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第1讲　静电场中能的性质
一、电势能和电势(必修三第十章第1节)
1.静电力做功
2.电势能
3.电势
4.等势面
5.静电力做功与电势能变化的关系
　　　　　类比重力做功
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量,即WAB=-。静电力对电荷做多少正功,电荷电势能就减少多少;电荷克服静电力做多少功,电荷电势能就增加多少。
(2)电势能的大小:由WAB=-可知,若令=0,则=WAB,即一个电荷在电场中某点具有的电势能,数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
二、电势差(必修三第十章第 2 、3节)
1.电势差
2.静电力做功与电势差的关系
(1)公式:
(2)静电力做功的计算式:
WAB=EpA-EpB=qφA-qφB=q(φA-φB)=qUAB
变形可得电势差的计算式:UAB=
这两式适用于任何电场。
(3)说明
①公式WAB=qUAB适用于任何电场,应用时式中各量需代入符号进行运算。
②电势差的值与零电势点的选取无关。
3.电势差与电场强度的关系
(1)规律:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
(2)公式:
4.电场强度的另一种表述
(1)公式:E=
　　　　只适用于匀强电场
(2)意义:电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
(3)单位:V/m,且1 V/m=1 N/C。
【质疑辨析】
　角度1 电势
(1)电场力做功与重力做功相似,均与路径无关。 (　√　)
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 (　×　)
(3)电场中电势降落最快的方向,就是电场强度的方向。 (　√　)
　角度2 电势差
(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A移到B点时静电力所做的功。 (　×　)
(5)等差等势线越密的地方,电场线越密,电场强度越大。 (　√　)
　角度3 电势差与电场强度的关系
(6)UAB=Ed只适用于匀强电场。 (　√　)
(7)UAB=Ed中的d指匀强电场中A和B两点间的距离。 (　×　)
【精研考点·提升关键能力】学生用书P141
考点一　电场力做功、电势能和电势　(核心共研)
【核心要点】
1.电场力做功
2.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep=qφ,正电荷Ep的绝对值越大,电势能越大;负电荷Ep的绝对值越大,电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 电场力做正功,电势能减小;电场力做负功,电势能增加
能量 守恒法 在电场中,若只有电场力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,动能增加,电势能减小,反之,动能减小,电势能增加
3.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场 线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电 荷的正负 取无穷远处电势为零,正电荷周围电势为正值,负电荷周围电势为负值,靠近正电荷处电势高,靠近负电荷处电势低
电场 力做功 根据UAB=,将WAB、q的正负号代入,由UAB的正负判断φA、φB的高低
【典例剖析】
角度1 电势高低的判断及静电力做功大小的计算
[典例1]如图所示,虚线表示某电场中的三个等势面,a、a'、b、b'、c、c'为分布在等势面上的点。一带电粒子从a点运动到c点的过程中静电力做功为Wac,从a'点运动到c'点的过程中静电力做功为Wa'c'。下列说法正确的是 (　　)
A.c点的电场方向一定指向b点
B.a'点电势一定比c'点电势高
C.带电粒子从c点运动到c'点,静电力做功为0
D.|Wac|<|Wa'c'|
角度2 电势高低及电势能大小的判断
[典例2](多选)(2023·福州模拟)生活在尼罗河的一种鱼(反天刀),它的器官能在其周围产生电场,电场线分布如图所示,M、N、P为电场中的点。下列说法正确的是 (　　)
A.P点电场强度小于M点电场强度
B.P点电势小于N点电势
C.M点电势小于N点电势
D.某带电小颗粒只在电场力作用下从N点沿虚线轨迹运动到M点,其在N点的电势能小于在M点的电势能
考点二　电势差与电场强度的关系　(核心共研)
【核心要点】
1.由E=可推出的两个重要推论
推论1　匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=,如图甲所示。
推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD),如图乙所示。
2.E=在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小:等差等势面越密,电场强度越大。
(2)判断电势差的大小及电势的高低:距离相等的两点间的电势差,E越大,U越大,进而判断电势的高低。
(3)利用φ -x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律:k===Ex,斜率的绝对值表示电场强度的大小,正负表示电场强度的方向。
【典例剖析】
角度1 匀强电场中E=的定量分析
[典例3](2023·哈尔滨模拟)如图,在匀强电场中有一虚线圆,ab和cd是圆的两条直径,其中ab与电场方向的夹角为60°,ab=0.2 m,cd与电场方向平行,a、b两点间的电势差Uab=20 V。则 (　　)
A.电场强度的大小E=100 V/m
B.b点的电势比d点的低5 V
C.将电子从c点移到d点,静电力做正功
D.电子在a点的电势能大于在c点的电势能
角度2 由匀强电场的电势确定电场强度
[典例4](多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c、d四点的位置如图所示,cd、cb分别垂直于x轴、y轴,其中a、b、c三点电势分别为4 V、8 V、10 V,一电荷量为q=-2×10-5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动,则下列判断正确的是 (　　)
A.坐标原点O的电势为6 V
B.电场强度的大小为 V/m
C.该点电荷在c点的电势能为2×10-5 J
D.该点电荷从a点移到d点的过程中,电场力做功为8×10-5 J
【备选例题】
　　(2023·宝鸡模拟)如图所示,在坐标系xOy平面内有一个匀强电场,电场强度方向平行于xOy平面。以坐标原点O为圆心,半径为R=2 cm的圆与坐标轴相交于M、N、P、Q四点。现测得P点的电势为3 V,Q点的电势为-3 V,M点的电势为4 V,则下列说法正确的是 (　　)
A.电场强度方向沿y轴负方向
B.N点的电势为-3 V
C.匀强电场的电场强度大小为250 V/m
D.圆周上两点间的最大电势差为8 V
【加固训练】
　　如图所示为电子束焊接机,图中带箭头的虚线代表电场线,B、C是电场中两点。K为阴极,A为阳极,两极之间的距离为d,在两极之间加上高压U,有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力,元电荷为e,则下列说法正确的是 (　　)
A.A、K之间的电场强度均为
B.B点电势大于C点电势
C.B点电场强度大于C点电场强度
D.电子由K到A的电势能减少了eU
考点三　电场线、等势面及运动轨迹问题　(核心共研)
【核心要点】
四种典型电场的等势线(面)
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场 在两电荷连线上,中点电势最低,在中垂线上,中点电势最高
【典例剖析】
角度1 对等势面的理解
[典例5](多选)(2022·重庆选择考)如图为两点电荷Q、Q'的电场等势面分布示意图,Q、Q'位于x轴上,相邻等势面的电势差为3 V。若x轴上的M点和N点位于0 V等势面上,P为某等势面上一点,则 (　　)
A.N点的电场强度大小比M点的大
B.Q为正电荷
C.M点的电场方向沿x轴负方向
D.P点与M点的电势差为12 V
角度2 电场线、等势面和运动轨迹
[典例6](2023·鞍山模拟)如图所示,虚线a、b、c、d、e代表电场中的五个相邻等势面,相邻等势面之间的电势差相等,实线为一带正电的试探电荷仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹,M、N是这条轨迹上的两点,则 (　　)
A.M点的电势高于N点
B.M点的电场强度比N点的大
C.该试探电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D.该试探电荷在M点的动能大于在N点的动能
【备选例题】
　　如图所示,实线为方向未知的三条电场线,虚线1、2、3分别为三条等势线,三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点,已知MN=NQ,电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出,仅在静电力作用下,两粒子的运动轨迹如图中虚线a'、b'所示,则 (　　)
A.a粒子一定带正电,b粒子一定带负电
B.M、N两点电势差大小|UMN|等于N、Q两点电势差大小|UNQ|
C.a粒子的加速度逐渐增大,b粒子的加速度逐渐减小
D.a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
答案及解析
考点一　电场力做功、电势能和电势　
【典例剖析】
角度1 电势高低的判断及静电力做功大小的计算
[典例1]如图所示,虚线表示某电场中的三个等势面,a、a'、b、b'、c、c'为分布在等势面上的点。一带电粒子从a点运动到c点的过程中静电力做功为Wac,从a'点运动到c'点的过程中静电力做功为Wa'c'。下列说法正确的是 (　　)
A.c点的电场方向一定指向b点
B.a'点电势一定比c'点电势高
C.带电粒子从c点运动到c'点,静电力做功为0
D.|Wac|<|Wa'c'|
【解析】选C。带电粒子的电性和静电力做功的正负均未知,所以各等势面的电势高低无法判断,电场线的方向无法判断,故A、B错误;因为c和c'在同一个等势面上,电势差U=0,根据静电力做功W=qU可知静电力对带电粒子做功为0,故C正确;根据题意可得a、c两点之间的电势差与a'、c'两点之间的电势差相等,根据静电力做功W=qU可知|Wac|=|Wa'c'|,故D错误。
角度2 电势高低及电势能大小的判断
[典例2](多选)(2023·福州模拟)生活在尼罗河的一种鱼(反天刀),它的器官能在其周围产生电场,电场线分布如图所示,M、N、P为电场中的点。下列说法正确的是 (　　)
A.P点电场强度小于M点电场强度
B.P点电势小于N点电势
C.M点电势小于N点电势
D.某带电小颗粒只在电场力作用下从N点沿虚线轨迹运动到M点,其在N点的电势能小于在M点的电势能
【解析】选A、C。电场线的疏密程度表示电场强度的大小,显然P点的电场强度小于M点的电场强度,A正确;沿电场线的方向电势逐渐降低,则P点的电势比N点的电势高,N点的电势比M点的电势高,B错误,C正确;带电小颗粒仅在电场力的作用下由N点沿虚线运动到M点,电场力方向指向虚线轨迹的凹侧,故小颗粒带正电,电场力对小颗粒做正功,小颗粒的电势能一定减小,即小颗粒在N点的电势能大于在M点的电势能,D错误。
[一题多解]反天刀周围的电场可等效为等量异种点电荷形成的电场,则其周围的电场线与等势线如图所示,可判断出φP>φN>φM。
考点二　电势差与电场强度的关系
【典例剖析】
角度1 匀强电场中E=的定量分析
[典例3](2023·哈尔滨模拟)如图,在匀强电场中有一虚线圆,ab和cd是圆的两条直径,其中ab与电场方向的夹角为60°,ab=0.2 m,cd与电场方向平行,a、b两点间的电势差Uab=20 V。则 (　　)
A.电场强度的大小E=100 V/m
B.b点的电势比d点的低5 V
C.将电子从c点移到d点,静电力做正功
D.电子在a点的电势能大于在c点的电势能
【解析】选D。a、b两点间的电势差Uab=20 V,则电场强度的大小为E==200 V/m,A错误;b、d两点间的电势差为Ubd=200×cos60° V=10 V=φb-φd,b点的电势比d点的高10 V,B错误;电子带负电,电场强度水平向右,电子受到的静电力方向水平向左,则将电子从c点移到d点,静电力做负功,C错误;由于沿电场线方向电势降低,则有φa<φc,电子带负电,则有Epa=-eφa>-eφc=Epc,即电子在a点的电势能大于在c点的电势能,D正确。
角度2 由匀强电场的电势确定电场强度
[典例4](多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c、d四点的位置如图所示,cd、cb分别垂直于x轴、y轴,其中a、b、c三点电势分别为4 V、8 V、10 V,一电荷量为q=-2×10-5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动,则下列判断正确的是 (　　)
A.坐标原点O的电势为6 V
B.电场强度的大小为 V/m
C.该点电荷在c点的电势能为2×10-5 J
D.该点电荷从a点移到d点的过程中,电场力做功为8×10-5 J
【解析】选A、D。由于是匀强电场,所以沿同一方向前进相同距离降低的电势相等,所以φb-φc=φa-φO,代入数据解得φO=6 V,故A正确;同理,ab的中点e的电势为φe=6 V,连接Oe则为等势线,如图所示,由几何关系可知,ab垂直于Oe,则ab为电场线,且方向由b指向a,电场强度E== V/m=100 V/m,故B错误;该点电荷在c点的电势能Epc=qφc=-2×10-4 J,故C错误;连接bd,由几何关系知bd∥Oe,即bd为等势线,φd=φb=8 V,该点电荷从a点移动到d点电场力做功Wad=qUad=(-2×10-5)×(4-8) J=8×10-5 J,故D正确。
　【方法技巧】 由匀强电场的电势分布确定电场强度
等 分 法 匀强电场中同一条直线上的线段两端点间电势差正比于线段长度。三步法确定电场强度: ①确定等势线; ②画等势线的垂线,确定电场强度方向; ③根据E=确定电场强度大小
平 行 结 论 法 匀强电场中若两线段(非等势线线段)平行,则这两线段各自的端点间电势差正比于线段长度。题中出现平行线时可用此方法
正 交 分 解 法 匀强电场中,利用E=,分别求出两垂直方向的电场强度,再求出各电场强度
【备选例题】
　　(2023·宝鸡模拟)如图所示,在坐标系xOy平面内有一个匀强电场,电场强度方向平行于xOy平面。以坐标原点O为圆心,半径为R=2 cm的圆与坐标轴相交于M、N、P、Q四点。现测得P点的电势为3 V,Q点的电势为-3 V,M点的电势为4 V,则下列说法正确的是 (　　)
A.电场强度方向沿y轴负方向
B.N点的电势为-3 V
C.匀强电场的电场强度大小为250 V/m
D.圆周上两点间的最大电势差为8 V
【解析】选C。由题意可知O点的电势为零,则电场强度在+x方向的分量为Ex= V/m=200 V/m,沿-y方向的分量为Ey= V/m=150 V/m,则电场强度大小E==250 V/m,方向与x轴正方向夹角为tanθ==0.75,则θ=37°,选项A错误,C正确; 因为φM-φO=φO-φN,可得φN=-4 V,选项B错误;圆周上两点间的最大电势差为U=E·2R=10 V,选项D错误。
【加固训练】
　　如图所示为电子束焊接机,图中带箭头的虚线代表电场线,B、C是电场中两点。K为阴极,A为阳极,两极之间的距离为d,在两极之间加上高压U,有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力,元电荷为e,则下列说法正确的是 (　　)
A.A、K之间的电场强度均为
B.B点电势大于C点电势
C.B点电场强度大于C点电场强度
D.电子由K到A的电势能减少了eU
【解析】选D。A、K之间建立的是非匀强电场,公式U=Ed不适用,因此A、K之间的电场强度不等于,故A错误;B、C所在等势面为和电场线垂直的圆弧,如图所示,根据沿电场线方向电势降低,可知C点电势大于B点电势,故B错误;电场线的疏密程度表示电场强度的大小,由题图可知C点处的电场线比B点处的密,则C点的电场强度比B点的大,故C错误;电子由K到A,电场力做正功,电势能减少,由W=-ΔEp=eU知D正确。
考点三　电场线、等势面及运动轨迹问题
【典例剖析】
角度1 对等势面的理解
[典例5](多选)(2022·重庆选择考)如图为两点电荷Q、Q'的电场等势面分布示意图,Q、Q'位于x轴上,相邻等势面的电势差为3 V。若x轴上的M点和N点位于0 V等势面上,P为某等势面上一点,则 (　　)
A.N点的电场强度大小比M点的大
B.Q为正电荷
C.M点的电场方向沿x轴负方向
D.P点与M点的电势差为12 V
【解析】选A、D。等差等势面的疏密程度体现电场强度的大小,由题图可知N点的等差等势面比M点更密,则N点的电场强度大小比M点的大,故A正确;沿着电场线电势逐渐降低,由题图可知电场线由N指向Q,则Q为负电荷,故B错误;沿着电场线方向电势逐渐降低,结合各等势面的电势高低关系可知M点的电场方向沿x轴正方向,故C错误;M点与N点电势均为0 V,P点与N点的等势面有四个间隔,而相邻等势面的电势差为3 V,则P点与M点的电势差为12 V,故D正确。
角度2 电场线、等势面和运动轨迹
[典例6](2023·鞍山模拟)如图所示,虚线a、b、c、d、e代表电场中的五个相邻等势面,相邻等势面之间的电势差相等,实线为一带正电的试探电荷仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹,M、N是这条轨迹上的两点,则 (　　)
A.M点的电势高于N点
B.M点的电场强度比N点的大
C.该试探电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D.该试探电荷在M点的动能大于在N点的动能
【解析】选D。由于电场线垂直等势面,试探电荷所受静电力沿电场线切线方向且指向轨迹的凹侧,试探电荷带正电,因此可以判断电场线的分布情况,如图所示,所以M点的电势低于N点电势,故A错误;等差等势面的疏密表示电场强弱,所以M点的电场强度小于N点电场强度,故B错误;由电势能与电势的关系Ep=qφ可知,带正电的粒子在电势越高的位置,电势能越大,所以该试探电荷在M点的电势能小于在N点的电势能,又由能量守恒定律可知,试探电荷在M点的动能大于在N点的动能,故C错误,D正确。
【方法技巧】 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1.判断速度方向:带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便。
2.判断静电力的方向:从轨迹的弯曲方向判断受力方向,从而分析电场线的方向或电荷的正负。
若已知电场线和轨迹,所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线。
若已知等势线和轨迹,所受静电力的方向与等势线垂直。
3.判断静电力做功的正负及电势能的增减:若静电力方向与速度方向成锐角,则静电力做正功,电势能减少;若静电力方向与速度方向成钝角,则静电力做负功,电势能增加。
【备选例题】
　　如图所示,实线为方向未知的三条电场线,虚线1、2、3分别为三条等势线,三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点,已知MN=NQ,电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出,仅在静电力作用下,两粒子的运动轨迹如图中虚线a'、b'所示,则 (　　)
A.a粒子一定带正电,b粒子一定带负电
B.M、N两点电势差大小|UMN|等于N、Q两点电势差大小|UNQ|
C.a粒子的加速度逐渐增大,b粒子的加速度逐渐减小
D.a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
【解析】选D。由题图可知,a粒子的轨迹方向向右弯曲,a粒子所受静电力方向向右,b粒子的轨迹向左弯曲,b粒子所受静电力方向向左,由于电场线方向未知,无法判断粒子的电性,故A错误;由题图可知,a所受静电力逐渐减小,加速度逐渐减小,b所受静电力逐渐增大,加速度增大,故C错误;已知MN=NQ,由于MN段电场强度大于NQ段电场强度,所以M、N两点电势差大小|UMN|大于N、Q两点电势差大小|UNQ|,故B错误;根据静电力做功公式W=Uq,|UMN|>|UNQ|,a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功,所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小,故D正确。

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