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六盘水市2023-2024学年度高一年级学业质量监测试题卷
数学
(考试时长：120分钟试卷满分：150分)
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码。
2.回答选择題时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需玫
动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷
上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的
1.已知集合A={xx2-4=0},则
A.{-2,2}A
B.{-2,2}∈A
C.2年A
D.-2CA
2.下列图形中，可以表示函数y=f八x)的是
3.已知z=(1-i)i,则z=
A.1
B.√2
C.3
.2
4.已知函数f(x)=a(a>0且a≠1)，则下列选项正确的是
A.函数f(x)的值域为R
B.若a>1,m>n,则a"C.函数f(x)的图象恒过定点(0,1)
D.若00,则f(x)>1
5.已知长方体的长、宽、高分别为2,1,1，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为
6
6
A.
6
.2
C.
2
D.6
6.在△ABC中，D是BC边上靠近点C的三等分点，E是AD的中点，若AE=AAB+uAC,则A+u=
A.0
B
2
D.1
2023-2024学年度高一年级学业质量监测试题数学卷第1页（共4页）
7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x+2)+f(x)=0.当0≤x≤1时，f(x)=2x,则f(211)=
A.-2
B.-1
C.0
D.2
8已知cos(a+B)=5,as(a-B)=号ae(0,2),Be(0,7),则anat+tams的值为
11
4w6
,8w6
.3
B.
3
C.3
D.46
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.如图在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N,P分别是CD,C,C,A,A的中点，则下列选项正确的是
A.MN//平面AD,C
B.BD⊥平面MNP
C.M,N,B,A1四点共面
D.MN与AC,所成的角为T
10.下列选项正确的是
A.+y>2
B.x+≥2(x>0)
y x
C.+x-23(>）
D.2<√(x,yeN,xy)
x+Y
11.已知向量a,b的数量积（又称向量的点积或内积）：ab=a|bcos(a,b),其中(a,b)表示向
量a,b的夹角：定义向量a,b的向量积（又称向量的叉积或外积）：a×b=a b sin(a,b),其中
(a,b>表示向量a,b的夹角，则下列说法正确的是
A.△ABC的面积为ABXAC|
B.若a,6为非零向量，且ax6=a6,则(a,6)=T
4
C.若|a×b|=√3ab=√3，则|a+26的最小值为23
D.已知点A(3,0),B(1,1),0为坐标原点，则|0×0B|=23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知A(1,-1),B(-2,0),C(0,1),则AB+AC=
10g2(1-x),x<0
13.已知函数f(x)=
,则f(-7)+flog3)=
4x,x≥0
14.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a=4,3sinA-cosA=2,则△ABC面积的最
大值是
2023-2024学年度高一年级学业质量监测试题数学卷第2页（共4页）六盘水市2023-2024学年度第二学期期末质量监测
高一数学 参考答案
(考试时长：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B
8.解： cos( ) 1 5 cos cos
1
sin sin ①5
cos( ) 2 5 cos cos sin sin
2
②5
①+②的 cos cos 3 10
cos( ) 1 5 ,

（0，2）， （0，2）
sin( ) 1 cos2 ( ) 1 (1)2 2 6 5 5
2 6
tan tan sin sin sin( ) 5 4 6cos cos cos cos 3 3
10
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.ABC 10.BCD 11.BC
1 1
11.解：A: S ABC 2 AB AC sin AB, AC 2 AB AC
,选项 A 错误；
B：若 a,b为非零向量, a b a b a b sin a,b a b cos a,b ，则 a,b ，选项 B 正确；4
C： a b 3a b 3 a b sin a,b 3 a b cos a,b 3 tan a,b 3， a b 1， a b 2
2 2
则 a 2b a 2b 2a b 4 2 a 2b 2 3当且仅当 a 2b 时取到“=”，选项 C 正确；
D：已知点 A( 3,0)，B(1,1)，O为坐标原点，则 OA OB OA OB sin OA,OB 3 2 2 2 3，
选项 D 错误.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
4 3
12. ( 4，3) 13. 6 14.
3
3 1 2
14.解： 2 sin A 2 cos A 1, sin（A 6） 1, A （0， ） A 6 2 , A 3
高一数学试题卷 参考答案 第 1 页 共 6 页
{#{QQABIYaUggiAAIAAAAgCUQH4CgAQkBGAAQgOBBAIsAIAwQNABAA=}#}
42 b2 c2 2bccos 2 2bc bc 3bc bc 16 S 1 2 4 3 3 , 3 , ABC 2 bcsin 3 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（满分 13 分）
解：（1）∵二次函数 f (x) x2 bx c图象经过点 A(0,1)和对称轴为 x 1.
b 2 1 .......................................................................2 分
2 0 b 0 c 1
b 2
...............................................................................4 分
c 1
∴ f (x) x2 2x 1......................................................................6 分
（2） f (x) 1
x2 2x 1 1......................................................................8分
x2 2x 0 .......................................................................10 分
0 x 2.........................................................................12 分
不等式 f (x) 1的解集 x 0 x 2 ...................................................13 分
16.（满分 15 分）
解：（1） f (x) cos2 x 2sin xcos x sin 2 x
f (x) cos2x sin 2x ...................................................................3 分
f (x) 2 cos(2x ) ..................................................................5分4
2 2
函数 f (x)的最小正周期 T 2 .................................................7 分

（2）由（1）知 f (x) 2 cos(2x ， 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变，得4 ) f (x)
f1(x) 2 cos(x

4 )

再向左平移 个单位长度得
4 h(x) 2 cos (x 4 ) 4 2 cos(x 2 ) 2 sin x ...............10分
当 x 6 ,

2 时， h(x)单调递减
x , 2 当 2 3 时， h(x)单调递增
高一数学试题卷 参考答案 第 2 页 共 6 页
{#{QQABIYaUggiAAIAAAAgCUQH4CgAQkBGAAQgOBBAIsAIAwQNABAA=}#}
x 当 2 时， h( 2 ) 2 sin

2 2

当 x 6 时， h(

6 ) 2 sin
2
6 2
x 2 h(2 ) 2 sin 2 6当 3 时， 3 3 2 ................................................13 分
x 2
6
, 3
x 当 时， h(x)min 2 ............................................................14 分2
h(x)无最大值........................................................................15 分
17.（满分 15 分）
解：（1）连接 BC1 ,连结 AC1交 A1C于点 F ，则 F 为 AC1中点
又D是 AB中点，连结DF ，则DF 是 ABC1的中位线..........3 分
DF // BC1
DF 平面A1CD

BC1 //平面A1CD ........................7 分
BC 1 平面A1CD
（2）方法一：由题意设 AA1 4，记点 A到平面 A1CD距离为 h，
在 ABC中， AC CB，D是 AB的中点，
CD AB
CD AA 1
CD 平面AA1DAB AA1 A
AB, AA 平面AA 1 1D ..................................................10 分
A1D 平面AA1D
CD A1D ............................................................................11 分
V三棱锥A V1 ADC 三棱锥A A1DC
1 S 13 ADC AA1 3 S A1DC h
1 1
3 2 AD DC
1 1
AA1 3 2 A1D DC h
1 1
3 2 1 3
1 1
4 3 2 17 3 h
h 4 17 17 ..............................................................................14 分
高一数学试题卷 参考答案 第 3 页 共 6 页
{#{QQABIYaUggiAAIAAAAgCUQH4CgAQkBGAAQgOBBAIsAIAwQNABAA=}#}
记直线 AC h 2 17与平面 A1CD所成角为 , sin AC 17 ....................................15 分
方法二：过 A 作 A1D 的垂线，垂足为 F ,连接 FC .在 ABC 中， AC CB ， D 是 AB 的中点，
CD AB
CD AA 1 CD 平面AA D
AB AA A 11
AB, AA1 平面AA1D
AF 平面A1AD
CD AF
AF A1D
AF CD
AF 平面A1DC .................................................12 分A1D CD D
A1D,CD 平面A1DC
则直线 AC与面 A1CD所成角为 FCA ....................................................13 分
A AD 1 1在 1 中由 2 AF A1D 2 AD AA1，由题意设 AA1 4，
知 A1D 4
2 12 17，求得 AF 4 17 .................................................14 分17
sin FCA AF 2 17则 ...............................................................15 分CF 17
18.(满分 17 分)
解：（1）由已知可得由已知可得10 (0.010 0.020 0.025 a 0.010) 1
a 0.035 .............................................................................3 分
样本成绩在 60 分以下的答卷所占的比例为 0.010 10 100% 10%
样本成绩在 70 分以下的答卷所占的比例为（0.010 0.020） 10 100% 30%
0.25 0.10
因此样本成绩的下四分位数一定位于 60,70 内，由60 10 ...................6 分0.30 0.10 67.5
20 1
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取 20 份成绩，抽样的比例为 ，样本成绩在 80,100 有100 5
（0.035 0.010） 10 100 45 1人，则从样本成绩 80,100 中抽取 45 9人.....................11 分5
（3）落在 50,60 的人数为 0.010 10 100 10人.............................................12 分
落在 60,70 的人数为 0.020 10 100 20人.............................................13 分
10 20
两组成绩的总平均数 z ...................................15 分10 20 53 10 20 65 61
s2 1两组成绩的总方差 30 10 4 53 61 2 20 7 65 61 2 38 ....................17 分
高一数学试题卷 参考答案 第 4 页 共 6 页
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19.（满分 17 分）
1
（1）证明： f (x) x3在区间 0,3 上单调递增,又 f (0) 0 , f (3) 3 .........................2 分9
当 x 0,3 1时 f (x) x3 0,3 ...........................................................3分9
根据“优美区间”的定义， 0,3 是 f (x) 1 x3的一个“优美区间”. ..........................4 分9
1
（2）证明： g(x) 1 （x 0)，设 m,n x x 0 ,可设[m,n] ( ,0)或[m,n] (0, ) ,x
1
则函数 g(x) 1 在 m,n 上单调递增......................................................6分x
1 1 m
若 m,n 是 g(x) 的“优美区间”,则 m ,m,n1 是方程 x2 x 1 0的两个同号且不等的实数根. 1 n n
x2 x 1 0方程无解...................................................................9 分
函数 g(x) 1 1 不存在“优美区间”....................................................10 分x
(a2 a)x 1
（3）解： h(x) 2 (a R,a 0) x x 0 ，设 m,n x x 0 .a x
h(x)有“优美区间”[m,n]
[m,n] ( ,0)或[m,n] (0, )
h(x) a 1 1 2 在[m,n]a 上单调递增....................................................11 分a x
h(m) m若 m,n 是函数 h(x)的“优美区间”,则
h(n) n
m,n a 1 1 是方程 22 x，即 a x
2 (a2 a)x 1 0（*）的两个同号且不等的实数根.
a a x
(a2 a)2 4a2 a2 (a 3)(a 1) 0
a 1或 a 3 ........................................................................13 分
a2 a 1 1
由（*）式得m n 2 1 ，mn 2 ................................................14 分a a a
2 2
n m (n m)2 4mn 1 1 4 3 1 1 4 ...............................16 分
a a2 a 3 3
a 1或 a 3
当a 3时, n m取得最大值.
高一数学试题卷 参考答案 第 5 页 共 6 页
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a 3................................................................................17 分
备注：以上题目若有其它方法酌情给分.
高一数学试题卷 参考答案 第 6 页 共 6 页
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