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昭通一中教研联盟2023~2024学年下学期高一年级期末质量检测
数学（B卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，栲试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数，则（ ）
A. B. C.2 D.5
2.如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.化简所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.若向量满足，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.在平行四边形中，相交于点，点在线段，上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7.一个圆台的上 下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论：
①；
②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法中不正确的是（ ）
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C.棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
10.下列命题正确的是（ ）
A.复数的共轭复数是
B.复数是纯虚数，则
C.复数所对应的点在第二象限，则
D.已知，则
11.已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A.若为非零向量，且，则
B.若四边形为平行四边形，则它的面积等于
C.已知点为坐标原点，则
D.若，则的最小值为
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.
13.已知复数（为虚数单位，则的虚部为__________.
14.如图，在正四棱台中，.若该四棱台的体积为，则该四棱台的高为__________；外接球的表面积为__________.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知.
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
17.（本小题满分15分）
在中，角所对的边分别为.满足.
（1）求角的大小；
（2）设.
（i）求的值；
（ii）求的值.
18.（本小题满分17分）
如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，点为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
已知的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
昭通一中教研联盟2023~2024学年下学期高一年级期末质量检测
数学（B卷）参考答案
第I卷（选择题，共58分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A B B B D
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABC BCD BCD
第II卷（非选择题，共92分）
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 ，
【解析】
12.由弧长公式可得，所以扇形面积为，故答案为：.
13.，所以，则的虚部为，故答案为：.
14.如图，连接交于点，连接交于点，连接，则底面平面，
.过作于点，则
底面该正四棱台的体积.连接
四棱台外接球的球心在的延长线上，设，则，，由，得，解得，故，即外接球的半径外接球表面积为.故答案为：，.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）由题意得
故.
（2）因为，
所以.
又为第三象限角，
所以，
所以.
16.（本小题满分15分）
（1）证明：平面平面，平面平面于，且，
.
平面，
又.
又，
平面.
（2）解：由（1）得，
又，
.
.
又平面平面，平面平面于，
点到平面的距离即为点到直线的距离，
故点到平面的距离为，则，设点到平面的距离为，
，
即，
解得：，即点到平面的距离为.
17.（本小题满分15分）
解：（1）由，
根据正弦定理得，，
可得，
因为，故，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，
（i）则，
即，解得（舍），，
故；
（ii）由，
得，
解得，
则，
则.
18.（本小题满分17分）
（1）证明：设和交于点，连接，如图，
由于分别是的中点，故，
平面平面，所以直线平面.
（2）解：在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
平面平面，
平面.
平面，异面直线与所成的角为.
（3）解：连接，
因为是中点，所以，
因为平面平面，所以，
为二面角的平面角，
，
由余弦定理可知，
二面角的余弦值为.
19.（本小题满分17分）
解：（1）由图可得，解得.
又，解得.
因为的图象经过，
所以，解得.
故.
（2）当时，，
由，及得
，
所以的单调递减区间是.
（3）当时，，
令，解得；
令，解得；
令，解得，
所以在上单调递增，函数值由增加到3；在上单调递
减，函数值由3减小到-3；在上单调递增，函数值由-3增加到，
函数在上有两个零点，与在
上有两个交点，即，
实数的取值范围为.

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