资源简介

(共23张PPT)
拓展拔高3　用构造法解决函数问题
【高考考情】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,既可能在选择、填空题中运用,也可能在解答题中出现.
【解题关键】通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
视角一　通过变量构造具体函数
[例1](1)若0A.->ln x2-ln x1
B.-C.x2>x1
D.x2【解析】选C.构造函数f(x)=ex-ln x,
所以f'(x)=ex-,且在(0,1)上有零点,
所以f(x)在(0,1)上有一个极值点,
所以f(x)在(0,1)上不单调,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错误;
令g(x)=,所以g'(x)=<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,
又因为x2>x1>0,
所以>,即x2>x1.
(2)(2023·石家庄模拟)若ln x-ln y<-(x>1,y>1),则(　　)
A.ey-x>1 B.ey-x<1
C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1
【解析】选A.依题意,ln x-令f(t)=t-(t≠0),
则f'(t)=1+>0,
所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;
又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,
因为f(ln x)所以10,
所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确;
又无法确定y-x-1与0的大小关系,故C,D不正确.
思维升华
若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
视角二　利用导数的运算法则构造函数
微切口1　利用f(x)与xn构造函数
[例2]设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,
则不等式f(x)>0的解集为________________.
(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】构造F(x)=,
则F'(x)=,
当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数,
所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增.
根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
思维升华
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
微切口2　利用f(x)与ex构造函数
[例3](2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,
则f(x)>3的解集为________.
(3,+∞)
【解析】设F(x)=f(x)·ex,
则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增.
又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3.
因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3,
即F(x)>F(3),
所以x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞).
思维升华
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
迁移应用
已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,则不等式f(x)+1>2 023ex的解集为(　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C. .(-∞,) D.(-∞,1)
【解析】选A.构造函数F(x)=,
则F'(x)==,
因为f'(x)-f(x)<1,
所以F'(x)<0恒成立,
故F(x)=在R上单调递减,f(x)+1>2 023ex可变形为>2 023,
又f(0)=2 022,所以F(0)==2 023,
所以F(x)>F(0),解得x<0.
微切口3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数
[例4](多选题)已知定义在(0,)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立,则(　　)
A. f()>f () B.f ()>f ()
C.f ()>f() D.f()>f()
【解析】选CD.令g(x)=,x∈(0,),
则g'(x)=,
又由x∈(0,),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,
则有g'(x)<0,即函数g(x)在(0,)上单调递减.
由<,则有g()>g(),
即>,可得f()>f();
又由<,则有g()>g(),
即>,可得f()>f().
思维升华
函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式:
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
F(x)=,F'(x)=;
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
F(x)=,F'(x)=.
迁移应用
已知偶函数f(x)的定义域为(-,),其导函数为f'(x),当0f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<2f()cos x的解集为(　　)
A. (-,-)∪(,) 　 B. (-,)
C. (-,-) 　　 D. (,)
【解析】选A.因为偶函数f(x)的定义域为(-,),
所以设g(x)=,
则g(-x)==,
即g(x)也是偶函数.当0根据题意g'(x)=<0,
则g(x)在(0,)上单调递减,且为偶函数,
则g(x)在(-,0)上单调递增.
所以f(x)<2f()cos x < g(x)所以
解得x∈(-,-)∪(,).
谢谢观赏！！拓展拔高3　用构造法解决函数问题
【高考考情】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,既可能在选择、填空题中运用,也可能在解答题中出现.
【解题关键】通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
视角一　通过变量构造具体函数
[例1](1)若0A.->ln x2-ln x1
B.-C.x2>x1
D.x2【解析】选C.构造函数f(x)=ex-ln x,
所以f'(x)=ex-,且在(0,1)上有零点,
所以f(x)在(0,1)上有一个极值点,
所以f(x)在(0,1)上不单调,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错误;
令g(x)=,所以g'(x)=<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,
又因为x2>x1>0,
所以>,即x2>x1.
(2)(2023·石家庄模拟)若ln x-ln y<-(x>1,y>1),则(　　)
A.ey-x>1 B.ey-x<1
C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1
【解析】选A.依题意,ln x-令f(t)=t-(t≠0),
则f'(t)=1+>0,
所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;
又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,
因为f(ln x)所以10,
所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确;
又无法确定y-x-1与0的大小关系,故C,D不正确.
思维升华
若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
视角二　利用导数的运算法则构造函数
微切口1　利用f(x)与xn构造函数
[例2]设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________.
【解析】构造F(x)=,
则F'(x)=,
当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数,
所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增.
根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
思维升华
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
微切口2　利用f(x)与ex构造函数
[例3](2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)>3的解集为________.
【解析】设F(x)=f(x)·ex,
则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增.
又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3.
因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3,
即F(x)>F(3),
所以x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
思维升华
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
迁移应用
已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,则不等式f(x)+1>2 023ex的解集为(　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C. .(-∞,) D.(-∞,1)
【解析】选A.构造函数F(x)=,
则F'(x)==,
因为f'(x)-f(x)<1,
所以F'(x)<0恒成立,
故F(x)=在R上单调递减,f(x)+1>2 023ex可变形为>2 023,
又f(0)=2 022,所以F(0)==2 023,
所以F(x)>F(0),解得x<0.
微切口3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数
[例4](多选题)已知定义在(0,)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立,则(　　)
A. f()>f () B.f ()>f ()
C.f ()>f() D.f()>f()
【解析】选CD.令g(x)=,x∈(0,),
则g'(x)=,
又由x∈(0,),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,
则有g'(x)<0,即函数g(x)在(0,)上单调递减.
由<,则有g()>g(),
即>,可得f()>f();
又由<,则有g()>g(),
即>,可得f()>f().
思维升华
函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式:
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
F(x)=,F'(x)=;
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
F(x)=,F'(x)=.
迁移应用
已知偶函数f(x)的定义域为(-,),其导函数为f'(x),当0A. (-,-)∪(,) 　 B. (-,)
C. (-,-) 　　 D. (,)
【解析】选A.因为偶函数f(x)的定义域为(-,),
所以设g(x)=,
则g(-x)==,
即g(x)也是偶函数.当0根据题意g'(x)=<0,
则g(x)在(0,)上单调递减,且为偶函数,
则g(x)在(-,0)上单调递增.
所以f(x)<2f()cos x < g(x)所以
解得x∈(-,-)∪(,).

展开更多......

收起↑