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浙江省台州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数，则z的实部为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2．已知，，若，则( )
A.6 B.4 C.2 D.-6
3．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为( )
A.4 B.3 C. D.2
4．在下列四组数中，方差最大的一组是( )
①4,4,4,4,4,4,4,4,4；
②3,3,3,4,4,4,5,5,5；
③2,2,3,3,4,5,5,6,6；
④1,1,1,1,4,7,7,7,7.
A.① B.② C.③ D.④
5．一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为( )
A. B. C. D.
6．抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则( )
A. B. C. D.
7．如图所示，A,B,P,Q在同一个铅垂面，在山脚A测得山顶P的仰角为,，斜坡长为m，在B处测得山顶P的仰角为，则山的高度为( )
A. B. C. D.
8．设A,B,C是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是( )
A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B.事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立
C.若成立，则事件A与B相互独立
D.若成立，则事件A,B,C一定两两独立
二、多项选择题
9．在复平面内，满足下列条件的复数z所对应的点与点，，在同一个圆上的是( )
A. B. C. D.
10．为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了1500户居民六月份的用电量（单位：），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集 整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是( )
A.直方图中
B.在被调查的用户中，用电量不超过的户数为900
C.这1500户居民六月份用电量的平均数小于中位数
D.估计该市居民六月份用电量的第45百分位数约为175
11．在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，N为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是( )
A.若直线与直线所成角为，则的最大值为
B.若直线与平面所成角为，则的最大值为
C.若点N到平面的距离为d，则的最小值为
D.若过，N，C三点的平面截正方体所得截面面积为S，则S的最小值为
三、填空题
12．某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是________.
13．已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为________（写出一个即可）
14．已知线段,为的两条内角平分线，若，且，则的值为________.
四、解答题
15．在四棱锥中，底面，，，，E为中点，F为棱上任意一点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
16．在中，，，，，设，.
（1）用，表示，；
（2）若，，，则当时，求的值.
17．某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖.
（1）若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率；
（2）现有甲 乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求的值；
（2）当与边上的中线长均为2时，求的周长；
（3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值.
19．据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底 以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为R，其中球冠高为.
（1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；
（2）在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；
（3）已知一个棱长为a的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的a有且只有一个，求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：复数的实部为.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，，，
所以，解得.
故选：A.
3．答案：B
解析：如图平面正方形的边长为1，
则直观图如下所示：
则，，，
所以直观图的周长为.
故选：B
4．答案：D
解析：易知四组数据的平均数均为4；
对选项A，方差；
对选项B，方差;
对选项C，方差;
对选项D，方差.
故选：D.
5．答案：A
解析：设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度，
要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，
如图指：，
所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：由题意可知：基本事件的总数为，
对于事件A，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 √ ╳ √ ╳ √ ╳
2 ╳ √ ╳ √ ╳ √
3 √ ╳ √ ╳ √ ╳
4 ╳ √ ╳ √ ╳ √
5 √ ╳ √ ╳ √ ╳
6 ╳ √ ╳ √ ╳ √
可知，则；
对于事件B，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 ╳ √ ╳ √ ╳ √
2 √ √ √ √ √ √
3 ╳ √ ╳ √ ╳ √
4 √ √ √ √ √ √
5 ╳ √ ╳ √ ╳ √
6 √ √ √ √ √ √
可知，则；
对于事件，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
2 ╳ √ ╳ √ ╳ √
3 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
4 ╳ √ ╳ √ ╳ √
5 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
6 ╳ √ ╳ √ ╳ √
可知，则；
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：，故D错误；
故选：C.
7．答案：D
解析：如图所示：
因为，，
所以，
则，
在中，由正弦定理得，
，
则，
得，
在直角三角形中，，
得.
故选：D
8．答案：D
解析：对于A，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A正确；
对于B，因为，，若事件A,B相互独立，则，
故事件A,B不互斥，若事件A,B互斥，则，故事件A,B不独立，
所以事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立，故B正确；
对于C，若成立，则事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，若成立，不一定能得出，
，，则事件A,B,C不一定两两独立，故D错误.
故选：D.
9．答案：BC
解析：因为，，，
所以，，，
因此这4个点在以原点为圆心，5为半径的圆上.所以；
对于A，，，故A错误；
对于B，，，.故B正确；
对于C，设，，，，故C正确；
对于D，，，，，
解得，，所以，故D错误；
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：对于A，由频率分布直方图矩形面积之和为1得
，
解得，故A正确；
对于B，用电量不超过的频率为，
所以户数为，故B正确；
对于C，平均数为
设中位数为x，则x在第三组，
即，解得，
故平均数大于中位数，故C错误；
对于D，设第45百分位数为y，则y在第三组，
，解得，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：
对A，当点N运动到与M点重合时，求得，故A错误；
对B，因为，所以当线段最小时，最大，
分析知，当点N运动到满足时，最小，此时根据勾股定理，也最小.
又因为平面，所以，又，，所以平面，所以.
在中，由勾股定理得，
由得，.
在中，由勾股定理得.
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
所以中，，故B正确；
对C，过N作，再作，又，易证平面，
所以点N到平面等于点P到平面，所以，
将平面和平面展开放在同一平面内（如图所示），取的中点K，则有，所以，所以为等腰直角三角形，所以，
又因为为等腰直角三角形，所以，
所以，所以，
设，，则，，
在中，，
所以,，
所以，，
所以，下面求其最小值，令,，则，由辅助角公式可得，，其中取，所以，
所以存在角使得，即存在，化简得，
，又由方程解得，
所以或，又因为，
所以，
所以的最小值为，故C正确；
对D，分析知，经过，N，C三点的平面截正方体得到的截面经过的中点E，的中点时，截面面积最小，此时截面为四边形，由于，，，都全等，所以，所以四边形为菱形，
易求，，
所以，故D正确.
，
故选：BCD.
12．答案：168
解析：由题意可知：男、女生所占的频率分别为、，
则抽取的男、女生人数分别为、，
所以总样本的平均数.
故答案为：168.
13．答案：（介于区间内都可以，答案不唯一）.
解析：如下图，延长棱台母线交于点S，过S作平面ABCD于G，连接S，G与AB中点F，
则.
又，所以，.
又棱台的高度不确定，所以.
故答案为：（介于区间内都可以，答案不唯一）.
14．答案：/
解析：由，所以.
因为，
所以，
即，则.
在中应用正弦定理，，
所以，又，
所以，即，
展开，
整理可得，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）取中点M，连接，.
则是的中位线，得，且.
因为，且，所以，且，
因此，四边形是平行四边形，得.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）连接，不妨设，
由，，在直角梯形中，求得，
因为，所以，
因为底面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
16．答案：（1），；
（2）
解析：（1）因为，，
，
因为，所以，
.
（2）当时，，
即，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
故.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）将白球编号为1，红球编号为2，3，黑球编号为4，5，6.
记“取到两球同色”，
，，
因此，
（2）记“甲顾客中奖”，“乙顾客中奖”，B，C相互独立，
则.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，
又由，得.
因为，所以；
（2）由余弦定理得，
即，①
设的中点为D，则，
则，
则，②
由①②得，
联立，解得，
所以，即的周长为；
（3）由（1）得，
由内切圆半径为1，得，即，
由余弦定理得，所以，
得，因为，所以，
解得或，
又因为的面积大于其内切圆面积，即，
得，所以，
当且仅当时，的面积取到最小值.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为.
（2）设圆锥半径为r，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，
即，
消去，得，
整理得，因为，所以.
（3）设正四面体内接“球锥”，顶点P与球心重合，棱长为a，
则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件.
注意到，当顶点A,B,C在圆锥底面圆周上时，
,，得，
当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于R的正四面体均可内接该“球锥”.
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点A,B,C在球冠上.即，且.
又因为，所以.

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