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新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023-2024学年七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共9小题，每小题3分，共27分）
1．（3分）若x是9的算术平方根，则x是（　　）
A．3 B．﹣3 C．9 D．81
2．（3分）下面四个数中，无理数是（　　）
A．3.14 B． C． D．
3．（3分）下列调查中，最适合用普查的是（　　）
A．调查全县七年级学生本学期期中考试数学成绩情况
B．为订做校服，了解七年级某班学生的校服尺码
C．调查全市中学生的视力情况
D．调查某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命
4．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．125°
5．（3分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣5＜b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C． D．a+c＜b+c
6．（3分）有下列四个命题：
①相等的角是对顶角；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③无理数包括正无理数、0、负无理数；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
是真命题的命题的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，数轴上点N表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→ ，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（　　）
A．（9，0） B．（0，9） C．（8，0） D．（0，8）
二.填空题（共6小题。每小题3分，共18分）
10．（3分）如图，把小河里的水引到田地C处，作CD垂直于河岸，沿CD挖水沟，则水沟最短，其理论依据是 　 　
11．（3分）若A（2x﹣5，6﹣2x）在第四象限，求x的取值范围　 　．
12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠B0D分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝3：2，则∠EOD＝　 　．
13．（3分）若关于x、y的方程组的解满足x+y＝，则m＝　 　．
14．（3分）用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为 　 　cm2．
15．（3分）对x，y定义一种新的运算，规定，如F（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 　 　．
二.填空题（共8小题。每小题4分，共18分）
16．（4分）计算：．
17．（5分）解方程组：．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）如图，DB平分∠ADC，∠1＝∠3．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若∠2＝55°，求∠A的度数．
20．（9分）如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，请解答下列问题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）画出平移后的三角形A′B′C′；
（3）三角形ABC的面积是 　 　．
21．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　 　，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为　 　，在扇形统计图中D组的圆心角是　 　度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
22．（8分）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
23．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+4）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若线段AC与y轴交于点Q（0，2），在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形QCP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图②，求∠AED的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题，每小题3分，共27分）
1．（3分）若x是9的算术平方根，则x是（　　）
A．3 B．﹣3 C．9 D．81
【解答】解：∵32＝9，
∴＝3，
故选：A．
2．（3分）下面四个数中，无理数是（　　）
A．3.14 B． C． D．
【解答】解：3.14是有限小数，是分数，＝4是整数，它们不是无理数；
﹣是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
3．（3分）下列调查中，最适合用普查的是（　　）
A．调查全县七年级学生本学期期中考试数学成绩情况
B．为订做校服，了解七年级某班学生的校服尺码
C．调查全市中学生的视力情况
D．调查某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命
【解答】解：调查全县七年级学生本学期期中考试数学成绩情况，适合用抽样方式，A不合题意；
为订做校服，了解七年级某班学生的校服尺码，适合用普查方式，B符合题意；
调查全市中学生的视力情况，适合用抽样方式，C不合题意；
调查某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命，适合用抽样方式，D不合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【解答】解：∵a∥b，
∴BC与b所夹锐角等于∠1＝55°，
又AB⊥BC，
∴∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°．
故选：A．
5．（3分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣5＜b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C． D．a+c＜b+c
【解答】解：A、∵a＜b，∴a﹣5＜b﹣5，故A不符合题意；
B、∵a＜b，∴﹣5a＞﹣5b，故B不符合题意；
C、∵a＜b，c＞0，∴＜，故C符合题意；
D、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）有下列四个命题：
①相等的角是对顶角；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③无理数包括正无理数、0、负无理数；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
是真命题的命题的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，故不符合题意；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故不符合题意；
③无理数包括正无理数、负无理数，0是有理数，故不符合题意；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以命题正确；
所以真命题有1个；
故选：A．
7．（3分）如图，数轴上点N表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵N在3和4之间，
∴＜N＜，
∵﹣＜＜＜，
∴可排除B，C、D．
故选：A．
8．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
9．（3分）如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→ ，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（　　）
A．（9，0） B．（0，9） C．（8，0） D．（0，8）
【解答】解：由题意可知：
当点移动到（1，1）时，用时2秒，
当点移动到（2，2）时，用时6秒，
当点移动到（3，3）时，用时12秒；

∴点移动到（n，n）时，用的时间为n（n+1）秒，
当点移动到（0，1）时，先向右移动1秒，得到（1，1），再向下移动1秒得到（1，0），
当点移动到（0，2）时，向上移动1秒，得到（0，3），
当点移动到（0，3）时，先向右移动3秒，得到（3，3），再向下移动3秒得到（3，0），

∴当点移动到（0，n）时，n为奇数时，先向右移动n秒，得到（n，n），再向下移动n秒，得到（n，0），n为偶数时，向上移动1秒，得到（0，n+1），
∴当点移动到（9，9）时，用时9×10＝90秒，再向下移动9秒，得到（9，0），
即：第99秒时质点所在位置的坐标是为（9，0）；
故选：A．
二.填空题（共6小题。每小题3分，共18分）
10．（3分）如图，把小河里的水引到田地C处，作CD垂直于河岸，沿CD挖水沟，则水沟最短，其理论依据是 　垂线段最短　
【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
11．（3分）若A（2x﹣5，6﹣2x）在第四象限，求x的取值范围　x＞3　．
【解答】解：∵A（2x﹣5，6﹣2x）在第四象限，
∴，
解得x＞3．
故答案为x＞3．
12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠B0D分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝3：2，则∠EOD＝　30°　．
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°，
∵∠BOE：∠EOD＝3：2，
∴∠BOE＝45°，∠EOD＝30°，
故答案为：30°．
13．（3分）若关于x、y的方程组的解满足x+y＝，则m＝　1　．
【解答】解：，
①+②得：5（x+y）＝2m+1，
解得：x+y＝，
代入已知等式得：＝，
解得：m＝1．
故答案为：1．
14．（3分）用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为 　375　cm2．
【解答】解：设长方形的宽为x cm，则长方形的长为（x+10）cm，
依题意得：2（x+10+x）＝80，
解得：x＝15，
∴（x+10） x＝（15+10）×15＝375，
即围成长方形的面积为375cm2．
故答案为：375．
15．（3分）对x，y定义一种新的运算，规定，如F（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 　4≤a＜5　．
【解答】解：由题意，∵3＞1，m＞0，
∴3m＞m．
∴F（3m，m）＝3m﹣2m＝m．
∵﹣3＜﹣2，m＞0，
∴﹣3m＜﹣2m．
∴﹣1﹣3m＜﹣3m＜﹣2m．
∴F（﹣1﹣3m，﹣2m）＝﹣2m﹣（﹣1﹣3m）＝m+1．
∴原不等式组可以化为．
∴原不等式组的解集为1＜m≤a﹣1．
∵原不等式组恰好有2个整数解，
∴3≤a﹣1＜4．
∴4≤a＜5．
二.填空题（共8小题。每小题4分，共18分）
16．（4分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1+3﹣2
＝．
17．（5分）解方程组：．
【解答】解：，
①×3，得6x+3y＝15，③
②+③，得7x＝21，
x＝3．
把x＝3代入①，得2×3+y＝5，
y＝﹣1．
∴原方程组的解是．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：﹣＜x≤5，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
19．（6分）如图，DB平分∠ADC，∠1＝∠3．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若∠2＝55°，求∠A的度数．
【解答】解：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠2＝2×55°＝110°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ADC，
＝180°﹣110°
＝70°．
20．（9分）如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，请解答下列问题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）画出平移后的三角形A′B′C′；
（3）三角形ABC的面积是 　15　．
【解答】解：（1）A（﹣1，4），B（﹣4，﹣3），C（2，1）；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）△ABC的面积＝6×7﹣×3×7﹣×3×3﹣×6×4＝15．
故答案为：15．
21．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　50　，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为　0.32　，在扇形统计图中D组的圆心角是　72　度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%＝50，B组的频数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全频数分布直方图，如图：
（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角＝；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18（人），
该校初三年级体重超过60kg的学生大约＝（人），
故答案为：（1）50；（2）0.32；72．
22．（8分）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【解答】解：（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，
依题意得：，
解得：．
答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买（200﹣m）盒B种型号的颜料，
依题意得：24m+16（200﹣m）≤3920，
解得：m≤90．
答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
23．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+4）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若线段AC与y轴交于点Q（0，2），在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形QCP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图②，求∠AED的度数．
【解答】解：（1）∵（a+4）2+＝0，
又∵（a+4）2+≥0，≥0
∴，
∴，
∴A（﹣4，0），C（4，4），B（4，0），
∴S△ABC＝ AB BC＝×8×4＝16．
（2）设P点坐标为（0，y），
∵Q（0，2），
∴PQ＝|y﹣2|，
当S△PQC＝S△ABC＝16时，
|y﹣2|×4＝16，
解得y＝10或﹣6，
∴P（0，10）或（0，﹣6）．
（3）如图2中：过点E作EF∥AC，
∵AC∥BD
∴EF∥BD
∴∠CAE＝∠AEF，∠EDB＝∠DEF
∴∠CAE+∠EDB＝∠AEF+∠DEF
∴∠AED＝∠CAE+∠BDE
∵AE、DE分别平分∠CAB和∠ODB
∴∠CAE＝∠CAB，∠BDE＝∠ODB，
∵AC∥BD
∴∠ODB＝∠AQD
∴∠AED＝（∠CAB+∠ODB）＝（∠CAB+∠AQD）＝×90°＝45°．

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