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第01章 二次函数 章节汇总练习
知识点合集
知识点1．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
知识点2．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点4．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
知识点5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
知识点6．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
知识点7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
知识点8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点9．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
知识点10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
知识点11．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
知识点12．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
知识点13．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
知识点15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
试题练习
一．二次函数的定义
1．（2023秋 上城区校级月考）下列函数中，是二次函数的是　　
A． B． C． D．
2．（2023秋 柯桥区校级月考）如果函数是关于的二次函数，那么的值一定是 　　．
3．（2023 平湖市校级开学）已知函数为常数）．
（1）若这个函数是关于的一次函数，求的值．
（2）若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围．
二．二次函数的图象
4．（2020 杭州模拟）在同一平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
5．（2023秋 仙居县校级月考）已知函数的大致图象如图所示，那么：方程．为实数）
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则的值是 　　．
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
6．（2022秋 恩施市期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
三．二次函数的性质
7．（2024 浙江模拟）二次函数，若时，的取值范围为为常数），则当时，的取值范围为　　
A． B． C． D．
8．（2022秋 乐清市校级期中）抛物线的顶点坐标是　　．
9．（2024 鹿城区一模）设抛物线与直线交于点．
（1）求，的值及抛物线的对称轴．
（2）设，，，是抛物线上两点，且，，在直线上．
①当时，求的值．
②当时，求的取值范围．
四．二次函数图象与系数的关系
10．（2023秋 东阳市期末）已知，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 　　．
11．（2024 舟山三模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．将点向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上．
（1）用含的代数式表示．
（2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标．
（3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
12．（2023 竹山县模拟）对于一个函数，当自变量取时，其函数值等于，我们称为这个函数的二倍数．若二次函数为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
五．二次函数图象上点的坐标特征
13．（2024春 海曙区校级期末）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
14．（2023秋 新昌县期末）已知，，，是抛物线上不同的两点，若点，也在抛物线上，则的值为 　　．
15．（2023秋 西湖区期末）在平面直角坐标系中，点，，，都在二次函数的图象上．
（1）若，求的值．
（2）若，求的取值范围．
六．二次函数图象与几何变换
16．（2023秋 永康市期末）将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
17．（2023 滨江区校级开学）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 　　．
18．（2023秋 东阳市期中）已知和是二次函数图象上的两点．
（1）求的值；
（2）将二次函数的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种即可）
七．二次函数的最值
19．（2023秋 柯桥区月考）二次函数的图象的最高点是，则，的值分别是　　
A．2，4 B．2， C．，4 D．，
20．（2023秋 上城区校级期中）如图，在中，，，，点在上，从点到点运动（不包括点），点运动的速度为；点在上从点运动到点（不包括点），速度为．若点，分别从、同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，，两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？
21．（2024 拱墅区模拟）已知点，，，在二次函数，为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为．若，则的值为 　　．
八．待定系数法求二次函数解析式
22．（2024 宁波模拟）关于的二次函数中，当时，．则的值为 　　．
23．（2024 宁波模拟）设函数，，是实数），当时，；当时，．则　　
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
24．（2024 浙江）已知二次函数，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
九．二次函数的三种形式
25．（2023秋 鹿城区校级月考）把二次函数用配方法化成的形式应为　　
A． B． C． D．
26．（2023 荆州区三模）将二次函数化成的形式是 　　．
27．（2021秋 西湖区校级期中）已知：二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，．
一十．抛物线与x轴的交点
28．（2023秋 上虞区期末）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：①；；．其中“弦长”最短的是抛物线 　　（填题序号即可）．
29．（2024 温州模拟）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是　　
A．2 B． C． D．
30．（2024 宁波模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线，当时，有最大值12，求的值；
（3）若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根
31．（2023秋 萧山区月考）根据下表判断方程，，，为常数）的一个解的取值范围是　　
0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
32．（2022秋 衢江区期中）根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是　　
0 0.5 1 1.5 2
1 3.5 7
A． B． C． D．
33．（2023秋 上虞区期末）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题 由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与轴交点的横坐标．如图．若取的值为，，，使得函数值，满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在，与，之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 　，　（从以下选项中选2个即可）
例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，，则点，的横坐标，就是方程的解．观察图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为，．
．数形结合
．分类讨论
．统计思想
．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程的解，分别在哪两个相邻的整数之间．
的值 0 1
的值 　　 　　 　　 　　
（3）若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况．
一十二．二次函数与不等式（组）
34．（2024 玉环市三模）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，，，则以下结论错误的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
35．（2024 宁海县校级自主招生）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 　　．
36．（2024 温岭市一模）已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求抛物线的对称轴．
（2）若点，均在抛物线上，则 　　（填“”，“ ”或“” ．
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
一十三．根据实际问题列二次函数关系式
37．（2021 天门模拟）某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块．设每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，则与之间的函数表达式为　　．
38．（2022秋 南湖区校级期中）某商店购进某种商品的价格是7.5元件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元件时，获利润元，则与的函数关系为　　
A． B．
C． D．以上答案都不对
39．（2022秋 顺义区校级期中）如图， 一块草地是长、宽的矩形， 欲在中间修筑两条互相垂直的宽为的小路， 这时草坪面积为． 求与的函数关系式， 并写出自变量的取值范围 ．
一十四．二次函数的应用
40．（2023秋 萧山区月考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　　元．
A．50 B．90 C．80 D．70
41．（2023秋 东阳市期中）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和，求的取值范围．
42．（2023秋 缙云县期末）飞机着陆后滑行的距离（米与滑行时间（秒的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　　秒．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
43．（2022秋 浦江县月考）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　；
当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　；
（2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 　　．
44．（2023 永嘉县校级模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
45．（2024 金东区二模）设二次函数，是常数）．
（1）若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示）
（2）若时，求二次函数的最大值．（用含的代数式表示）
（3）若时，如图，直线与此函数图象交于，两点，点不在二次函数图象上，线段，分别交二次函数图象于点，，且，，求点的纵坐标的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第01章 二次函数 章节汇总练习
知识点合集
知识点1．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
知识点2．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点4．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
知识点5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
知识点6．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
知识点7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
知识点8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点9．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
知识点10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
知识点11．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
知识点12．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
知识点13．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
知识点15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
试题练习
一．二次函数的定义
1．（2023秋 上城区校级月考）下列函数中，是二次函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
【解答】解：、是正比例函数，不符合题意；
、是二次函数，符合题意；
、是反比例函数，不符合题意；
、是是一次函数，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2023秋 柯桥区校级月考）如果函数是关于的二次函数，那么的值一定是 　4　．
【分析】利用二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程可得到的值．
【解答】解：根据题意得且，
解得，
即的值一定为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的定义：正确理解二次函数的定义是解决问题的关键．
3．（2023 平湖市校级开学）已知函数为常数）．
（1）若这个函数是关于的一次函数，求的值．
（2）若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意且，
所以；
（2）依题意，
所以且．
【点评】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
二．二次函数的图象
4．（2020 杭州模拟）在同一平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【分析】根据二次函数图象，可得二次函数的性质．
【解答】解：如图：
，
（1）与的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，
与的不同点是：开口向上，顶点坐标是，开口向下，顶点坐标是；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点： 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的图象，利用了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小．
5．（2023秋 仙居县校级月考）已知函数的大致图象如图所示，那么：方程．为实数）
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则的值是 　　．
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
【分析】方程为实数）有3个，2个不相等的实数根，可以转化为函数的图象与直线的图象有3个，2个交点，由此即可解决问题．
【解答】解：①方程为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数的图象与直线的图象有3个交点，
因为函数与轴交点，
观察图象可知，两个函数图象有3个交点时，．
故答案为：．
②方程为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数的图象与直线的图象有2个交点，
因为函数与轴交点，
观察图象可知，两个函数图象有2个交点时，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查二次函数的图象、根的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
6．（2022秋 恩施市期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】分与两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
【解答】解：①当时，二次函数的图象开口向上、对称轴为轴、顶点在轴负半轴，一次函数的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于轴同一点；
②当时，二次函数的图象开口向下、对称轴为轴、顶点在轴正半轴，一次函数的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于轴同一点．
对照四个选项可知正确．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
三．二次函数的性质
7．（2024 浙江模拟）二次函数，若时，的取值范围为为常数），则当时，的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】依据题意，根据时，的取值范围为，且抛物线开口向下，则对称轴是直线，从而，故抛物线为，又当时，，可得，即求出二次函数为，又当，结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下，
对称轴是直线．
．
抛物线为．
又当时，，
．
二次函数为．
抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
，，
又，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为．
当时，．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8．（2022秋 乐清市校级期中）抛物线的顶点坐标是　　．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
9．（2024 鹿城区一模）设抛物线与直线交于点．
（1）求，的值及抛物线的对称轴．
（2）设，，，是抛物线上两点，且，，在直线上．
①当时，求的值．
②当时，求的取值范围．
【分析】（1）依据题意，把分别代入和，即可求出，，从而求得抛物线的对称轴；
（2）①依据题意，由和关于 对称，且，从而和到对称轴的距离都为1，可得，，又将代入抛物线解析式，可得，再由直线为，即可得解；
②依据题意，可得，故，再结合，故可得，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，把分别代入和，
，．
抛物线的对称轴为直线．
（2）①和关于 对称，且，
和到对称轴的距离都为1，
，．
又将代入抛物线解析式，
．
又直线为，
．
②由题意，，
．
，
．
，即．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
四．二次函数图象与系数的关系
10．（2023秋 东阳市期末）已知，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 　　．
【分析】先求得抛物线对称轴，再利用函数的增减性可得到关于的不等式，可求得的取值范围．
【解答】解：，
对称轴为，且抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用对称轴公式求得抛物线对称轴是解题的关键．
11．（2024 舟山三模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．将点向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上．
（1）用含的代数式表示．
（2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标．
（3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【分析】（1）求得的坐标，进一步求得的坐标，由点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上，得到，解得；
（2）求得对称轴，根据抛物线的对称性可知二次函数过定点和，当时，一次函数的函数值恰好也是，即可得到二次函数与一次函数必定交于一个定点；
（3）①当时二次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，两函数必定交于一个定点为，结合图象可得，时，均符合题意；②当时，由题意当时，，解得，当二次函数与线段只有一个交点时，由 得，由△，解得，即可得出的取值范围是或或．
【解答】解：（1）令，则，
，
将点向左平移4个单位，得到点，
点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上．
，即；
（2）方法一：
二次函数必过定点，
又二次函数的对称轴是直线，
二次函数也过定点，
当时，一次函数的函数值恰好也是，
二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为；
方法二：
由 得，化简得
解得，
二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为；
（3）①当时，
二次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，
又两函数必定交于一个定点为，
由图象可得，时，均符合题意；
②当时，
由图象可得，当时，，或者二次函数与线段只有一个交点时，符合题意．
当时，，解得，
当二次函数与线段只有一个交点时，
由 得，由△，解得，
综上所述，的取值范围是或或．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
12．（2023 竹山县模拟）对于一个函数，当自变量取时，其函数值等于，我们称为这个函数的二倍数．若二次函数为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】由函数的二倍数概念得出、是方程的两个实数根，由△且时，即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数有两个相异的二倍数点、是方程的两个不相等实数根，且、都小于1，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根知：△，即①，
令，画出该二次函数的草图如下：
而、（设在的右侧）都小于1，即当时，②，
联立①②并解得：，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握二倍数的概念，并据此得出关于的不等式．
五．二次函数图象上点的坐标特征
13．（2024春 海曙区校级期末）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【分析】求出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，又，即可得．
【解答】解：二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，
，且到对称轴距离越大，函数值越大，
；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握到对称轴距离越大，函数值越大．
14．（2023秋 新昌县期末）已知，，，是抛物线上不同的两点，若点，也在抛物线上，则的值为 　3　．
【分析】先根据抛物线的对称性得到，则，然后把代入可得到的值．
【解答】解：，，，是抛物线上不同的两点，
，和，关于抛物线的对称轴对称，
，
，
点，，即在抛物线上，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式．
15．（2023秋 西湖区期末）在平面直角坐标系中，点，，，都在二次函数的图象上．
（1）若，求的值．
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）由可得抛物线对称轴为，构建方程可得结论．
（2）由抛物线经过可得，分别将，，代入解析式，根据及的取值范围求解．
【解答】解：（1）当时，，关于对称轴对称，
，
．
（2）将代入得，
将代入得，
将代入得，
，
，
，
将代入得，
，
，
，
，
，
，即．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
六．二次函数图象与几何变换
16．（2023秋 永康市期末）将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
【分析】根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【解答】解：将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
17．（2023 滨江区校级开学）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 　　．
【分析】根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【解答】解：抛物线的解析式为，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，
抛物线，抛物线关于原点中心对称，
抛物线的开口向上，顶点坐标为，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键．
18．（2023秋 东阳市期中）已知和是二次函数图象上的两点．
（1）求的值；
（2）将二次函数的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种即可）
【分析】（1）利用和是二次函数图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出的值；
（2）可以把抛物线与轴的交点移到原点．
【解答】解：（1）和是二次函数图象上的两点，
此抛物线对称轴是直线．
二次函数的关系式为，
有．
．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：，向下平移1个单位长度．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及图象与轴交点个数确定方法，利用二次函数的对称性得出对称轴是解题关键．
七．二次函数的最值
19．（2023秋 柯桥区月考）二次函数的图象的最高点是，则，的值分别是　　
A．2，4 B．2， C．，4 D．，
【分析】根据二次函数的二次项系数来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数的图象的最高点是确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答、的值．
【解答】解：二次函数的二次项系数，
该函数的图象的开口方向向下，
二次函数的图象的最高点坐标就是该函数的顶点坐标，
，即；①
，即；②
由①②解得，，；
故选：．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
20．（2023秋 上城区校级期中）如图，在中，，，，点在上，从点到点运动（不包括点），点运动的速度为；点在上从点运动到点（不包括点），速度为．若点，分别从、同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，，两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）由勾股定理和二次函数的性质可求解；
（2）由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，
，
当时，最小，最小值为；
答：经过时间后，，两点的距离最短，最短距离是；
（2），
当时，面积最大值为9．
【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，三角形的面积公式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2024 拱墅区模拟）已知点，，，在二次函数，为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为．若，则的值为 　9　．
【分析】点，，，在二次函数，为常数）的图象上，，是方程的两个解，根据根与系数的关系求出，再求出二次函数的最小值为，就能求出的值．
【解答】解：，
，
，．
，
，
，
，
．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二次函数的最值，根与系数的关系，二次函数图象上点的特征．关键是用，表示和．
八．待定系数法求二次函数解析式
22．（2024 宁波模拟）关于的二次函数中，当时，．则的值为 　或5　．
【分析】求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：抛物线，
顶点，
当时，当时，．
函数有最小值，
，
当时，当时，，
函数有最大值，
，
故答案为：或5．
【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
23．（2024 宁波模拟）设函数，，是实数），当时，；当时，．则　　
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【分析】根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的的值都的正负依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为和在抛物线上，
则点关于直线的对称点为，
因为，，
所以在对称轴的右侧随的增大而增大，
则抛物线的开口向上，
即．
故选择不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，，
所以在对称轴的右侧随的增大而减小，
则抛物线的开口向下，
即．
故选项不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，，
所以在对称轴的右侧随的增大而减小，
则抛物线的开口向下，
即．
故选项符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，
即．
故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．
24．（2024 浙江）已知二次函数，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由二次函数为，可得抛物线为直线，可得的值，再由图象经过点，求出的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度，进而可得平移后的点为，结合在图象上，可得，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由，可得当时，取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解．
【解答】解：（1）由题意，二次函数为，
抛物线的对称轴为直线．
．
抛物线为．
又图象经过点，
．
．
抛物线为．
（2）由题意，点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为．
又在，
．
或（舍去）．
．
（3）由题意，当 时，
最大值与最小值的差为．
，不符合题意，舍去．
当 时，
最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为，解得 或，不符合题意．
综上所述，的取值范围为．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
九．二次函数的三种形式
25．（2023秋 鹿城区校级月考）把二次函数用配方法化成的形式应为　　
A． B． C． D．
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
26．（2023 荆州区三模）将二次函数化成的形式是 　　．
【分析】利用配方法再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
27．（2021秋 西湖区校级期中）已知：二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，．
【分析】（1）利用配方法整理即可得解；
（2）根据二次函数顶点式形式写出对称轴和顶点坐标即可；
（3）令求出抛物线与轴的交点坐标，再写出轴下方部分的的取值范围即可．
【解答】解：（1），
；
（2）对称轴为直线，
顶点坐标为；
（3）令，则，
解得，，
二次项系数，
当时，．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟记配方法和利用顶点式解析式求对称轴以及顶点坐标的方法是解题的关键．
一十．抛物线与x轴的交点
28．（2023秋 上虞区期末）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：①；；．其中“弦长”最短的是抛物线 　③　（填题序号即可）．
【分析】解方程得到抛物线与轴的两交坐标为，，则该抛物线在轴上截得的“弦长”为5；解方程得到抛物线与轴的两交坐标为，，则该抛物线在轴上截得的“弦长”为6；解方程得到抛物线与轴的两交坐标为，，则该抛物线在轴上截得的“弦长”为4，从而得到“弦长”最短的抛物线．
【解答】解：①
当时，，
解得，，
抛物线与轴的两交坐标为，，
该抛物线在轴上截得的“弦长”为；
，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的两交坐标为，，
该抛物线在轴上截得的“弦长”为；
，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的两交坐标为，，
该抛物线在轴上截得的“弦长”为；
“弦长”最短的是抛物线③；
故答案为：③．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
29．（2024 温州模拟）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是　　
A．2 B． C． D．
【分析】由题意得，且，结合为整数得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时，当时，分别计算即可．
【解答】解：由题意得：，
且△，
解得：，且，
为正整数，
，
二次函数解析式为，
对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，对应函数值的取值范围是，
当时，函数在上随的增大而增大，
当时，，即，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，当时，取得最小值为，
即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意求出抛物线解析式，由函数性质解答．
30．（2024 宁波模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线，当时，有最大值12，求的值；
（3）若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【分析】（1）把点，坐标代入抛物线用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数的性质，当或时有最大值12，代入求值即可；
（3）根据数形结合求取值范围即可．
【解答】解：（1）把点，代入抛物线得，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）由（1）知，抛物线，当时，有最大值12
抛物线开口向上，
最大值只能在或时取得，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：（不合题意），
；
（3）由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示：
①当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时，
则，
解得：，
②当抛物线与直线相切时，
就是把抛物线向上平移10个单位，
即，
的取值范围为或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，关键是利用分类讨论思想进行解答．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根
31．（2023秋 萧山区月考）根据下表判断方程，，，为常数）的一个解的取值范围是　　
0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
【分析】根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．
【解答】解：函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，轴上的点的纵坐标为0，
由表中数据可知：在与之间，
对应的的值在0.5与0.6之间即．
故答案为．
【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
32．（2022秋 衢江区期中）根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是　　
0 0.5 1 1.5 2
1 3.5 7
A． B． C． D．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故选：．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．
33．（2023秋 上虞区期末）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题 由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与轴交点的横坐标．如图．若取的值为，，，使得函数值，满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在，与，之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 　，　（从以下选项中选2个即可）
例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，，则点，的横坐标，就是方程的解．观察图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为，．
．数形结合
．分类讨论
．统计思想
．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程的解，分别在哪两个相邻的整数之间．
的值 0 1
的值 　　 　　 　　 　　
（3）若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况．
【分析】（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）观察表格可知，随的值逐渐增大，的值由正到负，故可判断一元二次方程的解，．
（3）根据抛物线的开口向下，与轴的交点为，即可判断抛物线与轴有两个交点，从而判断方程有两个不相等的实数根，且，．
【解答】解：（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是，．
故答案为：，；
（2）填表如下：
的值 0 1
的值 13 3 1
，．
（3），
当时，，
又，
方程有两个不相等的实数根，且，．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是明确方程与函数的关系．
一十二．二次函数与不等式（组）
34．（2024 玉环市三模）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，，，则以下结论错误的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】解方程得，，再计算，；，，则，，然后利用的符号可选项进行判断；利用的符号可对选项进行判断；利用得到，然后利用的符号可对选项进行判断；利用的符号可对选项进行判断．
【解答】解：解方程得，，
当时，；当时，，
若，则，解得，
，
，所以选项不符合题意；
，
，所以选项不符合题意；
若，则，解得，
，
，所以选项不符合题意；
，
当，；当时，，所以选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：通过解方程组求出两函数图象的交点坐标是解决问题的关键．
35．（2024 宁海县校级自主招生）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 　或　．
【分析】直接利用函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当，3时，，
令，
的解为：
或3，
解得或5，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
36．（2024 温岭市一模）已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求抛物线的对称轴．
（2）若点，均在抛物线上，则 　　（填“”，“ ”或“” ．
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解；
（2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解；
（3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，经过点，
．
．
抛物线的对称轴是直线．
（2）由题意，抛物线的对称轴是直线．
的开口向上，
抛物线上点离对称轴越近函数值就越小．
，
．
故答案为：．
（3）由题意，令，
又当时，始终成立，
当时，恒成立．
又抛物线的对称轴为直线，
可分以下情形讨论．
①当时，即．
，
当时，随的增大而减小．
当时，．
．
此时无解．
②当时，即．
，
△．
．
．
此时．
③当时，即．
，
当时，随的增大而增大．
当时，．
．
故此时无解．
综上，．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
一十三．根据实际问题列二次函数关系式
37．（2021 天门模拟）某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块．设每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，则与之间的函数表达式为　　．
【分析】设每块滑板降价元，则销售利润为销量每件利润进而得出答案．
【解答】解：设每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，
则与之间的函数表达式为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式是解题关键．
38．（2022秋 南湖区校级期中）某商店购进某种商品的价格是7.5元件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元件时，获利润元，则与的函数关系为　　
A． B．
C． D．以上答案都不对
【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得，
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．
39．（2022秋 顺义区校级期中）如图， 一块草地是长、宽的矩形， 欲在中间修筑两条互相垂直的宽为的小路， 这时草坪面积为． 求与的函数关系式， 并写出自变量的取值范围 ．
【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上， 这样便于表达草坪的长，宽，列出函数关系式 ．
【解答】解： 由题意得：
，
．
所以函数关系式为：
．
【点评】本题是用矩形面积公式表示函数关系式 ．
一十四．二次函数的应用
40．（2023秋 萧山区月考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　　元．
A．50 B．90 C．80 D．70
【分析】根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．
【解答】解：设利润为元，每顶头盔的售价为元，
由题意可得：，
当时，取得最大值，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
41．（2023秋 东阳市期中）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和，求的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，即可求解；
（3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出，同理把代入函数表达式求出，进而求解．
【解答】解：（1），
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）当时，
，
球不能射进球门；
（3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
把点代入得：，
解得：（舍去）或，
即．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
42．（2023秋 缙云县期末）飞机着陆后滑行的距离（米与滑行时间（秒的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　20　秒．
【分析】依据题意，先求出得出函数关系式，然后依据飞机停下时，此时飞机滑行距离最远，进而求解．
【解答】解：由题意，，
又，，
．
．
函数关系式为．
又，
当时，飞机着陆后滑行600米停下．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求得时函数取得最大值，是本题解题的关键．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
43．（2022秋 浦江县月考）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　；
当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　；
（2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 　　．
【分析】（1）由“美丽抛物线”的定义可得抛物线经过点，，抛物线经过，，进而求解．
（2）由可得抛物线经过，，进而求解．
【解答】解：（1），
抛物线顶点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，，点坐标为，，
将，代入得，
解得，
，
抛物线顶点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，，
将，代入得，
解得（舍或，
故答案为：，8．
（2）由（1）得抛物线经过，，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，结合图形求解．
44．（2023 永嘉县校级模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当时，，即，解得．
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线与轴交点纵坐标为1，
，解得：．
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线经过点，
．
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
抛物线经过点，，
，解得：．
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键．
45．（2024 金东区二模）设二次函数，是常数）．
（1）若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示）
（2）若时，求二次函数的最大值．（用含的代数式表示）
（3）若时，如图，直线与此函数图象交于，两点，点不在二次函数图象上，线段，分别交二次函数图象于点，，且，，求点的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）把代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值；
（3）当时，二次函数的表达式为，联立方程组，求得点、坐标，设过点的直线表达式为，分别求出直线和与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点坐标为，根据得到点在直线运动，求出点与重合时的点坐标为，结合图象即可求得点的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1），
，
顶点坐标为；
（2）二次函数的对称轴为直线，
，，
当，即时，时，取最大值；
当，即时， 时，取最大值；
（3）当时，二次函数的表达式为，
联立方程组，
解得或，
，，
设过点的直线表达式为，
联立方程组，
得，
当直线与抛物线有且只有一个交点时，
根据一元二次方程根与系数关系得，
解得，
直线的函数表达式为；
同理可得当直线与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为，
联立方程组，
解得，
此时与重合，点坐标为；
，
点在直线运动，
当点与重合时，点和点、重合，即点在抛物线上，此时点坐标为，
，
由图可知，点的纵坐标的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．

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