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第7章《平行线的证明》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列命题为假命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行
B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
2．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图，已知AB//CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°,则∠E的度数是（ ）
A．20° B．23° C．25° D．28°
3．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）

A． B．
C． D．
5．如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）

A．26 B．32 C．36 D．42
7．甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测：
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了．
丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）．
A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确
8．如图，已知，，平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )
A． B． C． D．
10．一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当时，，关于符合题意的的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（ ）

A．甲的说法正确 B．乙的说法正确
C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，已知，，记，则m的值为 ．

12．如图，已知，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论中：
①；
②；
③；
④．
正确的有 （填序号）
13．如图，平分，若，则 ．
14．如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为 .

15．如图，，，且，，则的度数为 °．

16．如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）在中，．
(1)求、、；
(2)确定的形状．（属于什么类型的三角形）
18．（6分）在中，平分，.

(1)如图1，若于点，，，求的度数.
(2)如图2在线段上任取一点（不与，重合），过点作于点，若，，试求出的度数．（用含有、的代数式表示即可）
19．（8分）（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值．
20．（8分）已知，过内一点A作交于点D，作交于点B．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点H，反向延长交于点P，如果，平分，，求的度数．
21．（8分）已知：在中，平分，、相交于点，
(1)如图①，若，，，求的大小．
(2)如图②，若平分，且，求的大小．
(3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系．
22．（8分）在中，，平分，F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．
(1)如图1，若点F与点A重合，且，，求的度数；
(2)如图2，若点F在线段上（不与点A重合），求证：；
(3)如图3，若点F在外部，探究此时，，之间的数量关系，并说明理由．
23．（8分）我们定义：
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”
概念理解：
如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）

(1)的度数为______，______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
(2)若，求证：是“和谐三角形”．
(3)应用拓展：
在图2中画出：点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在DC上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数．
答案解析
选择题
1．D
【分析】利用平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行是真命题；
B、三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，是真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题；
故选：D．
2．B
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
【详解】如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选B．
3．B
【分析】由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，利用三角形外角定理得出，建立方程，即可求的度数．
【详解】解：延长交于点，
∵将沿，翻折，顶点，均落在点处，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
由三角形外角定理可知：，，
∴
即：，
∴ ，
∴，
故选：．
4．D
【分析】延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，

设的度数为，的度数为，
平分，平分，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
将代入可得，
整理得，
故选：D．
5．D
【分析】由题意推出，设，设，用含x和y的代数式表示和即可解决．
【详解】解：如图：
∵平分，平分，
∴，
设，
由外角的性质得：，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
【详解】解：∵ ∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∵的角平分线交于点,
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵,
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
7．C
【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．
【详解】解：由题意，可知：
∵乙、丁的预测是一样的，
∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．
①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，
根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；
这与丙的预测不成立相矛盾．
故乙、丁的预测不成立，
②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，
∵甲、丙的预测成立，
∴丁必获奖．
∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，
∴丙不获奖，乙获奖．
从而获奖的是乙和丁．
故选：C．
8．C
【分析】由ABCD，∠B=100°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEC的度数，又由EF平分∠BEC，即可求得∠FEC的度数，然后由EG⊥EF，根据平角的定义，即可求得∠DEG的度数．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠B+∠BEC=180°，
∵∠B=110°，
∴∠BEC=70°，
∵EF平分∠BEC，
∴∠CEF=∠BEC=35°，
∵EG⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∵∠GEF+∠CEF+∠DEG=180°，
∴∠DEG=180°-90°-35°=55°．
故选：C．
9．D
【分析】根据题意先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求 ，再依此类推得， 找出规律，从而求的值．
【详解】解：根据题意得∠ACD=∠A＋∠ABC．
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
= =，
同理可得
∴
故选D．
10．C
【分析】根据平行线的判定定理，随着增大，存在5种情况至少有一组边互相平行．
【详解】
（1）如图，，
∴
∴
∴
（2）如图，

∴
∴
∴
（3）如图，
而
∴
∴

（4）如图，
∴
∴
∴

（5）如图，
∴
∴
∴

故选C．
二．填空题
11.
【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
同理：．
∴
∵，
∴．
故答案为：．

12．①②④
【分析】由平行线的性质可得出，直接判断①正确；根据角平分线的定义结合平行线的性质可得出，可证，得出，从而证明，②正确；由，得出，进而得出，判断④正确；由可得出，得出．再根据，得出．由，即可判断，判断③错误．
【详解】∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，故③错误．
综上可知正确的有①②④．
故答案为：①②④．
13．65
【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．
【详解】∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
∴∠DBE=∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4=∠ADF，
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB=∠ADF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠4=∠CBD，
∴∠CBD=∠EBC=∠DBE=×130°=65°．
故答案为：65．
14．108
【详解】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=x，
∴∠EDF=x，∠BEF=x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.

15．
【分析】设，，根据三角形内角和公式可求得，，推得，根据三角形内角和公式可求得，将代入即可求解．
【详解】解：设，，如图：

∵，，
在中，，
在中，，
又∵，
∴，
故，
在中，，
在中，，
，
将代入可得；
故答案为：．
16．
【分析】过点作，根据平行线性质推出，，所以，由平分，平分，，进而得到，再由三角形内角和即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点作，

，
，
，，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：在中，，
，
，
；
（2） ，
、、均为锐角，
是锐角三角形．
18．（1）在中，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点A作于点M，则．

在中，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
19．（1）解：如图（1），当时，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵为的一个外角，
∴，
∴；

如图（2），当时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3；21．

（2）解：①如图（3），当时，
∵，
∴，
∴；

②如图（4），当时，
∵，，
∴，
∴；

③如图（5），当时，
，
∴，
综上所述：当t为6或15或24时，有两个内角相等．

20．（1）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点A作平分，如图2所示：
则，
∵射线，射线分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
即．
（3）∵平分，
∴，
设，
则，．
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
过点P作，过点Q作，如图3所示：
∵，
∴，，
∴，，，
，
∴，
，
∴
21．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵是的外角，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
即，
解得：．
22．（1）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴．
∵为的外角，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
（3）解：．
理由：∵平分，
∴．
∵为的外角，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
23．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为“和谐三角形”，
故答案为：；是；
（2）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴是“和谐三角形”；
（3）解：如图所示，即为所求；

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是“和谐三角形”，
∴或，
∵，
∴或．

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