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第四章
曲线运动　万有引力与宇宙航行
专题突破八　卫星(或天体)运动的“四类热点”问题
1.理解三种宇宙速度,并会计算第一宇宙速度的大小。2.了解卫星的发射与变轨模型,会处理相关问题。3.掌握双星和多星模型,会用动力学观点解决相关问题。4.会分析卫星的“追及”问题。
1.宇宙速度。
(1)三种宇宙速度比较。
题型1　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行比较
宇宙速度 数值(km/s) 意义
第一宇宙速度 7.9 地球卫星最小发射速度(环绕速度)
第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)

2.同步卫星。
(1)轨道平面与赤道共面,且与地球自转方向相同。
(2)周期与地球自转周期相同,T=24 h。
(3)高度固定不变,h=3.6×107 m。
(4)运行速率均为3.1 km/s。
3.寻找相同点,巧妙比较各物理量。
(1)近地卫星与同步卫星的运行原理相同,均由万有引力提供向心力,由于r近a同,v近>v同,ω近>ω同,T近(2)同步卫星与赤道上的物体周期(或角速度)相同,均等于地球自转周期 (或角速度),由于r物(3)近地卫星和赤道上的物体的轨道半径相同,但两者的运行原理不同,前者由万有引力提供向心力,后者由万有引力的分力提供向心力。两者的加速度、线速度、角速度、周期等物理量可通过同步卫星间接比较。
【典例1】　如图所示,a为放在赤道上相对地球静止的物体,随地球自转做匀速圆周运动,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径),c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　)
A.b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小
关系为aa>ab>ac
C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D.在b、c中,b的速度大

答案　D


答案　AD
1.卫星发射及变轨过程概述。
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示。
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
题型2　卫星的发射和变轨

考向1　卫星变轨问题中各物理量的比较
【典例3】　北京时间2023年1月15日11时14分,中国在太原卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭,以“一箭十四星”发射方式,成功将14颗卫星发射升空,所有卫星顺利进入预定轨道。如图所示,火箭运行至P点时同时释放A、B两颗卫星,并分别将它们送入预定椭圆轨道1(A卫星)和椭圆轨道2(B卫星)。P点为椭圆轨道的近地点,B卫星在远地点Q处进行姿态调整并变轨到圆轨道3上运动,下列说法正确的是(　　)
A.两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时的加速度大小关系为aA>aB
B.两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时的速度大小关系为vA>vB
C.变轨前,B卫星在P点的机械能等于在Q点的机械能
D.B卫星在P点的动能小于其在轨道3上Q点的动能


答案　C
考向2　卫星对接问题
【典例4】　2022年11月30日清晨,“神舟十五号”载人飞船和空间站组合体实现对接,“神舟十五号”航天员乘组与“神舟十四号”航天员乘组相聚在中国人的“太空家园”,开启中国空间站长期有人驻留时代。假设空间站与“神舟十五号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间站的对接,下列措施可行的是(　　)
A.使飞船与空间站在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间站实现对接
B.使飞船与空间站在同一轨道上运行,然后空间站减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间站半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间站,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间站半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间站,两者速度接近时实现对接
解析　在同一轨道上运行时,加速做离心运动,减速做向心运动,均不能实现对接,A、B两项错误;飞船先在比空间站半径小的轨道上加速会做离心运动逐渐靠近空间站,两者速度接近时实现对接,C项正确;飞船先在比空间站半径小的轨道上减速会做向心运动,不可能与空间站实现对接,
D项错误。
答案　C
两类变轨情况分析
两类 变轨 离心运动 近心运动
变轨 起因 飞行器速度突然增大 飞行器速度突然减小
受力 分析
变轨 结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
1.双星模型。
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图所示。
题型3　双星和多星模型


2.多星模型。
(1)定义:所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型。
①三颗星体位于同一直线上,两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
(3)四星模型。
一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
另一种是三颗质量相等的星体位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
考向1　双星模型
【典例5】　(多选)经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”, “双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体。如图所示,甲、乙两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L,甲的公转周期为T,引力常量为G。甲、乙的质量分别为m1、m2,甲、乙各自做圆周运动的轨道半径之比为r1∶r2=2∶3,则可知(　　)


答案　CD
用好双星模型中的“三同”,轻松解题
(1)双星做圆周运动的圆心相同。
(2)双星做圆周运动的周期(或角速度)相同。
(3)双星做圆周运动的向心力大小相同,均等于彼此相互作用的万有引力。
考向2　多星模型
【典例6】　 (多选)如图所示,质量相等的三颗星组成三星系统,其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为m,三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上,它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G,下列说法正确的是(　　)



答案　BC

题型4　卫星的“追及”问题



答案　B

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