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第21章 二次函数与反比例函数 章节核心知识练习
知识点合集
知识点1．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
知识点2．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
知识点3．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
知识点4．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
知识点6．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
知识点7．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
知识点8．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
知识点9．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
知识点10．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
知识点11．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点13．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
知识点15．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
知识点16．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
知识点17．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
知识点19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
试题练习
一．反比例函数的定义（共3小题）
1．（2021秋 淮北月考）当　1　时，函数是反比例函数．
【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令、即可．
【解答】解：根据题意，得
且，
解得且，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键．
2．（2023 无为市一模）已知函数是关于的反比例函数，则的值是　　．
【分析】根据反比例函数的定义：形如为常数，的函数称为反比例函数，即可求出的值．
【解答】解：函数是关于的反比例函数，
，，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式，注意，的次数为．
3．（2024春 包河区期末）把公式变形为用，，表示．下列变形正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】运用分式的基本性质和反比例函数的定义进行求解．
【解答】解：，
，
去括号，得，
移项并合并，得，
两边同时除以，得
，
故选：．
【点评】此题考查了分式的基本性质和反比例函数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
二．反比例函数的图象（共3小题）
4．（2024 安徽二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为　　
A． B．
C． D．
【分析】观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴位于轴的右侧，可得，，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解．
【解答】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴位于轴的右侧，
，
，
一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限．
故选：．
【点评】本题考查了通过函数图象判断二次函数的各项系数，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与系数的关系是关键．
5．（2024 萧县一模）已知一次函数的图象经过点，其中，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的图象经过点，得到，得到反比例函数的图象在第二、四象限，再分和两种情况讨论一次函数的图象，即可得出结论．
【解答】解：一次函数的图象经过点，
，
反比例函数的图象在第二、四象限；
当时，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限；
当时，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限；
观察四个选项，选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
6．已知函数和．
（1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当在什么范围时，？
【分析】（1）画图的步骤：列表，描点，连线．需注意函数的自变量取值范围是：全体实数；函数的自变量取值范围是：．
（2）交点都适合这两个函数解析式，应让这两个函数解析式组成方程组求解即可．
（3）从交点入手，看在交点的哪一边一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
【解答】解：（1）函数的自变量取值范围是：全体实数；函数的自变量取值范围是：．列表可得：
（2）联立解析式：，
解得：，．
两函数的交点坐标分别为；；
（3）由图象观察可得：当或时，．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象．无论是求自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考．
三．反比例函数的性质（共3小题）
7．（2023秋 宁国市期末）反比例函数的图象的一个分支在第象三象限，则的取值范围是 　　．
【分析】根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：反比例函数的图象的一个分支在第象三象限，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
8．（2023秋 霍邱县校级月考）若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数，解得的取值范围即可．
【解答】解：反比例函数的图象在一、三象限，
，
解得：．
结合选项可知，只有1符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上随的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上随的增大而增大．
9．设，是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为，，对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间，上的“闭函数”．
（1）反比例函数是闭区间，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间，上的“闭函数”，求此函数的解析式．
【分析】（1）根据反比例函数的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数、的方程组，通过解该方程组即可求得系数、的值．
【解答】解：（1）反比例函数是闭区间，上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数在第一象限，随的增大而减小，
当时，；
当时，，
所以，当时，有，符合闭函数的定义，故
反比例函数是闭区间，上的“闭函数”；
（2）时，一次函数的图象是随的增大而增大，
，
解得．
此函数的解析式是．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．
四．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）
10．（2022秋 金安区校级期中）如图，是坐标原点，点在函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为 　　．
【分析】过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得的面积为矩形面积的一半，即．
【解答】解：由于点在反比例函数的图象上，轴于点，
则，；
又由于函数的图象在第二、四象限，故，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为．
11．（2024 淮北校级二模）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是　　
A． B． C． D．
【分析】延长，交于点，已知，表示出各点坐标，根据的面积为20，列出方程，求出．
【解答】解：延长，交于点．
，点、点在反比例函数的图象上，
，，，，．
，，
的面积为20，的面积为，的面积为，
，
，
．
函数图象在第一象限，，负数舍去，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，图象点的坐标特征．关键是找到面积的等量关系．
12．（颍泉区校级月考）如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，，，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，，，过点作于点，过点作于点，记△的面积为，△的面积为，△的面积为．求：
（1）　　；
（2）　　；
（3）的和．
【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为点的坐标为，把，，代入反比例函数的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面积公式可得出、、的值，故可得出结论．
【解答】解：（1），
设，，，，
，，在反比例函数的图象上，
，，，
；
；
（2）；
（3）；
；
；
，
．
故答案为：，．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
13．（2024 霍邱县模拟）下列函数的图象与轴正半轴有交点的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数，二次函数和反比例函数的图象性质进行判断即可．
【解答】解：、当时，，与轴交点在负半轴上，不符合题意；
、由的图象与，轴无交点，不符合题意；
、当时，，与轴交点在负半轴上，不符合题意；
、当时，，与轴正半轴有交点，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数，二次函数和反比例函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
14．（2023秋 宿松县期中）已知：反比例函数的图象经过点，则　6　．
【分析】将点代入反比例函数解析式中即可求解．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
将点代入中得：，
解得：．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键．
15．（2023秋 瑶海区校级期中）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）点，，，均在反比例函数的图象上，若，直接写出，的大小关系．
【分析】（1）把点代入反比例函数解析式，即可求出的值；
（2）由反比例函数的性质可直接得出结论．
【解答】解：（1）由题意，将点，
代入，
得：，
解得；
（2）由（1）得：反比例函数的解析式为，
在每一象限内，随的增大而增大，
，，，均在反比例函数的图象上，且，
．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
16．（2022 庐阳区校级三模）如图，，点在反比例函数的图象上，过的反比例函数解析式为　　
A． B． C． D．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数系数的几何意义得出，那么，进而得出答案．
【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图．
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
，
故反比例函数解析式为：．
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求出是解题的关键．
17．（2024 无为市模拟）如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数图象经过点，且与边交于点．
（1）反比例函数的解析式为 　　；
（2）若，点的坐标为 　　．
【分析】解法（1）把点代入，即可得到答案；
（2）连接并延长交轴于，构造等腰，进而得到点的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，再解方程组即可得到点的坐标；
解法2：过作轴于，过作轴于，依据，即可设，，，进而得出，再根据反比例函数的图象经过点，即可得到的值，进而求得的坐标．
【解答】解：解法（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
故答案为：；
（2）如图，连接并延长交轴于，
由，可得，
，
，，
，
，
，即，
，
，
由，，可得的解析式为，
解方程组，可得，，
点的坐标为．
故答案为：；
解法2：如图，过作轴于，过作轴于，
点，
，，，
，，
，
可设，，，
，
，
，
，
反比例函数的图象经过点和点，
，
解得，
的坐标为．
故答案为．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
18．（2022秋 蜀山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线在轴上，若正方形的边长为，点在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值时，请直接写出自变量的取值范围；
（3）若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．
【分析】（1）求出点的坐标，即可求出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质求出即可；
（3）根据面积求出点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可．
【解答】解：（1）
过作轴于，则，
正方形的边长为，
，，
，
即，
所以反比例函数的解析式是；
（2）把代入得：，
所以当函数值时，自变量的取值范围是或；
（3）设点的纵坐标为，
正方形的边长为，
由勾股定理得：，
的面积恰好等于正方形的面积，
，
解得：，
即点的纵坐标是4或，
代入得：或，
即点的坐标是或．
【点评】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
19．（2024 瑶海区一模）已知点，为直线上一个动点，为直线与双曲线的交点，则满足的点的个数是　　
A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．0个
【分析】根据点在轴的上方和下方，分类讨论即可解决问题．
【解答】解：当点在轴的上方时，如图所示，
过点作直线的垂线，垂足为，
因为，
则．
因为轴，
所以△，
所以．
又因为，
所以，
则点的横坐标为4，
将代入得，
，
所以点的坐标为．
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，
所以点为的中点，
则点为的中点，
又因为点为的中点，
所以此情况不存在．
当点在轴下方时，如图所示，
因为，
显然点不符合题意．
若在点的位置，
因为，
所以点为的中点，
则点为的中点，
因为为中点，
所以此情况不存在．
综上所述，满足的点的个数为1个．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，根据点的位置进行分类讨论，并能画出示意图是解题的关键．
20．（2022 芜湖二模）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，，轴于点，轴于点．
（1）填空：　　，　　，　　；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）是线段上的一点，连接，，若，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）由于点在直线上；可设，利用两个三角形的面积相等列方程求出，进而确定点的坐标．
【解答】解：（1）一次函数与反比例函数图象交于点，，
，，
，，，
故答案为：，，；
（2）当时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）由（1）可知，一次函数．设点坐标为，
和的面积相等，
，
解得，
点坐标为，．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键．
21．（2024 瑶海区校级三模）如图，已知是反比例函数的图象上的一点，且点的纵坐标为1，作直线．
（1）若，则直线的函数解析式为 　　；
（2）将直线向上平移个单位长度后，交轴于点，交反比例函数的图象于点，且，则　　（用含的代数式表示）
【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可；
（2）平移后得到直线解析式，则，利用相似三角形得到，从而得到点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程整理可得结果．
【解答】解：（1）当时，反比例函数解析式为，
是反比例函数图象上的一点，且点的纵坐标为1，
，
设直线解析式为，将点代入解析式得：，解得，
直线的解析式为：；
故答案为：；
（2）将向上平移个单位长度后得到直线解析式为，
此时，
如图，作轴，轴，
，
，
，
，，
，，
点在反比例函数图象上，
，
整理得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足函数解析式是关键．
八．反比例函数的应用（共3小题）
22．（2024 亳州二模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为　　
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设，
图象过，
，
，
当电阻为时，电流为：（A）．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
23．（2024 瑶海区二模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积改变时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足关系式是常数，且，它的图象如图所示，当为时，的值为 　3　．
【分析】根据题意：装有一定质量的某种气体，且与在一定范围内满足，可得与成反比例关系．且过点；代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意得，且过点，
所以，
，
当为时，的值为．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．（2023秋 金安区校级月考）小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温与开机时间（分的函数关系式；
（2）求图中的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值；
（3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可．
【解答】解：（1）当时，设水温与开机时间（分的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
此函数解析式为：；
（2）当，设水温与开机时间（分的函数关系式为：，
依据题意，得：，
即，
故，
当时，，
解得：；
（3），
当时，，
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为．
【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
九．反比例函数综合题（共3小题）
25．（2022秋 蜀山区校级月考）直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先把反比例函数、一次函数解析式联合组成方程组，解可求、坐标，根据可求、的坐标，而轴，轴，结合、、、的坐标，可知，，在中利用勾股定理可求，同理可求，于是，①正确；
②根据、、、的坐标，易求，，即，斜率相等的两直线平行，那么，故②正确；
③由于，且，根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故③正确；
④根据面积公式可分别求，，可知两个面积相等，故④正确．
【解答】解：如图所示，
①与相交，
，
解得或，
点坐标是，点坐标是，，
直线与轴和轴的交点分别是，、，
点坐标是，，点坐标是，
轴，轴，
，，
在中，，
同理可求，
故，
故①选项正确；
②，，
，
故②选项正确；
③，且，
四边形是平行四边形，
故③选项正确；
④，
，
，
故④选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的性质、三角形面积公式、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是熟练点与函数的关系，能根据函数解析式求出所需要的点．
26．（2020 郎溪县校级自主招生）如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为　3　．
【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据相似三角形的性质求出和面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出，得到，求出的值．
【解答】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，
，，
则，
，
，
又，
，
，
，
点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
，
，即，
，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
27．（2022秋 金安区校级月考）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）解方程组得到，根据函数的图象即可得到结论；
（3）联立方程组可求点坐标，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，
，，
，；
（2），，
一次函数为，反比例函数解析式为，
解方程得，，，
，
不等式的解集为或；
（3）由（2）知点，
，
又，
，
点，
的面积．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积公式，求得、点的坐标是本题的关键．
一十．二次函数的定义（共3小题）
28．（2023秋 黄山期末）下列函数解析式中，是的二次函数的是　　
A． B．
C． D．
【分析】一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，由此即可判断．
【解答】解：、若，不是的二次函数，故不符合题意；
、是的一次函数，故不符合题意；
、是的二次函数，故符合题意；
、是分式，不是的二次函数．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义．
29．（2023秋 凤阳县校级月考）已知函数是二次函数，则　1　．
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．
30．（2023秋 杜集区校级月考）已知函数．
（1）若这个函数是关于的一次函数，求的值．
（2）若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的定义可得：且，然后进行计算即可解答；
（2）根据二次函数的定义可得：，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：且，
解得：且，
，
当时，这个函数是关于的一次函数；
（2）由题意得：，
解得：，
当，这个函数是关于的二次函数．
【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键．
一十一．二次函数的图象（共3小题）
31．（2022秋 怀远县期中）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是　　．
【分析】由图可知，二次函数图象经过坐标原点，然后代入函数解析式进行计算即可求出的值，再根据抛物线开口向下求出的取值范围，从而得解．
【解答】解：二次函数经过，
，
解得，，
抛物线开口向下，
，
解得，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象，观察图形得到抛物线经过坐标原点是解题的关键，要注意根据抛物线的开口方向确定出的取值范围，这也是本题容易出错的地方．
32．（2024 合肥模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
【解答】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
33．（2022秋 杜集区校级月考）已知二次函数．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当时的取值范围．
【分析】（1）利用列表，描点，连线作出图形即可；
（2）写出函数图象在轴下方的部分的的取值范围即可．
【解答】解：（1）列表：
0 1 2 3 4
0 0
描点、连线如图；
（2）由图象可知：当时的取值范围是．
【点评】本题考查了二次函数图象，注意：二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
一十二．二次函数的性质（共3小题）
34．（2024 阜阳二模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为　　
A． B． C．或 D．或
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值，解方程求出的值即可．
【解答】解：，
抛物线是常数）的顶点坐标为，
顶点到轴的距离为2，
，
即或，
解得或，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标．
35．（2024 鸠江区一模）二次函数的对称轴为直线 　　．
【分析】根据对称轴方程解答即可．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数性质的应用是解题的关键．
36．（2022 淮北一模）设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、、，若、，且两图象开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
（1）写出二次函数的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
【分析】（1）先求出的顶点坐标，然后根据同倍项二次函数的定义求出答案；
（2）先求出和的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件，，且开口方向相同求出的值．
【解答】解：（1），
，
二次函数的顶点坐标为，，
二次函数的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为，
同倍项二次函数的解析式为；
（2），
顶点坐标为，，
，
顶点坐标为，
是的“同倍项二次函数”，
，
解得：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“同倍项二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可．
一十三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）
37．（2023秋 合肥月考）抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
【分析】把代入中求出的值，从而得到抛物线解析式．
【解答】解：抛物线与轴的交点坐标为，
，
抛物线解析式为．
故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
38．（2023秋 包河区月考）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 　　．
【分析】设二次函数解析式为，代入点解答即可．
【解答】解：根据题意，设二次函数解析式为，
点在函数图象上，
，即，
二次函数解析式为，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
39．（2023秋 蚌埠期末）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．
【解答】解：（1）设函数解析式为，把顶点和点代入解析式，得：
，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．
一十四．抛物线与x轴的交点（共3小题）
40．（2023秋 庐江县期中）如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为 　　．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到，根据根与系数的关系得，然后求出另一根的值即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，即，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．掌握根与系数的关系和二次函数的性质是解题关键．
41．（2023秋 瑶海区校级月考）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是　　
A．3或5 B．3 C．4 D．5
【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．综上即可得出结论．
【解答】解：①当，即时，，
令，则，
解得，
此时函数的图象与轴只有一个交点，
②当时，
二次函数的图象与轴只有一个交点，
△，
解得．
综上所述，当图象与轴有且只有一个交点时，的值为3或5．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，分及两种情况考虑是解题的关键．
42．（2023秋 金寨县期末）已知抛物线．
（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△即可；
（2）根据题意，令，整理方程可得关于的方程，解可得的值．
【解答】（1）证明：令得：，
△
，
方程有两个不等的实数根，
原抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）解：令，根据题意有：，
解得或1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与轴的交点等．
一十五．图象法求一元二次方程的近似根（共3小题）
43．（2022秋 蚌山区期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是　　
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2．
故选：．
【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
44．（2021秋 瑶海区校级月考）小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到为 　1.4　．
【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
【解答】解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：，
另一个交点坐标为：，
则方程的另一个近似根为1.4，
故答案为：1.4．
【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．
45．（太和县校级月考）已知二次函数．
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
0 1 2
（2）结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
【分析】（1）根据函数解析式可完成表格，再根据表格中、的对应值可画函数图象；
（2）根据二次函数图象与轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：（1）填表如下：
0 1 2
2 3 2
所画图象如图：
（2）由图象可知，方程的两个近似根是之间和之间．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解．
一十六．二次函数与不等式（组）（共3小题）
46．（2023秋 合肥期末）若不等式的解集为或，则的值为　　
A． B． C．1 D．3
【分析】根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，即抛物线与直线的交点为，，整理后即可求出的值．
【解答】解：不等式的解集为或，
或是关于的方程的解，
抛物线与直线的交点为，，
，
的值为，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
47．（2023 瑶海区一模）在同一平面直角坐标系中，已知函数，，函数的图象经过的顶点．请完成下列探究：
（1）函数的对称轴为 　直线　；
（2）若，当时，自变量的取值范围是 　　．
【分析】（1）将函数的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数的解析式中，即可得出、的关系，再根据，整理变形后即可得出，进而即可求得函数的对称轴为直线．；
（2）由①中的结论，用表示出，两函数解析式作差，即可得出，根据，即可得到或，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1），
函数的顶点为，，
函数的图象经过的顶点，
，即，
，
，
函数的对称轴为直线．
故答案为：直线；
②，
，，
当时，则．
，
或，
解得或．
若，当时，自变量的取值范围是或．
故答案为：或．
方法二：
解：根据题意画出函数的图象如图：
函数经过原点，且对称轴为直线．
抛物线与轴的另一个交点为，
函数的图象与的交于轴上一点，
若，当时，自变量的取值范围是或．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）函数的顶点坐标代入中，找出、间的关系；②分或两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，利用配方法找出函数的顶点坐标，再代入中找出、间的关系是关键．
48．（2023秋 包河区校级月考）如图，抛物线与轴交于和两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的纵坐标为5，请直接写出当时，的取值范围是 　或　．
【分析】（1）先设抛物线的交点式，再列方程求解；
（2）先求出的坐标，再根据图象求解．
【解答】解：（1）由题意设抛物线的解析式为：，
，
，，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，解得：或，
在第一象限，
，
由图象得：当或时，，
故答案为：或．
【点评】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
一十七．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）
49．（2023秋 定远县期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式是　　
A． B． C． D．
【分析】利用剩余部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可找出关于的函数解析式．
【解答】解：根据题意得：，
关于的函数解析式是．
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键．
50．（2023秋 合肥月考）现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 　　（不用写出自变量的取值范围）．
【分析】根据各边之间的关系，可得出窗户位于上方的矩形的长为，利用窗户的总面积窗户位于上方的矩形的面积，即可找出与之间的函数关系式．
【解答】解：该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为，
窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为，
根据题意得：，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了根据时间问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．
51．（2023秋 合肥月考）学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加 ，设增加的面积是 ．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加，长与宽都要增加多少米？
【分析】（1）根据题意可以得到与之间的函数关系式；
（2）将代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
化简，得
，
即与之间的函数关系式是：；
（2）将代入，得
，
解得，（舍去），，
即若要使绿地面积增加，长与宽都要增加2米．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
一十八．二次函数的应用（共3小题）
52．（2023秋 天长市月考）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为　　
A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒
【分析】在中，令解出的值即可得到答案．
【解答】解：在中，令得：
，
解得（舍去）或，
当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征．
53．（2023秋 肥西县期末）烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间间的关系是．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为　5　
【分析】将关于的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．
【解答】解：，
当时，礼炮升到最高点．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．
54．（2023 合肥三模）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是 　　，花卉的种植面积是 　　，花卉的种植面积是 　　．
（2）育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值．
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据，两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和百元，得到关于的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【解答】解：（1）育苗区的边长为，活动区的边长为，
花卉的面积为：，
花卉的面积为：，
花卉的面积为：，
故答案为：；；；
（2），花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
，两种花卉的总产值分别为百元和百元，
，两种花卉的总产值相等，
，
，
解方程得（舍去）或，
当育苗区的边长为时，，两种花卉的总产值相等；
（3）花卉与的种植面积之和为：，
，
，
设，，三种花卉的总产值之和百元，
，
，
，
当时，随的增加而减小，
当时，最大，且（百元），
故，，三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
一十九．二次函数综合题（共3小题）
55．（2021秋 金安区校级月考）如图，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为　　
A． B． C． D．
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形，必须满足，即可求出．
【解答】解：令，得：．
．
令，得：，
，
，，，，
，．
要使平行四边形是矩形，必须满足，
．
，
．
，应满足关系式．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
56．（2024 安徽模拟）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．
（1）当是等腰直角三角形时，点的坐标为 　　；
（2）当是直角三角形时，的值为 　　．
【分析】（1）设函数的对称轴与轴的交点为，根据题意可得，由此求点坐标即可；
（2）先证明，可得，求出的值，再用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】解：（1），，
，，
，
设函数的对称轴与轴的交点为，
是等腰直角三角形，
，
点坐标为，
故答案为：；
（2），，
，
，
，
，
，
点在轴的负半轴上，
，
将点，代入中，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
57．（2024 阜阳二模）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标；
（ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线和点，得点．由点，，得点．再运用待定系数法即可求得答案；
（2）（ⅰ）由点，，得直线的解析式，过点作轴交于点．设点，则点，得关于的方程，解出即可；
（ⅱ）由抛物线求出顶点的坐标为．由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．设直线交于点，设点．由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得关于的方程，解出即可．
【解答】解：（1）由抛物线的对称轴为直线和点，得点，
由点，，得点，
由抛物线经过点，，得，
把点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）（ⅰ）由点，，得直线的解析式为，
如图2，过点作轴交于点，
设点，则点，
，
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去）或，
则，
点的坐标为；
（ⅱ）由抛物线知，顶点的坐标为，
由（ⅰ）知直线的解析式为，则点，
如图3，设直线交于点，设点，
由直线经过点，
设直线的解析式为，
把点代入，
得，
解得（舍去）或，
即，
直线的解析式为，
当时，，即，
，
即的最大值为3．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，三角形的面积问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 二次函数与反比例函数 章节核心知识练习
知识点合集
知识点1．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
知识点2．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
知识点3．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
知识点4．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
知识点6．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
知识点7．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
知识点8．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
知识点9．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
知识点10．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
知识点11．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
知识点13．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
知识点15．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
知识点16．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
知识点17．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
知识点19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
试题练习
一．反比例函数的定义（共3小题）
1．（2021秋 淮北月考）当　　时，函数是反比例函数．
2．（2023 无为市一模）已知函数是关于的反比例函数，则的值是　　．
3．（2024春 包河区期末）把公式变形为用，，表示．下列变形正确的是　　
A． B． C． D．
二．反比例函数的图象（共3小题）
4．（2024 安徽二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为　　
A． B．
C． D．
5．（2024 萧县一模）已知一次函数的图象经过点，其中，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
6．已知函数和．
（1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当在什么范围时，？
三．反比例函数的性质（共3小题）
7．（2023秋 宁国市期末）反比例函数的图象的一个分支在第象三象限，则的取值范围是 　　．
8．（2023秋 霍邱县校级月考）若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设，是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为，，对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间，上的“闭函数”．
（1）反比例函数是闭区间，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间，上的“闭函数”，求此函数的解析式．
四．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）
10．（2022秋 金安区校级期中）如图，是坐标原点，点在函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为 　　．
11．（2024 淮北校级二模）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是　　
A． B． C． D．
12．（颍泉区校级月考）如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，，，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，，，过点作于点，过点作于点，记△的面积为，△的面积为，△的面积为．求：
（1）　　；
（2）　　；
（3）的和．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
13．（2024 霍邱县模拟）下列函数的图象与轴正半轴有交点的是　　
A． B． C． D．
14．（2023秋 宿松县期中）已知：反比例函数的图象经过点，则　　．
15．（2023秋 瑶海区校级期中）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）点，，，均在反比例函数的图象上，若，直接写出，的大小关系．
六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
16．（2022 庐阳区校级三模）如图，，点在反比例函数的图象上，过的反比例函数解析式为　　
A． B． C． D．
17．（2024 无为市模拟）如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数图象经过点，且与边交于点．
（1）反比例函数的解析式为 　　；
（2）若，点的坐标为 　　．
18．（2022秋 蜀山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线在轴上，若正方形的边长为，点在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值时，请直接写出自变量的取值范围；
（3）若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
19．（2024 瑶海区一模）已知点，为直线上一个动点，为直线与双曲线的交点，则满足的点的个数是　　
A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．0个
20．（2022 芜湖二模）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，，轴于点，轴于点．
（1）填空：　　，　　，　　；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）是线段上的一点，连接，，若，求点的坐标．
21．（2024 瑶海区校级三模）如图，已知是反比例函数的图象上的一点，且点的纵坐标为1，作直线．
（1）若，则直线的函数解析式为 　　；
（2）将直线向上平移个单位长度后，交轴于点，交反比例函数的图象于点，且，则　　（用含的代数式表示）
八．反比例函数的应用（共3小题）
22．（2024 亳州二模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为　　
A． B． C． D．
23．（2024 瑶海区二模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积改变时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足关系式是常数，且，它的图象如图所示，当为时，的值为 　　．
24．（2023秋 金安区校级月考）小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温与开机时间（分的函数关系式；
（2）求图中的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少？
九．反比例函数综合题（共3小题）
25．（2022秋 蜀山区校级月考）直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2020 郎溪县校级自主招生）如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为　　．
27．（2022秋 金安区校级月考）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积．
一十．二次函数的定义（共3小题）
28．（2023秋 黄山期末）下列函数解析式中，是的二次函数的是　　
A． B．
C． D．
29．（2023秋 凤阳县校级月考）已知函数是二次函数，则　　．
30．（2023秋 杜集区校级月考）已知函数．
（1）若这个函数是关于的一次函数，求的值．
（2）若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围．
一十一．二次函数的图象（共3小题）
31．（2022秋 怀远县期中）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是　　．
32．（2024 合肥模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
33．（2022秋 杜集区校级月考）已知二次函数．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当时的取值范围．
一十二．二次函数的性质（共3小题）
34．（2024 阜阳二模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为　　
A． B． C．或 D．或
35．（2024 鸠江区一模）二次函数的对称轴为直线 　　．
36．（2022 淮北一模）设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、、，若、，且两图象开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
（1）写出二次函数的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
一十三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）
37．（2023秋 合肥月考）抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
38．（2023秋 包河区月考）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 　　．
39．（2023秋 蚌埠期末）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
一十四．抛物线与x轴的交点（共3小题）
40．（2023秋 庐江县期中）如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为 　　．
41．（2023秋 瑶海区校级月考）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是　　
A．3或5 B．3 C．4 D．5
42．（2023秋 金寨县期末）已知抛物线．
（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
一十五．图象法求一元二次方程的近似根（共3小题）
43．（2022秋 蚌山区期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是　　
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
44．（2021秋 瑶海区校级月考）小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到为 　　．
45．（太和县校级月考）已知二次函数．
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
0 1 2
（2）结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
一十六．二次函数与不等式（组）（共3小题）
46．（2023秋 合肥期末）若不等式的解集为或，则的值为　　
A． B． C．1 D．3
47．（2023 瑶海区一模）在同一平面直角坐标系中，已知函数，，函数的图象经过的顶点．请完成下列探究：
（1）函数的对称轴为 　　；
（2）若，当时，自变量的取值范围是 　　．
48．（2023秋 包河区校级月考）如图，抛物线与轴交于和两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的纵坐标为5，请直接写出当时，的取值范围是 　　．
一十七．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）
49．（2023秋 定远县期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式是　　
A． B． C． D．
50．（2023秋 合肥月考）现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 　　（不用写出自变量的取值范围）．
51．（2023秋 合肥月考）学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加 ，设增加的面积是 ．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加，长与宽都要增加多少米？
一十八．二次函数的应用（共3小题）
52．（2023秋 天长市月考）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为　　
A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒
53．（2023秋 肥西县期末）烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间间的关系是．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为　　
54．（2023 合肥三模）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是 　　，花卉的种植面积是 　　，花卉的种植面积是 　　．
（2）育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值．
一十九．二次函数综合题（共3小题）
55．（2021秋 金安区校级月考）如图，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为　　
A． B． C． D．
56．（2024 安徽模拟）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．
（1）当是等腰直角三角形时，点的坐标为 　　；
（2）当是直角三角形时，的值为 　　．
57．（2024 阜阳二模）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标；
（ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值．

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