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(共23张PPT)
第六章　几何图形初步
6.1　几何图形
6.1.1　立体图形与平面图形　
第1课时　认识立体图形与平面图形
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，平面图形
有(　B　)
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
B
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2. [2024南阳第七中学月考]下列图形中，不属于立体图形的
是(　B　)
A
B
C
D
B
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3. 【情境题·生活应用】如图 ，这是车辆禁止驶入的交通标
志，构成这个标志的平面图形有(　A　)
A. 圆、长方形 B. 圆、直线
C. 球、长方形 D. 球、线段
A
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4. [教材P151思考变式]如图，下列生活物品中，从整体上看
形状是圆柱的是(　A　)
A
B
C
D
A
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5. 下面图形中是棱锥的是(　B　)
A
B
C
D
B
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6. 下列几何体中，属于棱柱的有(　D　)
A. 6个 B. 5个
C. 4个 D. 3个
D
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7. [教材P157习题T1变式]下面的立体图形按从左到右的顺序
依次是(　B　)
A. 长方体、圆柱、圆锥、正方体
B. 长方体、圆柱、球、正方体
C. 棱柱、棱柱、球、正方体
D. 长方体、棱柱、圆锥、棱柱
B
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8. [教材P152思考变式]如图所示，陀螺是由下面哪两个几何
体组合而成的(　D　)
A. 长方体和圆锥
B. 长方形和三角形
C. 圆和三角形
D. 圆柱和圆锥
D
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9. 按柱体、锥体、球分类，下列立体图形中与其他三个不属
于同一类的是(　C　)
A
B
C
D
C
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10. [2024郑州期末]下面选项所示的几何体中，由5个面围成
的是(　D　)
A
B
C
D
D
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11. [教材P151思考变式]如图，下列物体分别与哪种立体图
形类似？把相应的物体和图形连接起来.
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12. [2024石家庄新华区期末]如图①～④是由大小完全相同
的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰
是由6个小正方体构成的长方体，则应选择(　D　)
A. ①③ B. ②③
C. ③④ D. ①④
D
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13. [2024沈阳和平区期末]如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯
中装一半的水，水平放置时，水面的形状是(　A　)
A. 长方形 B. 梯形
C. 三角形 D. 圆
A
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14. 下列说法正确的是(　C　)
①正方体是棱柱；
②长方体不是棱柱；
③若一个棱柱有10个顶点，则这个棱柱有4个侧面和5条
侧棱；
④不存在只有两条侧棱的棱柱.
C
A. ①③ B. ②④
C. ①④ D. ②③
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15. [教材P152练习T2变式]如图所示的立体图形的表面中分
别包含哪些平面图形？分别指出这些平面图形在立体图
形中的位置.
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解：(1)包含的平面图形有三角形、四边形，其中三角形
位于四棱锥的侧面，四边形位于四棱锥的底面.
(2)包含的平面图形有圆，圆位于圆柱的上、下底面.
(3)包含的平面图形有四边形、六边形，其中四边形位于
六棱柱的侧面，六边形位于六棱柱的上、下底面.
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16. 如图，有7种图形，请你选用这7种图形中的若干种(不少
于2种)构造一个图案，并说明你的构想是什么.举例：如
图，左框中就是一个符合要求的图案，请你在右框中画
出一个与这个不同的图案，并加以说明.
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解：答案不唯一，以下两个图案仅供参考.
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17. [2024温州鹿城区月考]根据如图所示的图形，回答下列
问题：
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(1)与图②具有共同特征的图形有哪些？并说出共同特征
是什么？
解：(答案不唯一)(1)图⑤⑦与图②具有共同特征，共
同特征是它们都是锥体.
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(2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特
征是什么.
解：(答案不唯一)(2)图①③④⑥具有共同特征，共同
特征是它们都是柱体.
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1(共27张PPT)
第六章　几何图形初步
6.3　角
6.3.3　余角和补角
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ BOC ＝90°，则∠ AOE 的
余角是(　A　)
A. ∠ COE B. ∠ BOC
C. ∠ BOE D. ∠ AOE
A
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2. 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，图中锐角∠1
的度数为(　C　)
A. 58° B. 59°
C. 60° D. 61°
C
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3. [2023北京]如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝
126°，则∠ BOC 的大小为(　C　)
A. 36° B. 44°
C. 54° D. 63°
C
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4. [2024广安期末]已知一个角比它的补角小30°，则这个角
的大小为 (　C　)
A. 30° B. 60°
C. 75° D. 105°
C
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5. [教材P177例4变式]如图， O 为直线 AB 上一点， OM 平分
∠ AOC ，∠ MON ＝90°，则图中互余的角有(　A　)
A. 4对 B. 3对
C. 2对 D. 1对
A
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6. 已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则
∠1 ∠3(填写“＞”“＜”或“＝”)，理由是
.
＝　
同
角的补角相等　
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7. 如图，点 O 在直线 DB 上，已知∠1＝28°，∠ AOC ＝
90°，则∠2的度数是 .
118°　
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8. 如图，∠ AOC ＝90°， OC 平分∠ BOD ，且∠ AOB ＝
40°，则∠ AOD ＝ .
140°　
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9. [教材P177练习T3变式]如果一个角的余角等于这个角的补
角的 ，求这个角.
解：设这个角是 x °，根据题意，得
90－ x ＝ (180－ x )，解得 x ＝60.
所以这个角是60°.
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10. 【教材 P 179习题 T 11变式2024山东聊城期末】如图，一
副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β
互余的是(　A　)
A
B
A
C
D
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11. 【新考法·折叠法】如图，将长方形纸片 ABCD 的角 C 沿
着 GF 折叠(点 F 在 BC 上，不与 B ， C 重合)，使点 C 落
在长方形内部点 E 处，若 FH 平分∠ BFE ，则∠ GFH 的
度数α是(　C　)
C
A. 90°＜α＜180°
B. 0°＜α＜90°
C. α＝90°
D. α随折痕 GF 位置的变化而变化
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12. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余
角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③ (∠α＋
∠β)；④ (∠α－∠β)，正确的有 .(填序号，
多选)
①②④　
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13. [2024广州白云区期末]如图，已知∠ AOB ＝140°，∠
AOC ＝30°， OE 是∠ AOB 内部的一条射线，且 OF 平
分∠ AOE .
(1)若∠ COF ＝20°，求∠ EOB 的度数.
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解：(1)因为∠ COF ＝20°，∠ AOC ＝30°，所以∠ AOF ＝50°.
因为 OF 平分∠ AOE ，所以∠ AOE ＝100°.因为∠ AOB ＝140°，
所以∠ EOB ＝∠ AOB －∠ AOE ＝140°－100°＝40°.
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(2)若∠ COF ＝ x °，请直接写出∠ EOB 的度数(用含 x
的式子表示).
解：(2)80°－2 x °.
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14. 【新视角·操作实践题】已知：∠ AOB ＝50°，∠ AOC
＝ ∠ AOB ，反向延长 OC 至 D .
(1)请用半圆仪(量角器)和直尺画出图形；
解：(1)画出图形，如图①、如图②所示.
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(2)求∠ BOD 的度数.
解：(2)如图①.因为∠ AOC ＝ ∠ AOB ，
所以∠ BOC ＝∠ AOB －∠ AOC ＝∠ AOB －
∠ AOB ＝ ∠ AOB ＝25°.
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所以∠ BOD ＝180°－∠ BOC ＝180°－25°＝155°.
如图②.因为∠ AOC ＝ ∠ AOB ，
所以∠ BOC ＝∠ AOB ＋∠ AOC ＝ ∠ AOB ＝75°.
所以∠ BOD ＝180°－∠ BOC ＝180°－75°＝105°.
综上所述，∠ BOD 的度数为155°或105°.
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15. 【新视角·新定义题】定义：从∠ MPN 的顶点 P 引一条
射线 PQ (不与 PM 重合)，若∠ QPN ＋∠ MPN ＝180°，
则称射线 PQ 为∠ MPN 关于边 PN 的补线.
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(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个
角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③
一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的
是 .(填序号)
③　
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(2)如图， O 是直线 AB 上一点，射线 OC ， OD 在 AB 同
侧， OD 是∠ BOC 的平分线，则 OC 是∠ AOD 关于边
OD 的补线吗？为什么？
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解：(2) OC 是∠ AOD 关于边 OD 的补线，理由如下：
因为 OD 是∠ BOC 的平分线，
所以∠ BOD ＝∠ COD .
因为∠ BOD ＋∠ AOD ＝180°，
所以∠ COD ＋∠ AOD ＝180°.
又因为 OC 不与 OA 重合，
所以 OC 是∠ AOD 关于边 OD 的补线.
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16. [教材P188复习题T11变式]如图，把一张长方形纸片的一
角任意折向长方形内，使点 B 落在点B'的位置，折痕为
EF ，再把 CF 折叠，使点 C 落在点C'的位置，折痕为
GF ，C'F与FB'在同一条直线上.
(1)分别直接写出∠1与∠ CFE 、∠2与∠ BFG 之间所满
足的等量关系；
解：(1)∠1＋∠ CFE ＝180°，∠2＋∠ BFG ＝180°.
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(2)直接写出∠1与∠2之间的数量关系；
解：(2)∠1＋∠2＝90°.
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(3)直接写出∠ EFG 是什么角.
解：(3)∠ EFG 是直角.
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1(共22张PPT)
第六章　几何图形初步
专项突破10　线段、角的计算的四种常见类型
类型1线段、角的和差关系在计算中的应用
1. 【情境题·方案策略型】如图，某公司员工住在 A ， B ，
C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有15人， C 区有10人.
三个住宅区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打算
在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为使所有员工步
行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站的位置应设在哪
个区？
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1
解：当停靠站设在 A 区时，所有员工步行到停靠站的
路程之和为30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4
500(m).
当停靠站设在 B 区时，所有员工步行到停靠站的路程
之和为30×100＋15×0＋10×200＝5 000(m).
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1
当停靠站设在 C 区时，所有员工步行到停靠站的路程
之和为30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12
000(m).
因为4 500＜5 000＜12 000，所以停靠站的位置应设
在 A 区.
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2. [2024淮北第二中学月考]如图，已知∠ BOC ＝3∠ AOB ，
OD 平分∠ AOC ，且∠ BOC ＝120°，求∠ BOD 的度数.
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解：因为∠ BOC ＝
3∠ AOB ，∠ BOC ＝120°，
所以∠ AOB ＝
×120°＝40°.
所以∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＝120°＋40°＝160°.
因为 OD 平分∠ AOC ，
所以∠ AOD ＝ ×∠ AOC ＝ ×160°＝80°.
因为∠ BOD ＝∠ AOD －∠ AOB ，
所以∠ BOD ＝80°－40°＝40°.
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1
类型2线段、角的倍分关系在计算中的应用
3. 【新考法·分类讨论法】如图所示，数轴上有两点 A ，
B ，动点 P 从点 O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数
轴正方向运动，设运动时间为 t 秒.
(1)线段 AB 的长为 ；
8　
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(2)当 t ＝1时，线段 PA 的长是 ；此时线段 PA 与线段
PB 的数量关系是 ；
(3)当 PA ＝2 PB 时，求 t 的值.
解：(3)如图①，当点 P 在点 B 左侧时，
4　
相等　
①
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1
根据题意可得，2 t ＋2＝2(6－2 t )，解得 t ＝ .
如图②，当点 P 在点 B 右侧时，
②
根据题意可得，2 t ＋2＝2(2 t －6)，解得 t ＝7.
综上， t 的值为 或7.
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1
4. [2024烟台期末]如图，将直角三角板 OMN 的直角顶点 O
放在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AON .
(1)当∠ BON ＝60°时，求∠ COM 的度数；
解：(1)30°.
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(2)若∠ AOM ＝2∠ COM ，求∠ AON 的度数.
解：(2)135°.
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1
类型3线段的中点在计算中的应用
5. [2024温州一模]已知点 C 为线段 AB 上一动点，点 D ， E
分别是线段 AC 和 BC 的中点.
(1)如图，若线段 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，求线段
DE 的长；
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解：(1)因为 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，
所以 BC ＝ AB － AC ＝6(cm).
因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，
所以 CE ＝ CB ＝3 cm， DC ＝ AC ＝2 cm，
所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝2＋3＝5(cm).
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(2)若线段 AB 的长为 a ，则线段 DE 的长为 (用含 a
的代数式表示).
点拨：因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，所
以 CE ＝ CB ， DC ＝ AC . 因为 AB ＝ a ，所以 DE ＝
DC ＋ CE ＝ ( AC ＋ BC )＝ ＝ .
　
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1
6. [2024西安高新区一模]如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部
分为 BD ，且 BD ＝ AB ＝ CD ，线段 AB ， CD 的中点
E ， F 之间距离是20，求 AB ， CD 的长.
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解：设 BD ＝ x ，则 AB ＝3 x ， CD ＝4 x ， AC ＝6 x .
因为点 E ， F 分别为 AB ， CD 的中点，
所以 AE ＝ AB ＝1.5 x ， CF ＝ CD ＝2 x .　
所以 EF ＝ AC － AE － CF ＝2.5 x .　
因为 EF ＝20，所以2.5 x ＝20，解得 x ＝8.
所以 AB ＝24， CD ＝32.
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类型4角平分线在计算中的应用
7. [2024青岛市北区期末]如图，已知∠ AOB ∶∠ BOC ＝
3∶2， OD 是∠ BOC 的平分线， OE 是∠ AOC 的平分
线，且∠ BOE ＝12°，求∠ DOE 的度数.
解：36°.
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8. 【新趋势·学科内综合】已知：∠ AOB ＝120°，∠ COD
＝90°， OE 平分∠ AOD .
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(1)如图①，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 内部时，若
∠ COE ＝40°，求∠ BOD 的度数；
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1
解：(1)因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝40°，
所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－40°＝50°.
因为 OE 平分∠ AOD ，
所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝100°.
因为∠ AOB ＝120°，
所以∠ BOD ＝∠ AOB －∠ AOD ＝120°－100°＝20°.
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1
(2)如图②，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 外部，且0°＜
∠ BOD ＜60°时，设∠ COE ＝α，∠ BOD ＝β，用等
式表示α与β之间的数量关系，并证明.
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1
解：(2)数量关系：2α＋β＝60°.
证明：因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝α，
所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－α.
因为 OE 平分∠ AOD ，
所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝2(90°－α)＝180°－2α.
因为∠ AOB ＝120°，
所以β＝∠ AOD －∠ AOB ＝180°－2α－120°＝60°
－2α，即2α＋β＝60°.
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1(共45张PPT)
第六章　几何图形初步
章末整合专训
一、核心知识巩固
考点1立体图形与平面图形
1. 下面几何体中，是棱锥的为(　C　)
A
B
C
D
C
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24
2. 下面四个几何图形中，是平面图形的是(　D　)
A
B
C
D
D
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23
24
考点2展开、折叠与从不同方向看立体图形
3. 如图所示的几何体从上面看到的图形可能是(　C　)
A
B
C
C
D
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4. 【新趋势跨学科2024河南许昌期末】诸葛亮的《诫子书》
中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六
个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体
中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是(　C　)
A. 学 B. 广
C. 才 D. 以
C
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5. 如图是我国某一古建筑从前面看到的图形，最符合的建筑
物图片是(　B　)
B
A
B
C
D
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6. [2023成都]一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，
从前面看和从上面看到的图形如图所示，则搭成这个几何
体的小立方块最多有 个.
6　
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考点3直线、射线、线段
7. 【情境题·生活应用】生活中，有下列两个现象，对于这
两个现象的解释
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24
A. 均用两点之间线段最短来解释
B. 均用经过两点确定一条直线来解释
C. 现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一
条直线来解释
D. 现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线
段最短来解释
正确的是(　D　)
D
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8. 下列说法正确的是(　A　)
A. 若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM ＝ BM
B. 若 AM ＝ BM ，则点 M 是线段 AB 的中点
C. 在 A ， B 两点之间的所有连线中，直线最短
D. 两点之间的线段叫作两点之间的距离
A
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9. 【新考法·分类讨论法】已知线段 AB ＝8 cm，点 C 是直线
AB 上一点， BC ＝2 cm.若点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BC
的中点，则线段 MN 的长度为(　B　)
A. 5 cm B. 5 cm或3 cm
C. 7 cm或3 cm D. 7 cm
点拨：(1)当点 C 在线段 AB 上时，如图①.
B
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因为点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BC 的中点， AB ＝8
cm， BC ＝2 cm，
所以 MB ＝ AB ＝4 cm， BN ＝ BC ＝1 cm.
所以 MN ＝ MB － BN ＝3 cm.
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(2)当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图②，
因为点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BC 的中点， AB ＝8
cm， BC ＝2 cm，
所以 MB ＝ AB ＝4 cm， BN ＝ BC ＝1 cm.
所以 MN ＝ MB ＋ BN ＝5 cm.
综上所述，线段 MN 的长度为5 cm或3 cm.
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10. [2024北京四中月考]已知线段 AB ＝5 cm，延长 AB 到
C ，使 AC ＝7 cm，在 AB 的反向延长线上取点 D ，使
BD ＝4 BC ，线段 CD 的中点为 E ，问线段 AE 是线段 CD
的几分之一？并说明理由.
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解：线段 AE 是线段 CD 的 .理由：
因为 BC ＝ AC － AB ， AC ＝7 cm， AB ＝5 cm，
所以 BC ＝2 cm.
所以 BD ＝4 BC ＝8 cm.所以 AD ＝ BD － AB ＝3 cm.
因为 CD ＝ BD ＋ BC ，所以 CD ＝10 cm.
又因为线段 CD 的中点为 E ，
所以 DE ＝ CD ＝5 cm.
所以 AE ＝ DE － AD ＝2 cm＝ CD .
所以线段 AE 是线段 CD 的 .
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11. 【新考法·分类讨论法】如图，已知线段 AB 上有两点
C ， D ，使得 AC ∶ CD ∶ DB ＝1∶2∶3，点 M 是线段
AC 的中点，点 N 是线段 AB 上的点，且满足 DN ＝
DB ， AB ＝24.求线段 MN 的长.
解：线段 MN 的长为7或13.
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考点4角
12. [教材P172练习T3(2)变式]若∠ A ＝32°18'，∠ B ＝
32°15'30″，∠ C ＝32.25°，则(　A　)
A. ∠ A ＞∠ B ＞∠ C
B. ∠ B ＞∠ A ＞∠ C
C. ∠ A ＞∠ C ＞∠ B
D. ∠ C ＞∠ A ＞∠ B
A
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13. 已知∠1＝36°，在下列四个角中，最可能和∠1互余的
角为(　C　)
A
B
C
D
C
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14. [2024湖北襄阳期末]如图， OA 表示北偏东20°方向的一
条射线， OB 表示南偏西50°方向的一条射线，则∠
AOB 的度数是(　D　)
A. 100°
B. 120°
C. 140°
D. 150°
D
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15. 如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，∠ BOC ＝130°，
OD 平分∠ AOC . 求∠ COD 的度数.请将下面的解题过
程补充完整.
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解：因为 O 是直线 AB 上一点，
所以∠ AOB ＝ .
因为∠ BOC ＝130°，
所以∠ AOC ＝∠ AOB －∠ BOC ＝ .
因为 OD 平分∠ AOC ，
所以∠ COD ＝ ＝ .
180°　
50°　
∠ AOC 　
25°　
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16. 如图，∠ AOB ＝90°，∠ BOC ＝50°，且∠ AOD ∶∠
COD ＝4∶7.画出∠ BOC 的平分线 OE ，并求出∠ DOE
的度数.
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解：画∠ BOC 的平分线 OE 如图所示.
因为∠ AOD ∶∠ COD ＝4∶7，
所以设∠ AOD ＝4 x °，则∠ COD ＝7 x °.
因为∠ AOB ＋∠ AOD ＋∠ COD ＋∠ BOC ＝360°，
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且∠ BOC ＝50°，∠ AOB ＝90°，
所以90＋4 x ＋7 x ＋50＝360.
所以 x ＝20.所以∠ COD ＝140°.　
因为 OE 是∠ BOC 的平分线，
所以∠ COE ＝ ∠ BOC ＝25°.　
所以∠ DOE ＝∠ COD ＋∠ COE ＝165°.
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17. [2024河北邯郸二模]如图， OB 是∠ AOC 的平分线， OD
是∠ EOC 的平分线.
(1)如果∠ AOD ＝76°，∠ BOC ＝18°，则∠ DOE 的
度数为 ；
40°　
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(2)如果∠ BOD ＝54°，求∠ AOE 的度数.
解：(2)因为 OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ EOC 的
平分线，
所以∠ AOC ＝2∠ BOC ，∠ COE ＝2∠ COD .
所以∠ AOE ＝∠ AOC ＋∠ COE ＝2(∠ BOC ＋
∠ COD )＝2∠ BOD ＝108°.
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二、思想方法演练
思想1方程思想
18. [2024南京期末]如图，线段 BD ＝ AB ＝ CD ，点 E ，
F 分别是线段 AB ， CD 的中点， EF ＝14 cm，求线段
AC 的长.
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解：因为 BD ＝ AB ＝ CD ，
所以设 BD ＝ x cm，
则 AB ＝4 x cm， CD ＝5 x cm.所以易知 AC ＝8 x cm.
又因为点 E ， F 分别是线段 AB ， CD 的中点，
所以 AE ＝ AB ＝2 x cm， FC ＝ CD ＝ x cm.
又因为 EF ＝14 cm， AC － AE － FC ＝ EF ，
所以8 x －2 x － x ＝14，
解得 x ＝4.
所以 AC ＝32 cm.
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19. [2024苏州中学模拟]如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，
OE 平分∠ BOD .
(1)若∠ BOD ＝68°，∠ DOF ＝90°，求∠ EOF
的度数；
解：(1)∠ EOF ＝56°.
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(2)若 OF 平分∠ COE ，∠ BOF ＝30°，求∠ BOD
的度数.
解：(2)∠ BOD ＝80°.
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思想2分类讨论思想
20. 【新视角·新定义题】如图①，已知 OC 是∠ AOB 内部的
一条射线，图中有三个角：∠ AOB ，∠ AOC 和∠ BOC ，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线 OC 为∠ AOB 的“巧分线”.如图②，如果∠ MPN ＝60°， PQ 是∠ MPN 的“巧分线”，那么∠ MPQ ＝ .
20°或
30°或40°　
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21. 【新考法·分类讨论法】已知线段 AB ＝7 cm，点 C 在射
线 AB 上，且 BC ＝4 cm，点 D 是 CB 的中点，依题意画
出图形并求线段 AD 的长.
解：画图如图所示.
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①如图①，当点 C 在线段 AB 上时，
因为点 D 为 CB 的中点， BC ＝4 cm，
所以 BD ＝ CD ＝ BC ＝2 cm.
因为 AB ＝7 cm，所以 AD ＝ AB － BD ＝7－2＝5(cm).
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②如图②，当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
因为点 D 为 CB 的中点， BC ＝4 cm，
所以 BD ＝ CD ＝ BC ＝2 cm.
因为 AB ＝7 cm，所以 AD ＝ AB ＋ BD ＝7＋2＝9(cm).
综上所述，线段 AD 的长为5 cm或9 cm.
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思想3整体思想
22. 【新考法整体代入法2024云南昆明期末】如图，
B ， C 是线段 AD 上的任意两点，点 M 是 AB 的中
点，点 N 是 CD 的中点，如果 MN ＝3 cm， BC ＝
1.5 cm，求 AD 的长.
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解：因为 MN ＝ MB ＋ BC ＋ CN 且 MN ＝3 cm， BC ＝
1.5 cm，
所以 MB ＋ CN ＝3－1.5＝1.5(cm).
又因为点 M 是 AB 的中点，点 N 是 CD 的中点，
所以 AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝2( MB ＋ CN )＋ BC ＝
2×1.5＋1.5＝4.5(cm).
故 AD 的长为4.5 cm.
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23. 【新考法·整体代入法】将两块三角尺按如图方式摆放，
其中∠ CPD ＝90°，∠ APB ＝45°，作 PM 平分∠
APC ， PN 平分∠ BPD .
(1)当∠ APC ＝30°时，求∠ MPN 的度数；
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解：(1)因为∠ CPD ＝90°，∠APB ＝45°，
所以∠ APC ＋∠ BPD ＝90°－45°＝45°.
因为∠ APC ＝30°，所以∠ BPD ＝45°－30°＝15°.
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因为 PM 平分∠ APC ， PN 平分∠ BPD ，
所以∠ APM ＝ ∠ APC ＝15°，∠ BPN ＝ ∠ BPD
＝7.5°，
所以∠ MPN ＝∠ APB ＋∠ APM ＋∠ BPN ＝45°＋
15°＋7.5°＝67.5°.
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(2)当∠ APB 在∠ CPD 内转动时，∠ MPN 的度数是否保
持不变？请说明理由.
解：(2)当∠ APB 在∠ CPD 内转
动时，∠ MPN 的度数保持不变.
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思想4特殊到一般思想
24. 【新视角规律探索题2024杭州萧山区期末】如图，已知
∠ AOB 内部顺次有四条射线： OE ， OC ， OD ， OF ，
OE 平分∠ AOC ， OF 平分∠ BOD .
(1)若∠ AOB ＝160°，∠ COD ＝40°，求∠ EOF
的度数.
解：(1)∠ EOF ＝100°.
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(2)若∠ AOB ＝α，∠ COD ＝β，求∠ EOF 的度数.
解：(2)∠ EOF ＝ (α＋β).
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(3)从(1)(2)的结果，你能看出什么规律吗？
解：(3)规律：若∠ AOB 内部顺次有四条射线： OE ， OC ， OD ， OF ， OE 平分∠ AOC ， OF 平分∠ BOD ，则∠ EOF ＝ (∠ AOB ＋∠ COD ).
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25. (1)如图①，点 C 在线段 AB 上， M ， N 分别是 AC ， BC
的中点.若 AB ＝12， AC ＝8，求 MN 的长；
解：(1) MN ＝6.
25
②若 M ， N 分别是 AC ， BC 的 n 等分点，且 AM ＝
AC ， BN ＝ BC ，求 MN 的长.
解：(2)① MN ＝ a .② MN ＝ a .
(2)设 AB ＝ a ， C 是线段 AB 上任意一点(不与点 A ， B 重
合).
①如图②， M ， N 分别是 AC ， BC 的三等分点，且
AM ＝ AC ， BN ＝ BC ，求 MN 的长；
25(共21张PPT)
第六章　几何图形初步
专项突破9　几何图形初步认识的六种常见题型
题型1生活中的画面情境在建几何模型中的应用
1. 如图是一个蒙古包，构成蒙古包的近似几何体是(　B　)
A. 圆锥和长方体 B. 圆锥和圆柱
C. 圆锥和正方体 D. 长方体和圆柱
B
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1
2. 如图，是一个药瓶的示意图，它可以近似看成是两个
(填几何体的名称)组成的.
圆
柱　
2
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5
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10
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1
题型2图形的特征在认识平面图形、立体图形中的应用
3. 下列图形属于平面图形的是(　D　)
A. 正方体 B. 球
C. 圆柱 D. 三角形
D
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1
4. [2023巴中]下列图形中为圆柱的是(　B　)
A
B
C
D
B
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1
5. 下列几何体的表面中，不含有曲面的是(　B　)
A. 圆柱 B. 四棱柱
C. 圆锥 D. 球体
B
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1
6. [教材P157练习T3变式]如图，将长方形绕着它的一边所在
的直线 l 旋转一周，可以得到的立体图形是(　B　)
B
A
B
C
D
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1
题型3常见立体图形的特征在分类中的应用
7. [2024烟台福山区期末]下列四个几何体中，从柱体和锥体
的角度看，不同于另外三个图形的是(　A　)
A
B
A
C
D
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1
8. 下列几何体中，属于棱柱的有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
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3
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1
9. 【新考向·数学文化】我国古代数学家利用“牟合方盖”
找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱
分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分
形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方
盖”的一种模型，它从前面看是(　B　)
B
题型4常见立体图形在视图中的应用
A
B
C
D
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1
10. 图①是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一
个小正方体，变成图②的几何体，则移动前后(　D　)
A. 从前面看的形状图改变，从左面看的形状图改变
B. 从前面看的形状图改变，从左面看的形状图不变
C. 从前面看的形状图不变，从左面看的形状图不变
D. 从前面看的形状图不变，从左面看的形状图改变
D
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1
11. 用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何
体，若该几何体从前面、左面和上面看到的面积分别表
示为 S1， S2， S3，则 S1， S2， S3的大小关系是
(用“＜”从小到大连接).
S3＜ S2
＜ S1　
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1
题型5立体图形的展开与折叠在辨识相对面中的应用
12. [教材P159习题T8变式]将“共建平安校园”六个汉字分
别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则
在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是
(　A　)
A. 校 B. 安
C. 平 D. 园
A
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5
6
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1
13. 【新考法·空间想象法】如图，一个正方体的六个面上分
别标有 A ， B ， C ， D ， E ， F ，从三个不同方向看到
的情况如图所示，则 A 的对面应该是字母(　B　)
A. B B. C
C. E D. F
B
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1
题型6立体图形的展开图在计算中的应用
14. [2024西安高新区期末]一个圆柱的侧面展开图如图所
示。
(1)圆柱的底面半径为 ；
点拨：圆柱的底面半径为6π÷π÷2＝3.
3　
2
3
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1
(2)若圆柱的高为10，求该圆柱的体积.
解：(2)该圆柱的体积为π×32×10＝90π.
2
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5
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1
15. 【新视角·操作实践题】小明在学习了正方体的展开图
后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他用剪
刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条
棱，把纸盒剪成了两部分，如图①、图②所示.请根据你
所学的知识，回答下列问题：
2
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8
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1
观察判断：
(1)小明共剪开了 条棱；
动手操作：
8　
(2)现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且
经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图
③)，小明在图①中补全图形有 种方法，请画出
其中一种；
4　
2
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1
解：(2)如图，画出一种即可.
解决问题：
2
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1
(3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，
其边长是长方体纸盒的高的5倍，并且纸盒所有棱长
的和是880 cm，求这个纸盒的体积.
2
3
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6
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1
解：(3)根据题意可设长方体纸盒的高为 a cm，则长与
宽均为5 a cm，因为长方体纸盒所有棱长的和是880
cm，
所以4( a ＋5 a ＋5 a )＝880，
解得 a ＝20，此时5 a ＝100.
所以这个纸盒的体积为20×100×100＝200 000(cm3).
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1(共26张PPT)
第六章　几何图形初步
6.2　直线、射线、线段
6.2.2　线段的比较与运算
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 如图，体育课上，小悦在点 O 处进行了四次铅球试投，铅
球分别落在图中的 M ， N ， P ， Q 四点处，则表示他最
好成绩的点是(　C　)
A. M B. N
C. P D. Q
C
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1
2. [教材P164素材变式]用圆规比较两条线段A'B'和 AB 的长
短(如图)，下列结论正确的是(　A　)
A. A ' B '＞ AB B. A ' B '＝ AB
C. A ' B '＜ AB D. 不确定
A
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1
3. [2024广州白云区期末]如图所示，线段 AB ＝4 cm， BC ＝
7 cm，则 AC ＝(　A　)
A. 11 cm B. 3 cm
C. 10 cm D. 15 cm
A
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1
4. 下列尺规作图的语句正确的是(　B　)
A. 延长射线 AB 到 D
B. 以点 D 为圆心，任意长为半径画弧
C. 作直线 AB ＝3 cm
D. 延长线段 AB 至 C ，使 AC ＝ BC
B
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1
5. [2024北京平谷区模拟]如图，点 C ， D 在线段 AB 上，若
AD ＝ BC ，则(　B　)
A. AC ＝ CD B. AC ＝ BD
C. AD ＝2 BD D. CD ＝ BD
B
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1
6. 如图①， A ， B 两个村庄在一条河 l (不计河的宽度)的两
侧，现要建一座码头，使它到 A ， B 两个村庄的距离之和
最小，图②中所示的 C 点即为所求的码头的位置，那么这
样做的理由是(　C　)
C
A. 两直线相交只有一个交点
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 经过一点有无数条直线
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1
7. 如图，点 M 在线段 AB 上，则下列条件不能确定 M 是 AB
中点的是(　B　)
A. BM ＝ AB B. AM ＋ BM ＝ AB
C. AM ＝ BM D. AB ＝2 AM
B
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8. 如图，点 C 在线段 AB 上， AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，点
D 是 BC 的中点，则 BD ＝(　B　)
A. 2 cm B. 3 cm
C. 5 cm D. 6 cm
B
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1
9. 【新考法分类讨论法教材 P 166练习 T 3变式】点 C 在射线
AB 上，若 AB ＝3， BC ＝2，则 A ， C 两点间的距离为
(　C　)
A. 5 B. 1
C. 1或5 D. 不能确定
C
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10. [2024镇江期末]小明捡到一片沿直线折断了的银杏叶(如
图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要
小，能正确解释这一现象的数学知识是
.
两点之间，线
段最短　
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11. [教材P166练习T2变式]如图，已知线段 a ， b .求作：线
段 AD ，使得 AD ＝2 a ＋ b .
解：如图，作法：(1)作射线 AM ；
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1
(2)在射线 AM 上顺次截取 AB ＝ a ， BC ＝ a ， CD ＝ b .
则线段 AD 就是所求作的线段.
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1
12. [教材P167习题T5变式]如图， AB ＝12， C 为线段 AB 的
中点，点 D 在线段 AC 上，且 AD ∶ CB ＝1∶3，则 D ，
B 两点间的距离为(　D　)
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
D
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13. 【新考法分类讨论法2024北京通州区期末】在以 A 为原
点的数轴上，存在点 B ， C ，满足 AB ＝2 BC ，若点 B
表示的数为8，则点 C 表示的数为(　C　)
A. 4 B. 12
C. 4或12 D. －4或－12
C
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14. 【新视角新定义题2024宿迁期末】如图，直线 l 上有 A ，
B ， C ， D 四点，点 P 从点 A 的左侧沿直线 l 从左向右运
动，当出现点 P 到 A ， B ， C ， D 四点中的两个点距离
相等时，点 P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若 PA
＝ PB ，则点 P 为 A ， B 两点的黄金伴侣点.在点 P 从左
向右运动的过程中，点 P 成为黄金伴侣点的机会有
(　C　)
C
A. 4次 B. 5次
C. 6次 D. 7次
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15. [教材P168习题T9变式]如图，一只蚂蚁在 A 处，想到 C
处，请画出最短路线的简图，并说明理由.
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解：将圆柱体展开为平面图形，如图所示，连接 AC ，
则线段 AC 即为最短路线.
理由是两点之间，线段最短.
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1
16. [2024天津东丽区期末]如图， A ， B ， C ， D 四点在一
条直线上.若 C 是 BD 的中点， AD ＝16， AB ＝2 BC ，
求 A ， C 两点间的距离.
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解：因为 C 是 BD 的中点，所以 BC ＝ CD .
因为 AB ＝2 BC ， AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ， AD ＝16，
所以16＝2 BC ＋ BC ＋ BC ，
所以 BC ＝4，所以 AB ＝2 BC ＝8，所以 AC ＝ AB ＋ BC
＝12.
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17. 【新考法·分类讨论法】已知直线 l 上有 A ， B ， C ， D
四点， AB ＝5， BC ＝3，点 D 是线段 AC 的中点，根据
题意画出图形，并求线段 AD 的长.
解：①当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图①.
因为 AB ＝5， BC ＝3，所以 AC ＝ AB ＋ BC ＝5＋3＝8.
因为点 D 为线段 AC 的中点，所以 AD ＝ AC ＝4.
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②当点 C 在线段 AB 上时，如图②.
因为 AB ＝5， BC ＝3，所以 AC ＝ AB － BC ＝5－3＝2.
因为点 D 为线段 AC 的中点，所以 AD ＝ AC ＝1.
综上所述，线段 AD 的长为4或1.
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1
18. 【新视角规律探究题2024扬州期末】如图所示，点 C 是
线段 AB 上的一点，点 D 是线段 AB 的中点，点 E 是线段
BC 的中点.
(1)当 AC ＝8， BC ＝6时，求线段 DE 的长度；
解：(1) DE ＝14－7－3
＝4.
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1
(2)当 AC ＝ m ， BC ＝ n ( m ＞ n )时，求线段 DE 的
长度；
解：(2) DE ＝ m ＋ n － － ＝ .
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1
(3)从(1)2)的结果中，你发现了什么规律？请直接写
出来.
解：(3)规律： DE ＝ AC .
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18
1(共24张PPT)
第六章　几何图形初步
6.2　直线、射线、线段
6.2.1　直线、射线、线段
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 下列可近似看作直线的是(　C　)
A. 紧绷的琴弦 B. 正方体的棱长
C. 数轴 D. 手电筒发出的光线
C
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1
2. 下列关于直线的表示方法正确的是(　C　)
C
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3. [2024济南外国语学校模拟]下列各图中表示线段 MN ，射
线 PQ 的是(　C　)
C
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1
4. [教材P163练习T1变式]如图所示， A ， B ， C 是同一条直
线上的三点，下列说法正确的是(　C　)
A. 射线 AB 和射线 BA 是同一条射线
B. 射线 AB 和射线 BC 是同一条射线
C. 射线 AB 和射线 AC 是同一条射线
D. 射线 BA 和射线 BC 是同一条射线
C
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1
5. 【教材 P 163练习 T 3变式2024广州第二中学模拟】直线
AB ， BC ， CA 的位置关系如图所示，则下列语句：①点
A 在直线 BC 上；②直线 AB 经过点 C ；③直线 AB ，
BC ， CA 两两相交；④点 B 是直线 AB ， BC ， CA 的公共
点.表述正确的个数有(　A　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
A
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1
6. 如图，已知四条线段 a ， b ， c ， d 中的一条与挡板另一
侧的线段 m 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是
(　A　)
A. a B. b C. c D. d
A
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1
7. 如图，图中射线条数为(　A　)
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
A
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1
8. 下列说法正确的是 (只填序号).
①画射线 OA ＝3 cm；
②线段 AB 和线段 BA 不是同一条线段；
③点 A 和直线 a 的位置关系有两种；
④三条直线两两相交一定有三个交点.
③　
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1
9. 【新考向身边的数学2024济南期末】在下列生活、生产现
象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的
有 .(填写对应的序号)
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线；
③把弯曲的公路改直；
④植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条
直线上.
①②④　
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1
10. 【教材 P 166习题 T 1变式新视角操作实践题】平面上有
A ， B ， C ， D 四个点，根据下列语句画图.
(1)画线段 AC ， BD 交于点 E ；
(3)取一点 P ，使点 P 既在直线 AB 上又在直线 CD 上.
解：(1)(2)(3)如图所示.
(2)画射线 DA ；
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11. [2024重庆渝中区期末]下列几何图形与相应语言描述不
相符的是(　B　)
A. 如图①，直线 a 和直线 b 相交于点 A
B. 如图②，延长线段 AB 到点 C
C. 如图③，射线 BC 不经过点 A
D. 如图④，射线 CD 和线段 AB 会有交点
B
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1
12. 【新考法·分类讨论法】平面上有不同的三个点，经过其
中任意两点画直线，一共可以画(　D　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 1条或3条
D
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1
13. [2024郑州二七区期中]数轴上表示整数的点称为整点，
某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一
条长2 024厘米的线段 AB ，则线段 AB 盖住的整点共有
(　B　)
A. 2 025或2 026个 B. 2 024或2 025个
C. 2 023或2 024个 D. 2 022或2 023个
B
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1
14. [2024成都石室联合中学月考]如图，数轴的原点为 O ，
点 A 表示2，点 B 表示－ .
(1)数轴是什么图形？
解：(1)数轴是直线.
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1
(2)数轴上在原点 O 左边的部分(包括原点)是什么图形？
怎样表示？
解：(2)该图形是射线，表示为射线 OB .
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1
(3)数轴上不小于－ 且不大于2的部分是什么图形？怎样
表示？
解：(3)该图形是线段，表示为线段 AB (　 BA 　).
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1
15. 往返于 A ， B 两地的客车，途中要停靠 C ， D 两个车
站，如图所示.
(1)需要设定几种不同的票价？
解：(1)题图中共有6条线
段，故需要设定6种不同的
票价.
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(2)需要准备多少种车票？
解：(2)因为车票有来向和去向之分，所以需要准备12种车票.
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1
16. 【新考法·探索归纳法】【探究应用题】如图所示.
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1
(1)【试验观察】
如果每过2个点可以画一条直线，那么：
图①最多可以画 条直线；
图②最多可以画 条直线；
图③最多可以画 条直线.
3　
6　
10　
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1
(2)【探索归纳】
如果平面上有 n ( n ≥3)个点，且每3个点均不在同一直
线上，那么最多可以画 条直线(用含 n 的式
子表示).
　
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1
(3)【解决问题】
某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1
次手问好，那么共握多少次手？
解：(3) ＝990(次).
答：共握990次手.
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1(共11张PPT)
第六章　几何图形初步
6.1　几何图形
6.1.2　点、线、面、体
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 【新情境生活应用2024揭阳榕城区期末】你见过一种折叠
灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽
的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释(　C　)
C
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1
A. 点动成线
B. 线动成面
C. 面动成体
D. 面与面相交的地方是线
2. 【教材 P 157练习 T 3变式2024咸阳模拟】下列各选项中的
图形，绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆锥的是
(　B　)
A
B
B
C
D
2
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1
3. [2024武汉期末]如图，将螺栓分成圆柱和六棱柱两部分，
这两部分各由几个面围成？它们是平面还是曲面？六棱柱
有几条棱？
2
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1
解：圆柱由3个面围成，上下面是平面，侧面是曲面；六
棱柱由8个面围成，它们都是平面.六棱柱有18条棱.
2
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5
6
1
4. 【教材 P 158习题 T 5变式2024寿光市期末】如图，图中的
大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘
米，以长边中点连线(图中的虚线)为轴，将图中的阴影部
分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米.
142π　
2
3
4
5
6
1
5. 【情境题生活应用2024榆林质检】如图，某银行大堂的旋
转门内部由三块宽度为2 m，高为3 m的玻璃隔板组成.
2
3
4
5
6
1
(1)将此旋转门旋转一周，能组成的几何体是 ，
这能说明的事实是 (选择正确的一项填入).
A. 点动成线 B. 线动成面
C. 面动成体
(2)该旋转门旋转一周形成的几何体的体积为 (边框及衔接处忽略不计，结果保留π).
圆柱　
C　
12π
cm3　
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1
6. 【情境题生活应用2024青岛二模】小军和小红分别以直角
梯形的上底和下底所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到
的两个立体图形，如图.
2
3
4
5
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1
(1)你同意 的说法.
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？(结果用π表示；
V圆柱＝π r2 h ， V圆锥＝ π r2 h )
解：(2)甲的体积：π×32×6－ π×32×(6－3)＝
45π(cm3)，
乙的体积：π×32×3＋ π×32×(6－3)＝36π(cm3)，
45π∶36π＝5∶4.
所以甲、乙两个立体图形的体积比是5∶4.
小红　
2
3
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6
1(共30张PPT)
第六章　几何图形初步
专项突破11　数学思想在线段和角的
计算中的应用
题型1分类讨论思想在线段和角的计算中的应用
1. [2024成都期末]点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的
位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段
OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点.
(1)点 B 表示的数为 ；
(2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ；
－1　
2或16　
2
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1
(3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表
示).
解：(3)①当点 C 在点 A 的右侧(或重合)时，如图①，
①
2
3
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5
6
7
8
1
则点 C 表示的数为5＋ x .
因为 M 为线段 OC 的中点，
所以点 M 表示的数为 .
所以 BM ＝ －(－1)＝ .
2
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5
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1
②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为5－ x ，
所以点 M 表示的数为 .
ⅰ)若点 M 在点 B 的右侧(或重合)，如图②，则 BM ＝
－(－1)＝ .
②
2
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5
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8
1
ⅱ)若点 M 在点 B 的左侧，如图③，则 BM ＝－1－
＝ .
③
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5
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8
1
2. [2024怀化模拟]如图，已知点 O 在直线 AB 上，作射线
OC ，点 D 在平面内，∠ BOD 与∠ AOC 互余.
(1)若∠ AOC ∶∠ BOD ＝4∶5，则∠ BOD ＝ ；
50°　
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1
(2)若∠ AOC ＝α(0°＜α≤45°)， ON 平分∠ COD ，补全
图形，求出∠ AON 的值(用含α的式子表示).
解：(2)因为∠ BOD 与∠ AOC 互余，
所以∠ BOD ＋∠ AOC ＝90°.
当点 D 在∠ BOC 内，0°＜α≤45°时，补全图形如图
①.
则易知∠ COD ＝90°.
2
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1
因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°.
所以∠ AON ＝α＋45°.
①
②
2
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8
1
当点 D 在∠ BOC 外，0°＜α≤45°时，补全图形如图
②.
易知∠ BOD ＝90°－α.
因为∠ AOB ＝180°，
所以∠ AOD ＝180°－(90°－α)＝90°＋α.
所以∠ COD ＝90°＋2α.
因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°＋α.
所以∠ AON ＝∠ CON －∠ AOC ＝45°.
综上所述，∠ AON 的值为45°或α＋45°.
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1
题型2方程思想在线段和角的计算中的应用
3. [2024北京朝阳区期末]如图，点 C 把线段 MN 分成两部
分，其比为 MC ∶ CN ＝5∶4，点 P 是 MN 的中点， PC ＝
2 cm，求 MN 的长.
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1
解：因为 MC ∶ CN ＝5∶4，
所以设 MC ＝5 x cm，则 CN ＝4 x cm.
所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝5 x ＋4 x ＝9 x (cm).
因为点 P 是 MN 的中点，
所以 PN ＝ MN ＝ x (cm).
因为 PC ＝ PN － CN ，
所以 x －4 x ＝2，解得 x ＝4.
所以 MN ＝9×4＝36(cm).
2
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5
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1
4. 如图，已知 AB 为一条直线， O 是 AB 上一点， OC 平分∠
AOD ， OE 在∠ BOD 内，∠ DOE ＝ ∠ BOD ，∠ COE
＝75°.求∠ EOB 的度数.
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6
7
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1
解：设∠ AOD 的度数为 x °，则∠ BOD ＝(180－ x )°.
因为 OC 平分∠ AOD ，∠ DOE ＝
∠ BOD ，
所以∠ COD ＝ ∠ AOD ＝ °，∠ DOE ＝ (180－
x )°.
又因为∠ COE ＝∠ COD ＋∠ DOE ＝75°，
所以 ＋ ＝75，解得 x ＝90.
所以∠ BOD ＝90°.所以∠ DOE ＝30°.
所以∠ EOB ＝∠ BOD －∠ DOE ＝60°.
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1
题型3整体思想在线段和角的计算中的应用
5. 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中
点，点 N 是线段 BC 的中点.
(1)如果 AB ＝10 cm， AM ＝3 cm，求 CN 的长；
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1
解：(1)因为 M 是 AC 的中点，所以 AC ＝2 AM .
因为 AM ＝3 cm，所以 AC ＝2×3＝6(cm).
因为 AB ＝10 cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝10－6＝
4(cm).
又因为 N 是 BC 的中点，
所以 CN ＝ BC ＝ ×4＝2(cm).
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8
1
(2)如果 MN ＝6 cm，求 AB 的长.
解：(2)因为 M 是 AC 的中点，所以 MC ＝ AC .
因为 N 是 BC 的中点，所以 CN ＝ CB .
所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ CB ＝ ( AC ＋ CB )＝
AB .
又因为 MN ＝6 cm，所以 AB ＝2×6＝12(cm).
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1
6. [2024苏州二模]已知， OM 和 ON 分别平分∠ AOC 和
∠ BOC .
(1)如图，若 C 为∠ AOB 内一点，探究∠ MON 与∠ AOB
的数量关系；
解：(1)∠ MON ＝ ∠ AOB .
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1
(2)若 C 为∠ AOB 外一点，且 C 不在 OA ， OB 的反向延长
线上，请你画出图形，并探究∠ MON 与∠ AOB 的数
量关系.
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1
解：(2)当 C 在如图①所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB .
当 C 在如图②所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB .
当 C 在如图③所示的位置时，∠ MON ＝180°－ ∠ AOB .
①
②
③
2
3
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1
题型4特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用
7. [2024济宁期末]探究题：如图，已知线段 AB ＝12
cm，点 C 为 AB 上的一个动点，点 D ， E 分别是 AC
和 BC 的中点.
(1)若点 C 恰好是 AB 的中点，则 DE ＝ cm；
6　
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1
(2)若 AC ＝4 cm，求 DE 的长；
解：(2)因为 AB ＝12 cm， AC ＝4 cm，所以 BC ＝8 cm.
因为点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点，
所以 CD ＝ AC ＝2 cm， CE ＝ BC ＝4 cm.所以 DE ＝ CD ＋ CE ＝6 cm.
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3
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8
1
(3)试利用“字母代替数”的方法，设 AC ＝ a cm，请说明
不论 a 取何值( a 不超过12 cm)， DE 的长不变.
解：(3)因为 AC ＝ a cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝(12－ a ) cm.因为点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点，
所以 CD ＝ AC ＝ cm， CE ＝ BC ＝ cm.
所以 DE ＝ CD ＋ CE ＝6 cm.
所以不论 a 取何值( a 不超过12 cm)， DE 的长不变.
2
3
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5
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1
8. 刘星对几何中的角平分线兴趣浓厚，请你和他一起探究下
面的问题.已知∠ AOB ＝100°，射线 OE ， OF 分别是
∠ AOC 和∠ COB 的平分线.
2
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1
(1)如图①，若射线 OC 在∠ AOB 的内部，且∠ AOC ＝
30°，求∠ EOF 的度数；
解：(1)因为∠ AOB ＝100°，∠ AOC ＝30°，
所以∠ BOC ＝∠ AOB －∠ AOC ＝70°.
因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平
分线，
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1
所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ＝15°，∠ FOC ＝
∠ BOC ＝35°.
所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝15°＋35°＝
50°.
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6
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8
1
(2)如图②，若射线 OC 在∠ AOB 的内部绕点 O 旋转，求
∠ EOF 的度数；
解：(2)因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的
平分线，
所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ，∠ FOC ＝ ∠ BOC .
所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝ (∠ AOC ＋
∠ BOC )＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°.
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1
(3)若射线 OC 在∠ AOB 的外部绕点 O 旋转(旋转过程中
∠ AOC ，∠ BOC 均小于180°)，其余条件不变，请借助
图③探究∠ EOF 的大小.
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8
1
解：(3)①当射线 OE ， OF 只有1条在∠ AOB 的外部
时，如图①，
则∠ EOF ＝∠ FOC －∠ COE ＝ ∠ BOC － ∠ AOC
＝ (∠ BOC －∠ AOC )＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°.
2
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5
6
7
8
1
②当射线 OE ， OF 都在∠ AOB 的外部时，如图②，
则∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ COF ＝ ∠ AOC ＋ ∠ BOC
＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ (360°－∠ AOB )＝
×260°＝130°.
2
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7
8
1(共10张PPT)
第六章　几何图形初步
6.1　几何图形
6.1.1　立体图形与平面图形　
第2课时　从三个方向看立体图形
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. [2024北京昌平区期末]下列几何体中，从左面看为三角形
的是(　C　)
A
B
C
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1
C
D
2. [教材P153例1变式]如图所示的几何体从上面看到的形状
图是(　D　)
D
A
B
C
D
2
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5
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7
1
3. [教材P187复习题T8变式]如图是从某几何体的前面、左面
和上面看到的平面图形，该几何体是(　A　)
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 长方体 D. 三棱柱
A
2
3
4
5
6
7
1
4. 【新考法空间想象法2023苏州】今年的父亲节，小东同学
准备送给父亲一个小礼物.已知礼物外包装从前面看到的
图形如图所示，则该礼物的外包装不．可．能．是(　D　)
A. 长方体 B. 正方体
C. 圆柱 D. 三棱锥
D
2
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6
7
1
5. [2024枣庄市中区期末]桌面上摆着一个由一些相同的小正
方体搭成的立体图形，从它的前面看到的平面图形
是 ，从它的左面看到的平面图形是 ，这个
立体图形可能是(　C　)
C
A
B
C
D
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3
4
5
6
7
1
6. [2024北京大兴区模拟]如图的立体图形由相同大小的正方
体积木堆叠而成.判断拿走图中的哪一个积木后，此图形
从前面看到的平面图形会改变(　B　)
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
B
2
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5
6
7
1
7. 【新考法·补形法】把棱长为1 cm的10个相同的小正方体
如图摆放.
2
3
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5
6
7
1
(1)在上边的网格中画出该几何体从前面、左面和上面看
到的图形；
(2)该几何体的表面积为 cm2；
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并
保持这个几何体从前面、上面看到的图形不变，那么
最多可以再添加 个小正方体.
38　
3　
2
3
4
5
6
7
1(共21张PPT)
第六章　几何图形初步
6.1　几何图形
6.1.1　立体图形与平面图形　
第3课时　柱体与锥体的展开与折叠
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. [2024北京石景山区月考]如图是某几何体的展开图，该几
何体是(　A　)
A. 正方体
B. 圆柱
C. 正四棱锥
D. 直三棱柱
A
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1
2. [2023扬州]下列图形中是棱锥的侧面展开图的是(　D　)
A
B
C
D
D
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11
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13
1
3. 【教材 P 158习题 T 6变式2024西安交大附中期末】如图需
再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面选项是
四名同学分别补画的情况(图中阴影部分)，其中正确的是
(　A　)
A
A
B
C
D
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1
4. 【立德树人爱国教育2024达州】如图，正方体的表面展开
图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后
“我”的对面的字是(　B　)
A. 热 B. 爱
C. 中 D. 国
B
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1
5. [教材P159习题T9变式]某立体图形的表面展开图如图所
示，这个立体图形是(　A　)
A
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1
6. 【新考法空间想象法2024石家庄一模】将如图所示的长方
体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺
平，则得到的图形不．可．能．是(　D　)
D
A
B
C
D
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1
7. 【教材 P 159习题 T 8变式2023长春】如图是一个多面体的
表面展开图，每个面都标注了序号.若多面体的底面是面
③，则多面体的上面是(　C　)
A. 面① B. 面②
C. 面⑤ D. 面⑥
C
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13
1
8. 【教材 P 159习题 T 11变式2024北京顺义期末】如图，是
一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是
(　C　)
C
A
B
C
D
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13
1
9. [2024南京秦淮区期末]下列图形中，能通过折叠围成一个
三棱柱的是(　B　)
A
B
C
D
B
2
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5
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1
10. [2024天津一中期末]如图，一个几何体上半部分为正四
棱椎，下半部分为立方体，且有一个面涂有颜色，下列
图形中，是该几何体的表面展开图的是(　B　)
B
A
B
C
D
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1
11. 如图①是一个小正方体的展开图，小正方体从图②所示
的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝
上一面的字是(　B　)
A. 常 B. 州
C. 越 D. 来
B
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1
12. 【新趋势学科内综合2024深圳坪山区月考】如图是一个
正方体的展开图，标注了字母 A 的面是正方体的正面，
如果正方体相对的两个面所标注的值均互．为．相．反．数．，求
字母 A 所标注的值.
2
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13
1
解：由正方体的表面展开图可知， x －3所在的面与 x ＋
6所在的面是相对面，字母 A 所在的面与－2 x 所在的面
是相对面，则由题意，得( x －3)＋( x ＋6)＝0，解得 x ＝
－ . A ＝－(－2 x )＝2 x ，将 x ＝－ 代入，得 A ＝2×
＝－3.
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1
13. 【新视角操作实践题2024沈阳和平区期末】某班综合实
践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动.
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13
1
(1)如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有
(只填写序号).
①
⑤⑥　
【知识准备】
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1
【制作纸盒】
(2)综合实践小组利用边长为20 cm的正方形纸板，按以
下两种方式制作长方体形盒子.
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13
1
如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3
cm的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖
长方体形盒子.如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样
大小边长为3 cm的小正方形和两个同样大小的小长方
形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形
盒子.则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积
的 .
　
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1
【拓展探究】
(3)若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，
2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个
平面图形.
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1
①你剪开了 条棱；
②求该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长.
解：(3)②8×1.5＋4×2＋2×2.5＝25.
所以该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长为
25.
7　
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13
1(共23张PPT)
第六章　几何图形初步
6.3　角
6.3.1　角的概念
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 下列说法中正确的是(　D　)
A. 两条射线所组成的图形叫作角
B. 角是有公共端点的两条线段组成的图形
C. 角可以看作由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
D. 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D
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1
2. 下列4个图形中，能用∠1，∠ AOB ，∠ O 三种方法表示
同一角的图形是(　B　)
A
B
B
C
D
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14
1
3. [2023临沂]下图中用量角器测得∠ ABC 的度数是(　C　)
A. 50° B. 80°
C. 130° D. 150°
C
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14
1
4. 下列说法正确的是(　C　)
A. 平角就是一条直线
B. 小于平角的角是钝角
C. 平角的两条边在同一条直线上
D. 周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°
C
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1
5. [2024衡水一模]嘉嘉一家去赵州桥参观.如图，嘉嘉站在
点 B 处，赵州桥在点 A 处，则从点 B 看点 A 的方向是
(　A　)
A. 南偏东43°
B. 南偏东47°
C. 北偏西43°
D. 北偏西47°
A
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1
6. [教材P172练习T1变式]某一时刻，时钟上显示的时间是9
时30分，则此时时针与分针的夹角是(　C　)
A. 75° B. 90°
C. 105° D. 120°
C
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1
7. 计算：
(1)40°12'36″＝ °；
(2)7.26°＝ ° ' ″；
(3)35.15°＝ ° '.
40.21　
7　
15　
36　
35　
9　
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14
1
8. 如图，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角；
解：(1)∠ A ，∠ C .
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14
1
(2)写出以点 B 为顶点的角；
解：(2)∠ ABE ，∠ EBC ，∠ ABC .
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14
1
(3)图中共有几个小于平角的角？
解：(3)图中共有7个小于平角的角.
2
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1
9. [2024石家庄模拟]一个20°的角放在10倍的放大镜下看是
(　A　)
A. 20° B. 2°
C. 200° D. 无法判断
A
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1
10. [2024长沙开福区模拟]已知∠1＝30°36'，∠2＝
30.36°，∠3＝30.6°，则下列说法正确的是(　C　)
A. ∠1＝∠2
B. ∠2＝∠3
C. ∠1＝∠3
D. ∠1，∠2，∠3互不相等
C
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14
1
11. 用一副三角尺不能画出(　C　)
A. 75°角 B. 135°角
C. 160°角 D. 105°角
C
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14
1
12. [教材P172练习T1变式]小明晚上放学到家时，钟表的时
间显示为6时15分(如图)，此时时钟的分针与时针所成角
的度数是 .
97.5°　
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1
13. 【新视角·规律探索题】有公共端点的两条射线组成的图
形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点.
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1
(1)如图①，过点 A 在角的内部作1条射线，那么图中一
共有 个角；
(2)如图②，过点 A 在角的内部作2条射线，那么图中一
共有 个角；
(3)如图③，过点 A 在角的内部作3条射线，那么图中一
共有 个角；
(4)在一个角的内部作 n 条射线，那么一共
有 个角.(用含 n 的式子表示)
3　
6　
10　
　
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1
14. 【新视角·项目探究题】综合与实践：
【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成
夹角的度数也随之变化，记时针和分针的夹角为α(α大于
或等于0°，且小于或等于180°).我们可以求出任意时
刻α的度数吗？
【初步探究】小明所在的兴趣小组开展研究如下.
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1
分针运动规律 分针每分钟走6 °
时针运动规律 时针每小时走30 °，即每分钟走0.5 °
规定 当时针和分针指向刻度12时记为0 °
特例探究
1(8时50分) 分针绕中心点 O 旋转所得角的度数是
6 °×50＝300 °，时针绕中心点 O 旋转所得角的度数是30 °×8＋0.5 °×50＝
265 °，所以α＝300 °－265 °＝35 °.
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1
特例探究
2 (8时30分) 分针绕中心点 O 旋转所得角的度数是6 °×30＝
180 °，时针绕中心点 O 旋转所得角的度数是30
°×8＋0.5 °×30＝255 °，所以α＝255 °－
180 °＝75 °.
特例探究
3 (8时10分) 分针绕中心点 O 旋转所得角的度数是6 °×10＝
60 °，时针绕中心点 O 旋转所得角的度数是30
°×8＋0.5 °×10＝245 °，此时245 °－60
°＝185 °，因为185 °＞180 °，所以α＝360
°－185 °＝175 °.
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1
【深入探究】
(1)当时间为7时30分时，α的度数为 .
45°　
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14
1
(2)王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不
到8时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直
角，求王老师外出散步用了多少分钟？
解：(2)设王老师外出散步用了 x 分钟，
则｜30×7＋0.5 x －6 x ｜＝90，解得 x ＝ 或 .
答：王老师外出散步用了 分钟或 分钟.
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14
1(共22张PPT)
第六章　几何图形初步
综合与实践　设计学校田径运动会比赛场地
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 某学校的操场的形状是标准的400米半圆式田径场地，初
三年级女生正在该场地进行800米素质测试，若该年级女
生沿着最内侧边缘的第一跑道跑步，那么她们完成一个
800米测试，应该沿第一跑道跑步跑(　B　)
A. 1圈 B. 2圈
C. 3圈 D. 4圈
B
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1
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2. 某校的体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于
计算、丈量、画线，该体育场的直段长80米，则弯道的半
圆半径为(　B　)
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
B
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1
9
3. 如图，铅球投掷场地呈扇形，其中投掷区的角度为40°，
则这个角的余角为 ，补角为 .　
50°　
140°　
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9
4. 如图是某学校操场的形状，跑道最内侧边缘由正方形的一
组对边和两个半圆组成.小晨沿着跑道最内侧跑了5圈，一
共跑了 米.(其中π取3.14)
1 285　
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5. 若400米标准跑道的跑道宽度按1.22米的田径场为例说明
跑道的设计，相邻两个跑道的分割线宽度为5厘米，那么
第1跑道最内侧到第8跑道最外侧的距离为 米.
点拨：第1跑道最内侧到第8跑道最外侧的距离为包括8个
跑道的宽和7个间隔的宽度，所以第1跑道最内侧到第8跑
道最外侧的距离为8×1.22＋7×0.05＝10.11(米).
10.11　
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1
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6. 【新考向·身边的数学】体育课上进行跳远.(跳远成绩测
量方法：测从运动员在沙坑里留的最近痕迹点到起跳线的
最短距离)
(1)如图，小军在点 A 处起跳，要测量他的跳远成绩，应
该测量哪一段的长度？请在图中画出来.
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1
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解：(1)如图.
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1
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(2)如果你是小军的体育老师，你想对他说什么？
解： (2)两脚落地时，不要一前一后.(答案不唯一)
2
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7. 为了计算、丈量、画线的方便，标准半圆形场地田径场第
1分道周长400米，以36米为半径、跑道宽度按1.22米的田
径场为例说明跑道的设计，按田径竞赛规程规定：
第一分道计算线是距离内突沿外沿0.30米计算，其余各条
分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算.举例：
第一分道 C1＝2π( r ＋0.30)米；
第二分道 C2＝2π( r ＋1.22＋0.20)米；
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1
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第三分道 C3＝2π( r ＋2×1.22＋0.20)米；
……
完成下列问题：
π按3.1416取近似值，最后计算结果保留小数点后2位：
第四分道的总长度 C4≈ ；
第 n 分道的总长度 Cn ＝
.
250.45米　
2π[36＋1.22( n －1)＋0.2]
米　
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8. 如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形.已知半
圆形的半径为 r m，直跑道的长为 l m，请用关于 r ， l 的
多项式表示这个操场的面积，并计算当 r ＝40， l ＝30π时
操场的面积(结果保留π).
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解：操场的面积为π r2＋2 rl ＝ r (π r ＋2 l )(m2)，
当 r ＝40， l ＝30π时， r (π r ＋2 l )＝40×(40π＋2×30π)＝
4 000π(m2).
所以操场的面积为4 000π m2.
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9. 【新视角·项目探究题】综合与实践：
根据以下素材，探索完成任务：
背
景 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道
由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑
道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆
形，跑道第一圈(最内圈边线)弯道半径为35.0米到38.0
米之间.
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素
材
1 某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈(最
内圈边线)弯道半径为36米的标准跑道(如图).小轩同学计
算了各圈(各跑道内圈边线)的长(π取3.14，结果保留1位
小数)：
第一圈长：87×2＋2π(36＋1.2×0)≈400.1(米)；
第二圈长：87×2＋2π(36＋1.2×1)≈407.6(米)；
第三圈长：87×2＋2π(36＋1.2×2)≈415.2(米).
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素
材
2 小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步.邓教练紧靠第三圈边线
顺时针骑自行车(均以所在跑道内侧边线长计路程)，在
图中起跑线的位置同时出发，经过20秒两人在直道第一
次相遇.已知邓教练平均速度是小轩平均速度的2倍.
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问题解决 任
务
1 (1)第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少
米？
(2)小轩计算的第八圈的长是多少米？
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任
务
2 (3)小轩与教练的平均速度各是多少？
(注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直
时，称两人直道相遇)
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解：(1)415.2－400.1＝15.1(米).
答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多15.1米.
(2)87×2＋2π(36＋1.2×7)≈452.8(米).
答：小轩计算的第八圈的长是452.8米.
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(3)由于两人是第一次相遇，邓教练的速度更快，且是在
直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆跑道长
度的差，
两个半圆形跑道的差为π(36＋1.2×2)－π(36＋1.2×0)
＝2.4π(米).
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设小轩的平均速度为 v 米/秒，则邓教练的平均速度为2 v
米/秒，
由题意得20( v ＋2 v )＝400＋2.4π，
解得 v ≈6.8.所以2 v ≈13.6.
答：小轩的平均速度约为6.8米/秒，邓教练的平均速度约为
13.6米/秒.
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9(共28张PPT)
第六章　几何图形初步
6.3　角
6.3.2　角的比较与运算
目 录
CONTENTS
01
1星题　落实四基
02
2星题　提升四能
03
3星题　发展素养
1. 如图①，图②所示，把一副三角尺先后放在∠ AOB 上，
则∠ AOB 的度数可能是(　C　)
A. 60° B. 50°
C. 40° D. 30°
C
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2. [教材P178习题T7变式]如图，若∠ AOB ＞∠ COD ，则
∠ AOD 与 ∠ BOC 的大小关系是(　C　)
A. ∠ AOD ＝∠ BOC
B. ∠ AOD ＜∠ BOC
C. ∠ AOD ＞∠ BOC
D. 不能确定
C
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3. 一副三角尺如图所示放置，则∠ AOB 的度数为(　C　)
A. 120° B. 90°
C. 105° D. 60°
C
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4. [2024舟山定海区月考]如图， OC 为∠ AOB 内的一条射
线，下列条件中不能确定 OC 平分∠ AOB 的是(　C　)
A. ∠ AOC ＝∠ BOC
B. ∠ AOB ＝2∠ BOC
C. ∠ AOC ＋∠ COB ＝∠ AOB
D. ∠ AOC ＝ ∠ AOB
C
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5. [2024宁波模拟]如图，已知 O 是直线 AB 上一点，∠1＝
40°， OD 平分∠ BOC ，则∠2的度数是(　D　)
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 70°
D
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6. 下列运算正确的是(　B　)
A. 34.5°＝34°5'
B. 90°－23°45'＝66°15'
C. 12°34'×2＝25°18'
D. 24°24'＝24.04°
B
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7. 计算：(1)37°25'＋24°35'＝ ；
(2)27°25'×4＝ .
62°　
109°40'　
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8. [2024上海奉贤区期末]如图所示的网格是正方形网格，点
A ， B ， C ， D ， O 是网格线交点，那么∠
AOB ∠ COD . (填“＞”“＝”或“＜”)
＞　
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9. [2024石家庄一模]如图，将一个三角尺60°角的顶点与另
一个三角尺的直角顶点重合，若∠1＝26°18'，则∠2的
度数是 .
56°18'　
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10. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放
置，则∠1，∠2，∠3三个角的数量关系为(　A　)
A. ∠1＋∠2＋∠3＝90°
B. ∠1＋∠2－∠3＝90°
C. ∠1－∠2＋∠3＝90°
D. ∠1＋2∠2－∠3＝90°
A
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11. [教材P173探究变式]如图是一副特制的三角尺，用它们
可以画出一些特殊角.在下列选项中，不能画出的角度是
(　B　)
A. 18° B. 55°
C. 63° D. 117°
B
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12. [2024上海宝山区期末]α，β都是钝角，有四名同学分别
计算 (α＋β)，却得到了四个不同的结果，分别为26°，
50°，72°，90°，老师批作业时发现其中确有正确的
结果，那么计算正确的结果是(　B　)
A. 26° B. 50°
C. 72° D. 90°
B
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13. 【新视角·操作实践题】数学课上，老师要求同学们用一
副三角尺画一个钝角，并且画出它的角平分线.小丹的画
法如下：
①先按照图①的方式摆放一副三角尺，画出∠ AOB ；
②再按照图②的方式摆放一副三角尺，画出射线 OC ；
③图③是去掉三角尺后得到的图形.
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老师说小丹的画法符合要求.请你回答：
(1)小丹画的∠ AOC 的度数是 ；
(2)射线 OC 是∠ AOB 的平分线的依据是
.
75°　
角平分线的定
义　
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14. [2024成都期末]如图，∠ BAC 和∠ DAE 都是
70°30'的角.
(1)如果∠ DAC ＝27°30'，那么∠ BAE 等于多少度(写出
过程)？
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解：(1)∠ BAE ＝(∠ BAC －∠ DAC )＋∠ DAE ＝(70°30'－27°30')＋70°30'＝113°30'＝113.5°.
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(2)请写出图中相等的角.
解：(2)因为∠ BAD ＝∠ BAC －∠ DAC ，∠ CAE ＝∠ DAE －∠ DAC ，且∠ BAC ＝∠ DAE ，所以∠ BAD ＝∠ CAE .
故图中相等的角有∠ BAC 和∠ DAE ，∠ BAD 和∠ CAE .
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(3)若∠ DAC 变大，则∠ BAD 如何变化？
解：(3)因为∠ BAD ＝∠ BAC －∠ DAC ，
∠ BAC ＝70°30'，
所以若∠ DAC 变大，则∠ BAD 变小.
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15. 如图，已知∠ AOD ＝90°， OB 平分∠ AOC ，∠AOB ∶∠ COD ＝2∶5.求∠ AOB 的度数.
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解：因为 OB 平分∠ AOC ，
所以∠ AOB ＝∠ BOC .
因为∠ AOB ∶∠ COD ＝2∶5，
所以设∠ AOB ＝∠ BOC ＝2 x ，则∠ COD ＝5 x .因为
∠ AOD ＝90°，
所以2 x ＋2 x ＋5 x ＝360°－90°＝270°，解得 x ＝
30°.
所以∠ AOB ＝2 x ＝60°.
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16. 【新视角·动点探究题】已知∠ AOB ＝120°，∠ COD
＝40°， OE 平分∠ AOC ， OF 平分∠ BOD .
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(1)如图①，当 OB ， OC 重合时，求∠ AOE －
∠ BOF 的值.
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解：(1)因为 OE 平分∠ AOC ，
OF 平分∠ BOD ，
所以∠ AOE ＝ ∠ AOC ＝
∠ AOB ＝60°，∠ BOF ＝ ∠ BOD ＝ ∠ COD ＝
20°.
所以∠ AOE －∠ BOF ＝60°－20°＝40°.
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(2)如图②，当∠ COD 从图①所示的位置绕点 O 以每秒
2°的速度顺时针旋转 t 秒(0＜ t ＜10)，在旋转过程
中，∠ AOE －∠ BOF 的值是否会随 t 的变化而变化？
若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明
理由.
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解：(2)∠ AOE －∠ BOF 的值不发生变化.
由题意，得∠ BOC ＝2 t °，则∠ AOC ＝∠ AOB ＋2 t °
＝(120＋2 t )°，∠ BOD ＝∠ COD ＋2 t °＝(40＋2 t )°.
因为 OE 平分∠ AOC ， OF 平分∠ BOD ，
所以∠ AOE ＝ ∠ AOC ＝(60＋ t )°，∠ BOF ＝
∠ BOD ＝(20＋ t )°.所以∠ AOE －∠ BOF ＝40°.
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(3)在(2)的条件下，当∠ COD 旋转多少秒时，∠ COF ＝
12°？
解：(3)根据题意，得∠ BOF ＝(2 t ＋12)°，
所以2 t ＋12＝20＋ t ，解得 t ＝8.
所以当∠ COD 旋转8秒时，∠ COF ＝12°.
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