围为　　　　　　　.
【解析】由题意,关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,
设f(x)=x2-kx+2,
根据二次函数的性质,可得f(-1)=k+3<0,
解得k<-3,
所以实数k的取值范围为(-∞,-3).
答案:(-∞,-3)
视角二　已知两根所在的区间
[例2](1)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则实数m的取值范围是(　　)
A. [,] B. (,] C. [,2) D. (,]∪{6-2}
【解析】选D.将方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则需要满足:
①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,
解得②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,
把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
解得m=,
此时方程为x2-x=0,两根为0,,
而 (0,1),不合题意,舍去;
把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
解得m=,
此时方程为3x2-4x+1=0,两根为1,,
而∈(0,1),故符合题意;
③函数与x轴只有一个交点,其横坐标在区间(0,1)内,
Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±2,
当m=6+2时,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2- (0,1),不合题意;
若m=6-2,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2,符合题意.
综上,实数m的取值范围为(,]∪{6-2}.
(2)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围为　　　　　　　　;
【解析】①设函数f(x)=x2+2mx+2m+1,
则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,
由题意,得
即
解得-②若方程两根均在区间(0,1)内,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
【解析】②由题意知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图如图,
由题意,得
即
解得-答案:①(-,-)　②(-,1-]
思维升华
求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②对称轴;③判别式;④在区间端点的函数值.
提醒:注意以下两点:一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用;二是对于一些特殊情况,还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法.
视角三　可转化为一元二次方程根的分布的问题
[例3](1)(2023·黄山模拟)若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.(7,+∞)
D.(-∞,-3)
【解析】选C.设t=2x,则t>0,则转化为函数g(t)=t2-mt+m+3有两个不同的零点t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),
所以
即
解得m>7.
(2)(2023·石家庄模拟)设函数f(x)=-cos 2x+asin x+a+,若方程f(x)=0在(0,π)上有4个不相等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】f(x)=-(1-2sin 2x)+asin x+a+=3sin 2x+asin x+a+3,x∈(0,π),令sin x=t,t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,当0解得-3答案:(-3,6-6)
思维升华
(1)一元二次方程根的分布问题很多都涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题,经过换元后都能转化为根的分布问题求解.
(2)本题中,令sin x=t,将原问题转化为3t2+at+a+3=0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.

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