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第二章
相互作用——力
专题突破四　动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题
1.学会用解析法、图解法、相似三角形法等解答动态平衡问题。2.会用极限分析法或数学分析法等解答平衡中的临界和极值问题。
1.动态平衡问题是指物体的受力状态缓慢发生变化,但在变化过程中,每一个状态均可视为平衡状态。
2.基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
题型1　动态平衡问题
考向1　解析法
【典例1】　(多选)如图所示,一根不可伸长的轻绳两端连接两轻环A、B,两环分别套在相互垂直的水平杆和竖直杆上,轻绳绕过光滑的轻小滑轮,重物悬挂于滑轮下,始终处于静止状态,下列说法正确的是(　　)
A.只将环A向下移动少许,绳上拉力变大,环B所受摩擦力变小
B.只将环A向下移动少许,绳上拉力不变,环B所受摩擦力不变
C.只将环B向右移动少许,绳上拉力变大,环A所受杆的弹力变大
D.只将环B向右移动少许,绳上拉力不变,环A所受杆的弹力变小

答案　BC
考向2　图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
【典例2】　 如图所示,小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上,当细绳由水平方向逐渐向上缓慢偏移时,细绳的拉力将(　　)
A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.先逐渐增大后逐渐减小
D.先逐渐减小后逐渐增大
解析　如图所示,以小球为研究对象,小球受到重力、细绳的拉力和斜面的支持力,三力平衡。根据平衡条件得知拉力与支持力的合力与重力大小相等,方向相反,且重力保持不变,作出三个位置拉力与支持力的合成示意图,可得细绳由水平方向逐渐向
上偏移时,拉力F先逐渐减小后逐渐
增大,D项正确。
答案　D
考向3　相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【典例3】　如图所示是一个简易起吊设施的示意图,AC是质量不计的撑杆,A端与竖直墙之间用铰链连接,一滑轮固定在A点正上方,C端吊一重物。现施加一拉力F将重物P缓慢向上拉,在AC杆达到竖直状态前
(　　)
A.BC绳中的拉力FT越来越大
B.BC绳中的拉力FT越来越小
C.AC杆中的支持力FN越来越大
D.AC杆中的支持力FN越来越小

答案　B
考向4　外接圆法
物体在三个力作用下处于平衡状态,且其中一个力是恒力,另外两个力方向均发生变化,但两者的夹角不变。作出力的合成图后发现力的矢量三角形中有一条边和所对的角度是不变的,画出三角形的外接圆,由线段的长度变化分析力的大小变化。
【典例4】　(2022·河北卷)如图,用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点,将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平,绳与木板之间的夹角保持不变,忽略圆柱体与木板之间的摩擦,在转动过程中(　　)
A.圆柱体对木板压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
解析　设两根细绳对圆柱体的拉力的合力为FT,木板对圆柱体的支持力为FN,由平衡条件得FT、FN的合力方向竖直向上,大小等于圆柱体的重力G。作合成图中三角形的外接圆,初状态时FN水平向左,FT过圆的圆心,如图中实线所示。木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中,
FT、FN的夹角不变,且合力不变,如图中虚线所示,可知两根细绳对圆柱体拉力的合力FT一直减小,木板对圆柱体的支持力FN先增大后减小,根据牛顿第三定律得圆柱体对木板的压力先增大后减小,A、D两项错误, B项正确;两根细绳的夹角不变,随着合力的减小,两根细绳上的拉力也一直减小,C项错误。
答案　B
临界、极值问题的特征。
(1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用 “刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的情形如:①“物体刚好滑动”,指摩擦力达到最大静摩擦力的临界状态;②“绳子恰好绷紧”,指绳子伸直,但拉力F=0的临界状态;③“物体刚好离开接触面”,指两物体接触,但弹力FN=0的临界状态。
题型2　平衡中的临界和极值问题
(2)极值问题:平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
考向1　数学分析法
通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系 (画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、 三角函数极值等)。


答案　B
考向2　物理分析法
根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。


答案　A
考向3　极限分析法
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小。
【典例7】　在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时,如因吊绳无处钩挂而遇到困难,可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧),用两个吊钩勾住绳圈长边的中点起吊(如图所示),若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ,为了满足安全起吊(不考虑钢丝绳断裂),需要满足的条件是(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A.tan α>μ B.tan α<μ
C.sin α>μ D.sin α<μ
解析　要起吊重物,只需满足绳子张力T的竖直分量小于钢丝绳与板材之间的最大静摩擦力,一般情况最大静摩擦力等于滑动摩擦力,如图所示,即μTcos α>Tsin α,化简可得tan α<μ,B项正确,A、C、D三项错误。
答案　B

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