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第1讲　机械振动
一、简谐运动(选一第二章第1节和第3节)
1.定义:质点在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置的运动。
2.平衡位置:
物体在振动过程中回复力为零的位置。竖直弹簧振子中,小球静止的位置是平衡位置,但此时弹簧发生了形变,并非弹簧原长的位置。
3.回复力
(1)使物体返回到平衡位置的力,方向总是指向平衡位置。
(2)来源:属于效果力,可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力。例如:
模型 对应回复力
水平方向的弹簧振子,弹力充当回复力
竖直方向的弹簧振子,弹力和重力的合力充当回复力
m随M一起振动,m的回复力是静摩擦力
警示:做简谐运动的物体经过平衡位置时,回复力一定为零,但所受合力不一定为零。
二、简谐运动的图像(选一第二章第2节)
1.物理意义:表示振子的位移随时间变化的规律,为正弦(或余弦)曲线。
2.表达式:运动学表达式:x=Asin(ωt+φ0),其中A代表振幅,ω=2πf代表简谐运动的快慢,ωt+φ0代表简谐运动的相位,φ0叫作初相。
3.简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时,把开始运动的方向规定为正方向,函数表达式为x=Asinωt,图像如图甲所示。
(2)从正方向的最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acosωt,图像如图乙所示。
【警示】简谐运动的x-t图像,不是振子的运动轨迹,振子的运动轨迹是一条线段。
三、弹簧振子和单摆(选一第二章第4节)
模型 弹簧振子 单摆
示意图
简谐运动的条件 ①弹簧质量要忽略 ②无摩擦等阻力 ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线 ②无空气阻力等 ③最大摆角小于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力(不是摆球所受的合外力)提供
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T=2π
【提醒】摆长、摆线长的比较
四、受迫振动和共振(选一第二章第6节)
1.受迫振动:系统在驱动力作用下的振动。
2.共振:
(1)概念:当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅最大的现象。
(2)共振的条件:驱动力的频率等于固有频率。
3.共振曲线:
如图所示的共振曲线,表示某振动系统受迫振动的振幅A(纵坐标)随驱动力频率f(横坐标)变化的关系。
【质疑辨析】
角度1 简谐运动的规律
(1)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。 (　√　)
(2)振幅等于振子运动轨迹的长度。 (　×　)
(3)简谐运动的回复力可以是恒力。 (　×　)
(4)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。 (　×　)
角度2 单摆
(5)单摆每次经过平衡位置时,位移为零、动能为零。 (　×　)
(6)单摆无论摆角多大都做简谐运动。 (　×　)
(7)荡秋千的周期是其固有周期。 (　×　)
(8)摆钟走得快了必须调短摆长,才可能使其走时准确。 (　×　)
精研考点·提升关键能力
考点一　简谐运动的规律　(核心共研)
【核心要点】
1.五大特征
受力特征 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向与x的方向相反
运动特征 衡位置过程中,物体的a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置过程中,a、F、x都增大,v减小
能量特征 振幅越大,能量越大。在运动过程中,系统的动能和势能相互转化,机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等,方向相反
2.两点技巧
(1)简谐运动是一个理想化模型,解题需要关注力学、运动学、能量、周期性、对称性五个方面并掌握其规律。
(2)简谐运动的平衡位置、最大位移处是其特殊位置,在特殊位置之间运动的过程中需要注意其单调性,比如位移x、回复力F、加速度a、速度v之间的变化规律。
提醒:求路程时,首先应明确振动过程经过了几个整数周期,若经过n次全振动,路程应为4nA。再具体分析最后不到一周期时间内的路程,两部分相加即为总路程。
【典例剖析】
角度1 简谐运动的周期性
[典例1](多选)(2023·山东等级考)如图所示,沿水平方向做简谐振动的质点,依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点位移大小是A点的倍,质点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期可能是 (　　)
A.,3t　　　　 B.,4t
C.,t D.,t
【备选例题】
　　(多选)(2023·临沂模拟)一弹簧振子做简谐运动,O点为平衡位置,当它经过O点时开始计时,经过0.3 s第一次到达M点,再经过0.2 s第二次到达M点,则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为 (　　)
A.1.4 s　　B. s　　C. s　　D.1.6 s
角度2 简谐运动物理量分析
[典例2] (2023·漳州模拟)一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置,P、Q是振动过程中关于平衡位置对称的两个位置,下列说法正确的是 (　　)
A.振子运动到P、Q两点时,位移相同
B.振子运动到P、Q两点时,弹簧弹力大小相同
C.振子在从M点向N点运动过程中,动能先减小后增大
D.振子在从M点向N点运动过程中,加速度先增大后减小
考点二　简谐运动的表达式和图像　(核心共研)
【核心要点】
1.图像特征:
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线,是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图像不代表质点运动的轨迹。
(3)任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小,斜率正、负表示速度的方向,斜率为正时,表示质点的速度沿x轴正方向;斜率为负时,表示质点的速度沿x轴负方向。
2.图像信息:
(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。
①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度的方向在图像上总是指向t轴。
②速度的方向:某时刻速度的方向既可以通过该时刻在图像上对应点的切线的斜率来判断,还可以通过下一时刻位移的变化来判断,若下一时刻位移增加,速度方向就远离t轴;若下一时刻位移减小,速度方向就指向t轴。
(4)可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。
如图所示:
【典例剖析】
角度1 简谐运动的公式
[典例3](2023·苏州模拟)有一个弹簧振子的振动图像如图所示,则它的振动方程是 (　　)
A.x=8×10-3sin(4πt+) m
B.x=8×10-3sin(4πt-) m
C.x=8×10-1sin(πt+π) m
D.x=8×10-1sin(t+) m
【备选例题】
　　(2023·南京模拟)如图所示,轻质弹簧上方固定,下方连接质量为m的小球,弹簧原长为L0,小球静止时位于图中的O点,此时弹簧伸长量为L。将小球从O点向下拉一小段距离A(AA.x=Asin(t+)
B.x=Asin(t-)
C.x=(L+A)sin(t-)
D.x=(L+A)sin(t+)
角度2 简谐运动的图像
[典例4](2023·广州模拟)如图甲所示为以O点为平衡位置,在A、B两点间运动的弹簧振子,图乙为这个弹簧振子的振动图像,由图可知下列说法中正确的是
(　　)
A.在t=0.2 s时,弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,弹簧振子的速度相同
C.从t=0到t=0.2 s时间内,弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t=0.6 s时,弹簧振子有最小的位移
【备选例题】
　　(2023·北京房山区模拟)如图甲所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是 (　　)
A.t=0.4 s时,振子的速度方向向左
B.t=0.8 s时,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的回复力逐渐增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子的动能逐渐减小
考点三　单摆及其周期公式　(核心共研)
【核心要点】
1.单摆的特点
构成
理想化模型 一根没有弹性的细线,一端固定,另一端系一可看成质点的小球
理想化要求 (1)细线形变要求:细线的伸缩可以忽略。 (2)质量要求:细线质量与小球质量相比可以忽略。 (3)线长度要求:球的直径与线的长度相比可以忽略。 (4)受力要求:忽略摆动过程中所受的阻力作用。
回复力来源 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力,即回复力F=G2=mgsinθ
2.单摆周期公式
公式 T=2π
等效 摆长 摆球在垂直纸面方向小角度摆动,等效摆长为lsinα
摆球在垂直纸面方向小角度摆动,等效摆长为lsinα+l
等效 重力 加速 度 g等效=gsinθ
g等效=
g等效=g
提醒:因为实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度。对于不规则的摆动物体或复合物体,摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度。而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长。
3.类单摆问题
构成 ①光滑球形曲面AOB;②小球m
要求 ①球形曲面光滑
②小球直径远小于球形曲面半径R
③小球在小范围AOB内做往复运动
提醒:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和振子(小球)质量无关。
【典例剖析】
角度1 单摆周期的计算
[典例5](2023·岳阳模拟)如图,单摆甲放在真空中,悬点处固定一带正电小球,摆球亦带正电,周期为T甲;单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中,周期为T乙;单摆丙带正电,放在磁感应强度为B的匀强磁场中,周期为T丙;单摆丁带正电,放在匀强电场E中,周期为T丁。若四个单摆摆长均相等,那么 (　　)
A.T甲>T乙>T丁>T丙　 B.T乙>T甲>T丙>T丁
C.T丙>T甲>T丁>T乙 D.T乙>T甲=T丙>T丁
【备选例题】
　　(2023·西南名校联盟联考)如图所示,三根长度均为L的轻细绳a、b、c组合系住一质量分布均匀且带正电的小球m,球的直径为d(d L),绳b、c与天花板的夹角α=30°,空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场,电场强度E=,重力加速度为g,现将小球拉开小角度后由静止释放,则 (　　)
A.若小球在纸面内做小角度的左右摆动,则周期为2π
B.若小球做垂直于纸面的小角度摆动,则周期为2π
C.摆球经过平衡位置时合力为零
D.无论小球如何摆动,电场力都不做功
角度2 单摆振动图像
[典例6](多选)(2023·抚州模拟)如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度摆动①,可以用来拆除混凝土建筑。它对应的振动图像如图乙所示②,则下列说法正确的是 (　　)
A.单摆振动的周期是6 s
B.t=2 s时,摆球的速度最大
C.球摆开的角度增大,周期增大
D.该单摆的摆长约为16 m
【备选例题】
　　单摆的摆动角度小于5°,其振动图像如图所示,g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.t1、t2时刻摆球加速度方向相反
B.t=0.8 s时摆球的速度最大
C.单摆的振动周期为0.8 s
D.单摆的摆长约为64 cm
角度3 类单摆问题
[典例7](2023·宁波模拟)如图所示,AOB为放置在竖直平面内半径为R的光滑圆弧轨道,A、B两点位于圆弧上等高处,弧AB的长度远小于R,在B点和O点之间固定一光滑直轨道,圆弧轨道和直轨道顺滑连接。现将一小球(半径可忽略)由点A静止释放,则A→O→B过程小球的运动时间为 (　　)
A.π　　　　　 B.(+2)
C.(+) D.(+)
【备选例题】
　　(2023·北京海淀区模拟)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道所含圆弧的度数很小,O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到到达O点过程中都经过图中的P点。下列判断正确的是 (　　)
A.M比N后到达O点
B.M、N通过P点时所受的回复力相同
C.M有可能在P点追上N并与之相碰
D.从释放到到达O点过程中,重力对M的冲量比重力对N的冲量大
角度 单摆与力学知识综合
[典例1](2023·商丘模拟)如图甲,O点为单摆的固定悬点,将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点,由静止释放摆球,摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动,其中B点为运动过程中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线,图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻,g取10 m/s2,则下列说法正确的是 (　　)
A.T=0.2π s
B.单摆的摆长l=2.5 m
C.摆球的质量m=0.5 kg
D.摆球运动过程中的最大速度v= m/s
[典例2](2023·枣庄模拟)图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图及简化图,图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像,其中F的最大值Fmax=1.02 N,已知摆球质量m=100 g,重力加速度g取9.8 m/s2,π2取9.8,不计摆线质量及空气阻力。下列说法不正确的是 (　　)
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长为0.64 m
C.F的最小值Fmin=0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g,单摆周期不变
考点四　受迫振动和共振　(基础自悟)
【核心要点】
1.自由振动、受迫振动和共振的比较:
项目 自由振动 受迫振动 共振
受外力情况 没有驱动力 受到周期性的驱动力作用 受到周期性的驱动力作用
振动周期和频率 由系统本身的性质决定,即固有周期和固有频率 由驱动力的周期和频率决定 T驱=T固 f驱=f固
振动能量 无阻尼自由振动物体的机械能不变,阻尼振动物体的机械能减小 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子、单摆 机器运转时底座发生的振动 共振筛、转速计
2.受迫振动和共振的理解
(1)明确驱动力、受迫振动与共振的概念以及阻尼振动、自由振动、受迫振动的区别与联系。
(2)受迫振动的周期和频率由外界驱动力的周期和频率决定,与振动物体自身的固有周期和固有频率无关。
(3)受迫振动的振幅大小与外界驱动力的周期和频率有关,驱动力的频率与固有频率越接近,受迫振动的振幅就越大,两者相差越大,受迫振动的振幅就越小,当两者相等时,受迫振动的振幅最大。
【题点全练】
1.某地在100 m的路面上设置了41条减速带,非但没有带来安全,反而给群众的正常出行造成了极大的影响。假设减速带均匀设置,某汽车的固有频率为1.5 Hz。当该汽车匀速通过减速带时 (　　)
A.当车速为3.75 m/s时,汽车最颠簸
B.汽车的行驶速度越快,颠簸越厉害
C.当车速为10 m/s时,汽车的固有频率变为4 Hz
D.当车速为10 m/s时,汽车的振动频率为1.5 Hz
2.(2023·徐州模拟)某种振动式果树采摘机采收果实时,机器用金属手抓住树枝,通过振动摇落果实,适用于大多数干果和坚果的采收。下列说法正确的是 (　　)
A.工作中,树枝的振动频率小于采摘振动头的振动频率
B.采摘振动头振动频率增大,树枝的振动幅度可能增大
C.若采摘振动头停止振动,树枝的振动频率会逐渐减小
D.若拾果工人快速远离采摘机,他感到采摘机的振动声调升高
3.(2023·荆州模拟)如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线,g取9.8 m/s2,则下列说法不正确的是 (　　)
A.若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行,且摆长相同,则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两个受迫振动是在地球上同一地点进行,则两个摆长之比lⅠ∶lⅡ=25∶4
C.图线Ⅱ若表示是在地面上完成的,则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m,则图线Ⅰ表示是在地面上完成的
【加固训练】
　　(2023·安庆模拟)一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,π2≈g,则 (　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为10 m
C.若摆长增大,单摆的固有频率减小
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
答案及解析
考点一　简谐运动的规律
【典例剖析】
角度1 简谐运动的周期性
[典例1](多选)(2023·山东等级考)如图所示,沿水平方向做简谐振动的质点,依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点位移大小是A点的倍,质点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期可能是 (　　)
A.,3t　　　　 B.,4t
C.,t D.,t
图形剖析
若平衡位置O在A点 左侧, 则t=·+·+·=
若平衡位置O在A、B之间, 则t=·++·=
【解析】选B、C。若平衡位置O在A点左侧,由A+L=A,得到振幅A=,质点经过A点时开始计时,有t=,得周期T=4t,选项A错误,B正确;若平衡位置O在A、B之间,由A+A=L,得到振幅A=,质点经过A点时开始计时,有t=,得周期T=t,选项C正确,D错误。
[一题多解]
【备选例题】
　　(多选)(2023·临沂模拟)一弹簧振子做简谐运动,O点为平衡位置,当它经过O点时开始计时,经过0.3 s第一次到达M点,再经过0.2 s第二次到达M点,则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为 (　　)
A.1.4 s　　B. s　　C. s　　D.1.6 s
【解析】选A、C。振子通过O点的速度方向有两种可能,一种是从O指向M,另一种是从O点背离M。利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系。
情况1:如图甲所示,O为平衡位置,设OB(OC)代表振幅,若振子开始从平衡位置向M运动,从O到C所需时间为,因为简谐运动具有对称性,所以振子从M到C所用时间和从C到M所用时间相等,故=0.3 s+ s=0.4 s,解得T=1.6 s,则振子第三次到达M点还要经过的时间为t=1.6 s-0.2 s=1.4 s,选项A正确。
情况2:如图乙所示,若振子一开始从平衡位置背离M向B运动,设M'与M关于O点对称,则振子从M'经B回到M'所用的时间与振子从M经C回到M所用的时间相等,即0.2 s。振子从O到M'和从M'到O及从O到M所需时间相等,为=
s,则振子第三次到达M点还要经过的时间为t'=0.2 s+×4 s= s,选项C正确。
【方法技巧】 简谐运动多解原因分析
(1)周期性造成多解:物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题。
(2)对称性造成多解:由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题。
角度2 简谐运动物理量分析
[典例2] (2023·漳州模拟)一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置,P、Q是振动过程中关于平衡位置对称的两个位置,下列说法正确的是 (　　)
A.振子运动到P、Q两点时,位移相同
B.振子运动到P、Q两点时,弹簧弹力大小相同
C.振子在从M点向N点运动过程中,动能先减小后增大
D.振子在从M点向N点运动过程中,加速度先增大后减小
【关键点拨】 解答本题应抓住两个关键位置
【解析】选B。由对称性可知,振子运动到P、Q两点时,位移等大反向,选项A错误;根据胡克定律F=kx可知,振子运动到P、Q两点时,弹簧弹力大小相同,选项B正确;振子在从M点向N点运动过程中,位移先减小后增大,速度先增大后减小,即动能先增大后减小,选项C错误;振子在从M点向N点运动过程中,位移先减小后增大,弹簧弹力F=kx先减小后增大,根据牛顿第二定律a=可知,振子的加速度先减小后增大,选项D错误。
【方法技巧】
口诀“三同一反、知一定三”判断物理量的变化
弹簧弹力F、加速度a、位移x的大小变化规律一致(三同),速度v的大小变化规律与三者相反(一反),知道其中一个量的大小变化情况,就能确定另外三个量的变化情况(知一定三)。
考点二　简谐运动的表达式和图像
【典例剖析】
角度1 简谐运动的公式
[典例3](2023·苏州模拟)有一个弹簧振子的振动图像如图所示,则它的振动方程是 (　　)
A.x=8×10-3sin(4πt+) m
B.x=8×10-3sin(4πt-) m
C.x=8×10-1sin(πt+π) m
D.x=8×10-1sin(t+) m
【题眼破译】
【解析】选A。由题图可知,A=0.8 cm=8×10-3 m,T=0.5 s,可得ω==4π rad/s,初始时刻初位移x0=0.8 cm=8×10-3 m,则x0=Asinφ0,8×10-3=8×10-3sinφ0,解得初相位φ0=,得弹簧振子的振动方程为x=8×10-3sin(4πt+) m,选项A正确。
【备选例题】
　　(2023·南京模拟)如图所示,轻质弹簧上方固定,下方连接质量为m的小球,弹簧原长为L0,小球静止时位于图中的O点,此时弹簧伸长量为L。将小球从O点向下拉一小段距离A(AA.x=Asin(t+)
B.x=Asin(t-)
C.x=(L+A)sin(t-)
D.x=(L+A)sin(t+)
【解析】选A。小球做简谐运动的平衡位置在O点,振幅为A,取竖直向下为正方向,小球从正向位移最大处开始振动。初始时刻初位移为A,则A=Asinφ0,解得初相位φ0=,故简谐运动位移表达式为x=Asin(t+),选项A正确。
角度2 简谐运动的图像
[典例4](2023·广州模拟)如图甲所示为以O点为平衡位置,在A、B两点间运动的弹簧振子,图乙为这个弹簧振子的振动图像,由图可知下列说法中正确的是
(　　)
A.在t=0.2 s时,弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,弹簧振子的速度相同
C.从t=0到t=0.2 s时间内,弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t=0.6 s时,弹簧振子有最小的位移
【关键点拨】 解答本题要抓住以下三个关键
【解析】选C。在t=0.2 s时,弹簧振子的位移为正向最大,加速度为负向最大,选项A错误;在t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,弹簧振子的位移相同,说明弹簧振子在同一位置,速度大小相同,但是方向相反,选项B错误;从t=0到t=0.2 s时间内,弹簧振子的位移增大,加速度增大,速度减小,所以弹簧振子做加速度增大的减速运动,选项C正确;在t=0.6 s时,弹簧振子的位移为负方向最大,选项D错误。
【备选例题】
　　(2023·北京房山区模拟)如图甲所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是 (　　)
A.t=0.4 s时,振子的速度方向向左
B.t=0.8 s时,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的回复力逐渐增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子的动能逐渐减小
【解析】选D。由振动图像可知t=0.4 s时,振子由平衡位置向正方向运动,说明振子的速度方向向右,选项A错误;由振动图像可知,t=0.8 s时,振子在正向最大位移处,所以振子的加速度方向向左,选项B错误;t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子从正向最大位移处往平衡位置运动,所以振子的回复力逐渐减小,选项C错误;t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子从平衡位置往负向最大位移处运动,振子的速度逐渐减小,振子的动能逐渐减小,选项D正确。
考点三　单摆及其周期公式
【典例剖析】
角度1 单摆周期的计算
[典例5](2023·岳阳模拟)如图,单摆甲放在真空中,悬点处固定一带正电小球,摆球亦带正电,周期为T甲;单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中,周期为T乙;单摆丙带正电,放在磁感应强度为B的匀强磁场中,周期为T丙;单摆丁带正电,放在匀强电场E中,周期为T丁。若四个单摆摆长均相等,那么 (　　)
A.T甲>T乙>T丁>T丙　 B.T乙>T甲>T丙>T丁
C.T丙>T甲>T丁>T乙 D.T乙>T甲=T丙>T丁
【题眼破译】
【解析】选D。甲摆所受库仑力和丙摆中所受洛伦兹力总是沿半径方向,不影响回复力,故有T甲=T丙=2π,根据等效重力加速度,对乙摆有mg乙'=mg-ma,解得g乙'=g-a,故可得T乙=2π。同理,对丁摆有mg丁'=mg+Eq,解得g丁'=g+,故可得T丁=2π,故有T乙>T甲=T丙>T丁,选项D正确。
【备选例题】
　　(2023·西南名校联盟联考)如图所示,三根长度均为L的轻细绳a、b、c组合系住一质量分布均匀且带正电的小球m,球的直径为d(d L),绳b、c与天花板的夹角α=30°,空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场,电场强度E=,重力加速度为g,现将小球拉开小角度后由静止释放,则 (　　)
A.若小球在纸面内做小角度的左右摆动,则周期为2π
B.若小球做垂直于纸面的小角度摆动,则周期为2π
C.摆球经过平衡位置时合力为零
D.无论小球如何摆动,电场力都不做功
【解析】选B。根据题意可知,若小球以O'为圆心做简谐运动,则摆长为l=L+,电场和重力场合成等效重力加速度为2g,振动的周期为T1=2π=2π=2π。根据题意可知,若小球以O为圆心做简谐运动,摆长l'=L+Lsinα+,振动周期为T2=2π=2π=2π,摆球经过平衡位置时速度最大,合力不为零;小球摆动过程中,沿电场力方向存在位移,故电场力有做功,选项B正确。
角度2 单摆振动图像
[典例6](多选)(2023·抚州模拟)如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度摆动①,可以用来拆除混凝土建筑。它对应的振动图像如图乙所示②,则下列说法正确的是 (　　)
A.单摆振动的周期是6 s
B.t=2 s时,摆球的速度最大
C.球摆开的角度增大,周期增大
D.该单摆的摆长约为16 m
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①实际情境抽象为理想化模型——单摆
信息②图像验证信息①的正确性,同时可以知道周期的大小T=8 s
【解析】选B、D。由图乙可知,单摆振动的周期为8 s;t=2 s时,摆球位于平衡位置,速度最大;根据单摆周期公式T=2π可知,周期与球摆开的角度无关;把T=8 s代入周期公式可得,摆长为l≈16 m,选项B、D正确。
【备选例题】
　　单摆的摆动角度小于5°,其振动图像如图所示,g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.t1、t2时刻摆球加速度方向相反
B.t=0.8 s时摆球的速度最大
C.单摆的振动周期为0.8 s
D.单摆的摆长约为64 cm
【解析】选B。t1、t2时刻摆球的位移都为正,加速度方向相同,选项A错误;根据图像的斜率可知t=0.8 s时摆球的速度最大,选项B正确;由图可知,单摆的振动周期为1.6 s,选项C错误;根据单摆的周期公式T=2π,解得l=0.65 m,选项D错误。
角度3 类单摆问题
[典例7](2023·宁波模拟)如图所示,AOB为放置在竖直平面内半径为R的光滑圆弧轨道,A、B两点位于圆弧上等高处,弧AB的长度远小于R,在B点和O点之间固定一光滑直轨道,圆弧轨道和直轨道顺滑连接。现将一小球(半径可忽略)由点A静止释放,则A→O→B过程小球的运动时间为 (　　)
A.π　　　　　 B.(+2)
C.(+) D.(+)
【解析】选B。小球从A→O过程为单摆运动,运动时间为t1===。设弧AB对应的圆心角为θ,根据几何知识可得直轨道OB的长度为OB=2Rsin,此时直轨道的倾角为,小球的加速度大小为a=gsin,根据机械能守恒定律可知vB=0,故小球从O点做匀减速直线运动到B点的时间与小球从B点无初速释放运动到O点的时间相同,即OB=a,解得t2=2,故A→O→B过程小球的运动时间为t=t1+t2=(+2),选项B正确。
【备选例题】
　　(2023·北京海淀区模拟)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道所含圆弧的度数很小,O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到到达O点过程中都经过图中的P点。下列判断正确的是 (　　)
A.M比N后到达O点
B.M、N通过P点时所受的回复力相同
C.M有可能在P点追上N并与之相碰
D.从释放到到达O点过程中,重力对M的冲量比重力对N的冲量大
【解析】选B。根据T=2π可知,两个小球做简谐运动的周期相同,M、N同时到达O点,选项A错误;M、N通过P点时所受的回复力相同,选项B正确;M、N同时到达O点,则M不可能在P点追上N并与之相碰,选项C错误;从释放到到达O点过程中,根据I=mgt,重力对M的冲量等于重力对N的冲量,选项D错误。
角度 单摆与力学知识综合
[典例1](2023·商丘模拟)如图甲,O点为单摆的固定悬点,将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点,由静止释放摆球,摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动,其中B点为运动过程中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线,图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻,g取10 m/s2,则下列说法正确的是 (　　)
A.T=0.2π s
B.单摆的摆长l=2.5 m
C.摆球的质量m=0.5 kg
D.摆球运动过程中的最大速度v= m/s
【题眼破译】
【解析】选D。小球从A点运动到C点,再回到A点即为一个周期,根据图像可知T=0.4π s,选项A错误;由单摆的周期公式T=2π,解得l== m=0.4 m,选项B错误; 摆球受力分析如图所示,
在最高点A,有Fmin=mgcosθ=0.498 N,在最低点B,有Fmax=mg+m=0.504 N,从A到B,机械能守恒,由机械能守恒定律得mgl(1-cosθ)=mv2,联立并代入数据得m=0.05 kg,v= m/s,选项C错误,D正确。
[典例2](2023·枣庄模拟)图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图及简化图,图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像,其中F的最大值Fmax=1.02 N,已知摆球质量m=100 g,重力加速度g取9.8 m/s2,π2取9.8,不计摆线质量及空气阻力。下列说法不正确的是 (　　)
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长为0.64 m
C.F的最小值Fmin=0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g,单摆周期不变
【解析】选A。根据单摆振动的规律可知,在一个周期内摆球会两次经过最低点,即摆线会出现两次拉力最大的时刻,则由题图乙可知单摆周期为1.6 s,选项A错误;根据单摆周期公式T=2π可得单摆摆长为l==0.64 m,选项B正确;设单摆的摆角为2θ,当摆球摆到最高点时摆线拉力最小,为Fmin=mgcosθ。设摆球运动至最低点时的速度大小为v,则根据机械能守恒定律有mv2=mgl(1-cosθ),在最低点时,根据牛顿第二定律有Fmax-mg=m ,联立解得Fmin=0.96 N,选项C正确;根据单摆周期公式可知周期与摆球质量无关,所以若仅将摆球质量变为200 g,单摆周期不变,选项D正确。
考点四　受迫振动和共振
【题点全练】
1.某地在100 m的路面上设置了41条减速带,非但没有带来安全,反而给群众的正常出行造成了极大的影响。假设减速带均匀设置,某汽车的固有频率为1.5 Hz。当该汽车匀速通过减速带时 (　　)
A.当车速为3.75 m/s时,汽车最颠簸
B.汽车的行驶速度越快,颠簸越厉害
C.当车速为10 m/s时,汽车的固有频率变为4 Hz
D.当车速为10 m/s时,汽车的振动频率为1.5 Hz
【解析】选A。相邻两个减速带之间的距离为d=2.5 m,则当汽车最颠簸时,汽车产生共振,则速度v==df=3.75 m/s,并不是汽车的行驶速度越快,颠簸越厉害,选项A正确,B错误;汽车的固有频率由汽车本身的结构决定,与车速无关,选项C错误; 当车速为10 m/s时,此时驱动力的频率为f'== Hz=4 Hz,即此时汽车的振动频率为4 Hz,选项D错误。
2.(2023·徐州模拟)某种振动式果树采摘机采收果实时,机器用金属手抓住树枝,通过振动摇落果实,适用于大多数干果和坚果的采收。下列说法正确的是 (　　)
A.工作中,树枝的振动频率小于采摘振动头的振动频率
B.采摘振动头振动频率增大,树枝的振动幅度可能增大
C.若采摘振动头停止振动,树枝的振动频率会逐渐减小
D.若拾果工人快速远离采摘机,他感到采摘机的振动声调升高
【解析】选B。工作中,树枝做受迫振动,树枝的振动频率等于采摘振动头的振动频率,选项A错误;采摘振动头振动频率增大,有可能接近树枝的固有频率,树枝的振动幅度可能增大,选项B正确;若采摘振动头停止振动,树枝的振动频率不变,振幅会逐渐减小,选项C错误;根据多普勒效应,若拾果工人快速远离采摘机,他感到采摘机的振动声调降低,选项D错误。
3.(2023·荆州模拟)如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线,g取9.8 m/s2,则下列说法不正确的是 (　　)
A.若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行,且摆长相同,则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两个受迫振动是在地球上同一地点进行,则两个摆长之比lⅠ∶lⅡ=25∶4
C.图线Ⅱ若表示是在地面上完成的,则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m,则图线Ⅰ表示是在地面上完成的
【解析】选D。图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等,从图线上可以看出,两摆的固有频率fⅠ=0.2 Hz,fⅡ=0.5 Hz;当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时,根据公式f=可知,g越大,f越大,所以
gⅡ>gⅠ,又因为g地>g月,因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线,选项A正确;若在地球上同一地点进行两次受迫振动,g相同,摆长越长,则f越小,且有=,所以=,选项B正确;fⅡ=0.5 Hz,若图线Ⅱ表示是在地面上完成的,根据
g=9.8 m/s2,f=,可计算出lⅡ约为1 m,选项C正确,D错误。
【加固训练】
　　(2023·安庆模拟)一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,π2≈g,则 (　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为10 m
C.若摆长增大,单摆的固有频率减小
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
【解析】选C。由共振曲线可知,此单摆的固有频率约为f=0.5 Hz,所以固有周期约为T==2 s,选项A错误;根据单摆周期公式T=2π得l=≈ m=1 m,选项B错误;根据单摆周期公式得,若摆长增大,则单摆的固有周期增大,所以固有频率减小,共振曲线的峰将向左移动,选项C正确,D错误。
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