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第3讲　带电粒子在复合场中的运动
一、复合场(选二第一章第3节)
1.叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
2.组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
二、带电粒子在组合场、叠加场中的运动形式(选二第一章第3节)
运动形式 运动分析
静止或匀速直线运动 ①受力特点:带电粒子所受合外力为零。 ②运动状态:处于静止状态或做匀速直线运动
匀速圆周运动 ①受力特点:除洛伦兹力外,带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反。 ②运动状态:在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 ①受力特点:带电粒子所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上。 ②运动状态:粒子做非匀变速曲线运动,运动轨迹不是圆弧,也不是抛物线
分阶段运动 ①受力特点:带电粒子依次通过几个不同的复合场区域,应分区域进行受力分析。 ②运动状态:由不同的运动阶段组成
【质疑辨析】
角度1 组合场、叠加场中的受力
(1)带电粒子在重力、电场力、洛伦兹力三力作用下做匀速圆周运动,必有mg=Eq,洛伦兹力提供向心力。(　√　)
(2)带电粒子在重力、电场力(恒力)、洛伦兹力三个力作用下可以做变速直线运动。(　×　)
(3)带电粒子在组合场、叠加场中运动时,要关注是否需要考虑重力作用。(　√　)
(4)带电粒子在匀强电场、匀强磁场组成的叠加场中运动时,加速度恒定不变。(　×　)
角度2 组合场、叠加场中的能量变化
(5)带电粒子在叠加场中运动,洛伦兹力可能做功,可能不做功。(　×　)
(6)带电粒子在叠加场中运动时,机械能不一定守恒,能量一定守恒。(　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　带电粒子在组合场中的运动　(核心共研)
【核心要点】
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,电场、磁场交替出现。
2.“磁偏转”和“电偏转”的比较
【典例剖析】
角度1 磁场+磁场
[典例1](2023·重庆模拟)如图所示,在无限长的竖直边界AC和DE间,上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场,上部分区域的磁感应强度大小为B0,OF为上、下磁场的水平分界线,质量为m、带电荷量为+q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域,经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域,Q点与O点的距离为3a,不考虑粒子重力。
(1)求粒子射入时的速度大小;
(2)要使粒子不从AC边界飞出,求下方磁场区域的磁感应强度B1应满足的条件;
(3)若下方区域的磁感应强度B=5B0,粒子最终垂直DE边界飞出,求边界DE与AC间的距离L与a的关系。
【备选例题】
　　如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限。若不计粒子重力,则粒子在磁场中运动的时间为(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
角度2 先电场后磁场
[典例2](2023·辽宁选择考)如图,水平放置的两平行金属板间存在匀强电场,板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域,其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间,恰好从下板边缘P点飞出电场,并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为,不计粒子重力。
(1)求金属板间电势差U;
(2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ;
(3)仅改变圆形磁场区域的位置,使粒子仍从图中O'点射入磁场,且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦,标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
角度3 先磁场后电场
[典例3](多选)(2024·吕梁模拟)如图所示为平面直角坐标系xOy,在x≤4L且y≥0区域中有磁感应强度为B的匀强磁场,在x=4L直线右边区域有与x轴负方向成37°角的匀强电场,一质量为m,带电量为q的粒子(不计重力)从y轴上的a点沿y轴负方向射入磁场,从b点(4L,0)沿x轴的正方向离开磁场进入电场,到达c点时粒子的速度恰好沿y轴的负方向,且c点的横坐标为7L,sin37°=0.6、cos37°=0.8,下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2L
B.粒子在b点的速度为
C.电场强度大小为
D.粒子从b到c的运动时间为
【备选例题】
　　(2023·唐山模拟)平面直角坐标系xOy中,直线OP与x轴正方向的夹角为30°,其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,下方存在匀强电场,电场强度方向与x轴负方向的夹角为60°,如图所示。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v从坐标原点沿y轴正方向进入磁场,经磁场偏转后由P点进入电场,最后从x轴上的Q点离开电场,已知O、P两点间距离为L,PQ连线平行于y轴。不计粒子重力,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(2)匀强电场的电场强度E的大小。
考点二　带电粒子在叠加场中的运动　(核心共研)
【核心要点】
1.带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒,由此可求解问题。
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用动能定理求解问题。
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡,一定做匀速直线运动。
②若重力与电场力平衡,一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直,将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用能量守恒或动能定理求解问题。
2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
常见约束对象 轻杆、轻绳、圆环、轨道等
常见运动形式 直线运动和圆周运动
常用解题思路 通过受力分析明确变力、恒力做功情况(注意洛伦兹力不做功); 运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果
【典例剖析】
角度1 无约束条件
[典例4](2023·新课标全国卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后,打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点,a点在小孔O的正上方,b点在a点的右侧,如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场,则电场和磁场方向可能为(　　)
A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
【备选例题】
　　(多选)(2022·广东选择考)如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上,下列说法正确的有(　　)
A.电子从N到P,电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
角度2 有约束条件
[典例5]如图所示,虚线上方有场强为E的匀强电场,方向竖直向下,虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场,方向垂直纸面向外,ab是一根长为L的绝缘细杆,沿电场线放置在虚线上方的场中,b端在虚线上。将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后,小球先做加速运动,后做匀速运动到达b端。已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数μ=0.3,小球重力忽略不计,当小球脱离杆进入虚线下方后,运动轨迹是半圆,圆的半径是,求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。
【备选例题】
　　(多选)如图所示,空间同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场,磁感应强度大小为B,电场强度大小为E。在该空间的竖直平面(即纸面)内固定一足够长的粗糙绝缘杆,杆与电场正方向夹角为60°。一质量为m、电荷量为+q的小球套在绝缘杆上,在t=0时刻以初速度v0沿杆向下运动。已知qE=mg,下列描述小球运动的v-t图像可能正确的是(　　)
构建模型·发展核心素养
物理模型:轮摆线模型
【核心要点】
1.模型条件
(1)摆线:摆线在数学上是指一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹,又称圆滚线、旋轮线。
(2)物理中,带电粒子垂直磁场方向进入磁场与重力场、电场的叠加场。如果粒子所受重力、电场力没有能够平衡,则粒子的运动轨迹将是一条摆线(滚轮线、最速落线)。处理这类摆线运动有三种常见的方法。运动分解法(配速法)、微分方程法和转换参考系法。
2.模型特点
运用运动的合成与分解,将一个摆线分解为一个匀速直线运动和一个圆周运动进行处理。具体是:将初速度分解成两个分速度,使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或电场力,或重力和电场力的合力)平衡,另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动,这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动,这种方法叫配速法。
【典例剖析】
角度1 摆线运动的可能性讨论
[典例6]一个带电小球沿光滑绝缘的桌面向右运动,速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场,如图所示。小球飞离桌面后落到地板上,设飞行时间为t1,水平射程为x1,着地速度为v1。撤去磁场其余的条件不变,小球飞行时间为t2,水平射程为x2,着地速度为v2,则下列论述正确的是(　　)
A.x1>x2
B.t1>t2
C.v1和v2大小相等
D.v1和v2方向相同
角度2 特殊摆线——初速度为0的小球的处理
[典例7](一题多解)如图所示,空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子在场中运动,不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放,其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动,可以应用运动的合成与分解的方法,将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。
【备选例题】
　　(2022·全国甲卷)空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　)
答案及解析
考点一　带电粒子在组合场中的运动
【典例剖析】
角度1 磁场+磁场
[典例1](2023·重庆模拟)如图所示,在无限长的竖直边界AC和DE间,上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场,上部分区域的磁感应强度大小为B0,OF为上、下磁场的水平分界线,质量为m、带电荷量为+q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域,经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域,Q点与O点的距离为3a,不考虑粒子重力。
(1)求粒子射入时的速度大小;
答案:(1)　
【解析】(1)设粒子在OF上方做圆周运动的半径为R,由几何关系得R2-(R-a)2=(3a)2
R=5a
对粒子有
qvB0=m
粒子射入时的速度大小
v=
(2)要使粒子不从AC边界飞出,求下方磁场区域的磁感应强度B1应满足的条件;
答案: (2)B1≥　
【解析】(2)当粒子恰好不从AC边界飞出时,由几何关系得cosθ=,cosθ=
r1+r1cosθ=3a
r1=,qvB1=m,B1=
当B1≥时,粒子不会从AC边界飞出。
(3)若下方区域的磁感应强度B=5B0,粒子最终垂直DE边界飞出,求边界DE与AC间的距离L与a的关系。
答案: (3)L=4.8na(n=1、2、3…)
【解析】(3)当B=5B0,粒子在OF下方运动时
qvB=m,r=a
设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P1,由对称性可知P与P1的连线一定与OF平行。
根据几何关系知=2(3a-rcosθ)
=4.8a
所以若粒子最终垂直DE边界飞出,边界DE与AC间的距离为L=n=4.8na(n=1,2,3…)。
【关键点拨】
(1)由几何关系确定粒子半径,由洛伦兹力公式求得速度;
(2)由临界条件求出粒子的半径,再由洛伦兹力公式求得磁感应强度的范围;
(3)根据几何关系确定粒子可能的轨迹,再由几何关系确定距离的可能值。
【备选例题】
　　如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限。若不计粒子重力,则粒子在磁场中运动的时间为(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
【解析】选B。粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
则粒子在第二象限的运动时间为t1=×=
第一象限的磁感应强度为第二象限磁感应强度的一半,根据R=可知R2=2R1,根据几何关系可得cosθ==,则θ=60°,t2=×=
粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2=,故B正确,A、C、D错误。
角度2 先电场后磁场
[典例2](2023·辽宁选择考)如图,水平放置的两平行金属板间存在匀强电场,板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域,其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间,恰好从下板边缘P点飞出电场,并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为,不计粒子重力。
(1)求金属板间电势差U;
答案:(1)　
【解析】(1)设板间距离为d,则板长为d,带电粒子在板间做类平抛运动,两板间的电场强度为E=
根据牛顿第二定律得,电场力提供加速度:qE=ma
解得a=
设粒子在两板间的运动时间为t0,根据类平抛运动的规律得=a,d=v0t0
联立解得U=
(2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ;
答案: (2)(或60°)
【解析】(2)
设粒子出电场时与水平方向夹角为α,则有tanα==
故α=
则出电场时粒子的速度为v==v0
粒子出电场后做匀速直线运动,接着进入磁场,根据牛顿第二定律,洛伦兹力提供匀速圆周运动所需的向心力,得qvB=m
解得r==
已知圆形磁场区域半径为R=,故r=R
粒子沿PO方向射入磁场即沿半径方向射入磁场,故粒子将沿半径方向射出磁场,粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为θ,则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为θ,由几何关系可得θ=2α=
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为(或60°);
(3)仅改变圆形磁场区域的位置,使粒子仍从图中O'点射入磁场,且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦,标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
答案:(3)图见解析
【解析】(3)带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为r=R,根据几何关系可知,带电粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧,故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M的位置如图所示:
【关键点拨】
(1)粒子在电场中做类平抛运动;
(2)由粒子出电场时速度偏转角正切值为位移偏转角正切值2倍,继而可得知进入磁场时的速度的方向(速度与水平方向的夹角),再结合在磁场中的运动规律,即可求得在磁场中的偏转角;
(3)运动轨迹所对应弦长等于直径。
角度3 先磁场后电场
[典例3](多选)(2024·吕梁模拟)如图所示为平面直角坐标系xOy,在x≤4L且y≥0区域中有磁感应强度为B的匀强磁场,在x=4L直线右边区域有与x轴负方向成37°角的匀强电场,一质量为m,带电量为q的粒子(不计重力)从y轴上的a点沿y轴负方向射入磁场,从b点(4L,0)沿x轴的正方向离开磁场进入电场,到达c点时粒子的速度恰好沿y轴的负方向,且c点的横坐标为7L,sin37°=0.6、cos37°=0.8,下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2L
B.粒子在b点的速度为
C.电场强度大小为
D.粒子从b到c的运动时间为
【解析】选B、C。过a、b两点分别作速度的垂线,交点O1是轨迹圆的圆心,O1a、O1b是轨迹圆两个互相垂直的半径
由几何关系可得OaO1b是正方形,则轨迹圆的半径为4L,故A错误;由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得v=,故B正确;把粒子受到的电场力分别沿着x轴和y轴分解,则沿x轴方向,有Fx=qEcos37°,由牛顿第二定律可得ax=,粒子在c点的速度沿着y轴的负方向,则粒子在c点沿x轴正方向的速度恰好为0,粒子沿着x轴正方向的分位移为3L,根据匀变速直线运动的运动规律,有2ax·3L=v2,又因为v=,联立解得E=,故C正确;根据匀变速运动的特点知,粒子从b到c的运动时间t==,故D错误。
【方法技巧】 带电粒子在组合场中运动常见的两类情况
从电场进入磁场 从磁场进入电场
电场中:加速直线运动 磁场中:匀速圆周运动 磁场中:匀速圆周运动 电场中:匀变速直线运动(v与E同向或反向)
电场中:类平抛运动 磁场中:匀速圆周运动 磁场中:匀速圆周运动 电场中:类平抛运动(v与E垂直)
【备选例题】
　　(2023·唐山模拟)平面直角坐标系xOy中,直线OP与x轴正方向的夹角为30°,其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,下方存在匀强电场,电场强度方向与x轴负方向的夹角为60°,如图所示。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v从坐标原点沿y轴正方向进入磁场,经磁场偏转后由P点进入电场,最后从x轴上的Q点离开电场,已知O、P两点间距离为L,PQ连线平行于y轴。不计粒子重力,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小;
答案:(1)　
【解析】(1)粒子在磁场中运动时(如图所示),设轨迹半径为R,根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=
由几何关系有L=2Rcos30°
联立解得B=。
(2)匀强电场的电场强度E的大小。
答案: (2)
【解析】(2)粒子进入电场时,速度方向与边界OP的夹角为60°,由几何关系可知,速度方向和电场方向垂直。粒子在电场中的位移x=PQ=Lsin30°
又xsin30°=vt
xcos30°=at2
Eq=ma
联立解得E=。
考点二　带电粒子在叠加场中的运动
【典例剖析】
角度1 无约束条件
[典例4](2023·新课标全国卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后,打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点,a点在小孔O的正上方,b点在a点的右侧,如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场,则电场和磁场方向可能为(　　)
A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
【解析】选C。粒子刚从O点射出时,若电场方向水平向左,α粒子所受电场力水平向左,若磁场方向垂直纸面向里,根据左手定则得,α粒子所受洛伦兹力水平向左,则α粒子向左偏转,不会出现图示的轨迹,故A错误;粒子刚从O点射出时,若电场方向水平向左,α粒子所受电场力水平向左,电子所受电场力水平向右,若磁场方向垂直纸面向外,根据左手定则得,α粒子所受洛伦兹力水平向右,电子所受洛伦兹力水平向左,沿直线运动到a点的粒子受力平衡,有:qvB=qE,已知α粒子的速度约为电子速度的,若α粒子沿直线运动到a点,则电子所受洛伦兹力大于电场力,电子向左偏转,若电子沿直线运动到a点,则α粒子所受洛伦兹力小于电场力,α粒子向左偏转,不会出现图示的轨迹,故B错误;粒子刚从O点射出时,若电场方向水平向右,α粒子所受电场力水平向右,电子所受电场力水平向左,若磁场方向垂直纸面向里,根据左手定则得,α粒子所受洛伦兹力水平向左,电子所受洛伦兹力水平向右,沿直线运动到a点的粒子受力平衡,有:qvB=qE,已知α粒子的速度约为电子速度的,若α粒子沿直线运动到a点,则电子所受洛伦兹力大于电场力,电子向右偏转,若电子沿直线运动到a点,则α粒子所受洛伦兹力小于电场力,α粒子向右偏转,会出现图示的轨迹,故C正确;粒子刚从O点射出时,若电场方向水平向右,α粒子所受电场力水平向右,电子所受电场力水平向左,磁场方向垂直纸面向外,根据左手定则得,α粒子所受洛伦兹力水平向右,电子所受洛伦兹力水平向左,α粒子向右偏转,电子向左偏转,不会出现图示的轨迹,故D错误。
【备选例题】
　　(多选)(2022·广东选择考)如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上,下列说法正确的有(　　)
A.电子从N到P,电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
【解析】选B、C。由题可知电子所受电场力水平向左,电子从N到P的过程中电场力做负功,故A错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知,N点的电势高于P点,故B正确;由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直,故电子从M到N,洛伦兹力不做功,故C正确;由于M点和P点在同一等势面上,故从M到P电场力做功为0,而洛伦兹力不做功,M点速度为0,根据动能定理可知电子在P点速度也为0,则电子在M点和P点都只受电场力作用,在匀强电场中电子在这两点电场力相等,即合力相等,故D错误。
角度2 有约束条件
[典例5]如图所示,虚线上方有场强为E的匀强电场,方向竖直向下,虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场,方向垂直纸面向外,ab是一根长为L的绝缘细杆,沿电场线放置在虚线上方的场中,b端在虚线上。将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后,小球先做加速运动,后做匀速运动到达b端。已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数μ=0.3,小球重力忽略不计,当小球脱离杆进入虚线下方后,运动轨迹是半圆,圆的半径是,求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。
答案:
【解析】小球在沿杆向下运动时,受力情况如图所示。
在水平方向FN=qvB,所以摩擦力f=μFN=μqvB,小球在磁场中做匀速圆周运动时qvbB=m,又R=,所以vb=,小球从a运动到b的过程中,WE=qEL=μqvbBL=,再由动能定理WE-Wf=m得,Wf=,则=。
【备选例题】
　　(多选)如图所示,空间同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场,磁感应强度大小为B,电场强度大小为E。在该空间的竖直平面(即纸面)内固定一足够长的粗糙绝缘杆,杆与电场正方向夹角为60°。一质量为m、电荷量为+q的小球套在绝缘杆上,在t=0时刻以初速度v0沿杆向下运动。已知qE=mg,下列描述小球运动的v-t图像可能正确的是(　　)
【解析】选A、C、D。对小球受力分析,重力和电场力的合力大小F==2mg,设F与水平方向的夹角为θ,tanθ==,θ=30°,即重力和电场力的合力方向与杆对小球的支持力在同一直线上,如果初状态Bqv0=2mg,则FN=0,Ff=0,可得a=0,所以小球做匀速直线运动。如果初状态Bqv0>2mg,弹力垂直于杆斜向下,摩擦力沿杆斜向上,小球做减速运动,速度减小,洛伦兹力减小,弹力减小,摩擦力减小,加速度减小,当加速度减到零时,做匀速直线运动。如果初状态Bqv0<2mg,弹力垂直于杆斜向上,摩擦力沿杆斜向上,小球做减速运动,速度减小,洛伦兹力减小,弹力增大,摩擦力增大,加速度增大,直到速度减为零。故选A、C、D。
物理模型:轮摆线模型
【核心要点】
【典例剖析】
角度1 摆线运动的可能性讨论
[典例6]一个带电小球沿光滑绝缘的桌面向右运动,速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场,如图所示。小球飞离桌面后落到地板上,设飞行时间为t1,水平射程为x1,着地速度为v1。撤去磁场其余的条件不变,小球飞行时间为t2,水平射程为x2,着地速度为v2,则下列论述正确的是(　　)
A.x1>x2
B.t1>t2
C.v1和v2大小相等
D.v1和v2方向相同
【关键点拨】 小球在有磁场时做一般曲线运动,无磁场时做平抛运动。运用分解的思想,两种情况下,把小球的运动速度和受力向水平方向与竖直方向分解。
【解析】选C。设小球带正电,有磁场时,小球下落过程中要受重力和洛伦兹力共同作用,重力方向竖直向下,大小和方向都不变;洛伦兹力的大小和方向都随速度的变化而变化,但在能落到地面的前提下洛伦兹力的方向跟速度方向垂直,总是指向右上方某个方向,其水平分力fx水平向右,竖直分力fy竖直向上。
如图所示,竖直方向的加速度仍向下,但小于重力加速度g,从而使运动时间比撤去磁场后要长,即t1>t2,小球水平方向也将加速运动,从而使水平距离比撤去磁场后要大,即x1>x2。若小球带负电,同理,洛伦兹力方向与图中洛伦兹力相反,则可知,竖直方向的加速度仍向下,但大于重力加速度g,从而使运动时间比撤去磁场后要短,即t1角度2 特殊摆线——初速度为0的小球的处理
[典例7](一题多解)如图所示,空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子在场中运动,不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放,其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动,可以应用运动的合成与分解的方法,将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。
答案:　
【解析】方法一:动能定理+动量定理
带电粒子在运动中,只有电场力做功,当其运动至最远时,电场力做功最多,此时速度最大,根据动能定理有qEym=m ①
粒子沿竖直方向上的速度产生水平方向的洛伦兹力,即fx=qBvy
取沿水平方向运动一小段时间Δt,根据动量定理有fxΔt=qBvyΔt=mΔvx
注意式中vyΔt表示粒子沿竖直方向运动的距离。因此,等式两边对粒子从离开O点到第一次最远的过程求和有qBym=mvm②
联立①②两式,解得vm=,ym=
方法二:“配速法”
这个运动之所以复杂是因为洛伦兹力改变了运动的方向,带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动,我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动。
粒子的初速度为零,可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v,其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与电场力平衡:Bqv=Eq;因此,粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左,大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动,圆周运动的轨道半径r==
所以ym=2r=,vm=2v=
【备选例题】
　　(2022·全国甲卷)空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　)
【解析】选B。在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向,故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里,根据左手定则,可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力,故带电粒子向x轴负方向偏转,故A、C错误;运动的过程中电场力对带电粒子做功,粒子速度大小发生变化,粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向,故x轴为匀强电场的等势面,从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时,电场力做功为0,洛伦兹力不做功,故带电粒子再次回到x轴时的速度为0,随后受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转,故B正确,D错误。
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