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贵州省2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2024·贵州）下列有理数中最小的数是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
2．（2024·贵州）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是 （　　）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州）计算的结果正确的是 （　　）
A． B． C． D．
4．（2024·贵州）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·贵州）一元二次方程的解是 （　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024·贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024·贵州）为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（　　）
A．100人 B．120人 C．150人 D．160人
8．（2024·贵州）如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是 （　　）
A． B． C． D．
9．（2024·贵州）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是 （　　）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
10．（2024·贵州）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 （　　）
A． B． C． D．
11．（2024·贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为，，则下列关系式正确的是 （　　）
A． B． C． D．
12．（2024·贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（　　）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，随的增大而减小
D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2024·贵州）计算的结果是　 　．
14．（2024·贵州）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接．若，则的长为　 　．
15．（2024·贵州）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是　 　．
16．（2024·贵州）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024·贵州）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2024·贵州）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由．
19．（2024·贵州）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
（1）男生成绩的众数为　 　，女生成绩的中位数为　 　；
（2）判断下列两位同学的说法是否正确．
（3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率．
20．（2024·贵州）如图，四边形的对角线与相交于点，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
21．（2024·贵州）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
22．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求，之间的距离（结果精确到．
（参考数据：，，
23．（2024·贵州）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．
（1）写出图中一个与相等的角：　 　；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
24．（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元 12 14 16 18 20
销售量盒 56 52 48 44 40
（1）求与的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值．
25．（2024·贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为　 　度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜4，
∴这四个数中最小的数是-2.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，直接比较可得答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是“ ”.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：2a+3a=(2+3)a=5a.
故答案为：A.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，据此计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=0，
x(x-2)=0，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2.
故答案为：B.
【分析】此一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，
则“技”所在的象限是第一象限.
故答案为：A，
【分析】根据“创”“新”的坐标可得表示“新”的点为坐标原点，然后以过这点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，建立出平面直角坐标系，再根据“技”所在的位置判断出所在的象限.
7．【答案】D
【知识点】用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：800×=160（人）.
故答案为：D.
【分析】用该校学生的总人数乘以样本中每月阅读经典作品两本以上的人数所占的比例即可估算出该校每月阅读经典作品两本以上的人数.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴A、B、D三个选项不一定成立，只有B选项一定成立.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的性质：对角线互相平分，对角相等，对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4， 由概率的意义可知： 小星定点投篮1次，不一定能投中 ，故A选项正确，B选项错误； 小星定点投篮10次，不一定能投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定能投中1次，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】概率是反映随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，但不代表一定会发生，据此逐一判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长计算公式“”直接计算即可.
11．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设“ ▲ ”的质量为z，
根据甲天平，得x+y=y+2z，整理得x=2z①，
根据乙天平，得x+z=x+2y，整理得z=2y②，
将②代入①得x=4y.
故答案为：C.
【分析】设“ ▲ ”的质量为z，根据甲、乙两个天平， 分别列等式x=2z①，z=2y②，再将②代入①即可得出答案.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，4），∴二次函数的对称轴直线为x=-1，故此选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线为x=-1，且与x轴一个交点的横坐标为-3，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为1，故此选项错误，不符合题意；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线为x=-1，且抛物线的开口向下，∴当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；
D、∵设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4，
将点（-3，0）代入得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4，
令抛物线y=-(x+1)2+4中的x=0得y=3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），即抛物线与y轴交点的纵坐标是3，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】此题告知了抛物线的顶点坐标，由抛物线的对称轴直线就是经过顶点且平行于y轴的一条直线，从而可得二次函数的对称轴直线为x=-1，据此可判断A选项；由抛物线的对称性，结合抛物线的对称轴直线及与x轴一个交点的横坐标可判断出抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，据此可判断B选项；由抛物线开口方向及顶点坐标，结合抛物线的增减性可判断C选项；利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令解析式中的x=0算出对应的函数值，即可判断D选项.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则“”直接计算即可.
14．【答案】5
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图过程可得点B、D都在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
∴AB=AD=5.
故答案为：5.
【分析】由同圆的半径相等可得答案.
15．【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设快马追上慢马需要x天，
由题意得240x=150（12+x），
解得x=20，
即快马追上慢马需要的天数是20天.
故答案为：20.
【分析】设快马追上慢马需要x天，根据追及问题的等量关系：快马x天所走的路程=慢马(x+20)天所走的路程建立方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF与BC的延长线相交于点H，则∠AGE=∠EGH=90°，
∵，AE=5，
∴EG=4，
在Rt△AEG中，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∵点E与点F分别是BC、CD的中点，
∴BE=CE=CF=DF=AB，
在△ABE与△ADF中，
∵AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴AE=AF=5，
∴FG=AF-AG=5-3=2，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△HCF，
∴，
∴AD=CH=AB，FH=AF=5，
∴GH=GF+FH=7，
在Rt△EGH中，
∵EH=AB+AB=AB，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EG⊥AF于点G，延长AF与BC的延长线相交于点H，则∠AGE=∠EGH=90°，由∠EAF得正弦函数值可求出EG的长，在Rt△AEG中，由勾股定理算出AG的长，由菱形的性质并结合中点定义，利用SAS判断出△ABE≌△ADF，得AE=AF=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△HCF，由相似三角形对应边成比例得AD=CH=AB，FH=AF=5，在Rt△EGH中，利用勾股定理算出EH即可解决此题.
17．【答案】（1）解：选取①②③这3个数进行求和得，
；
选取①②④这3个数进行求和得，
=4+2+1
=7；
选取②③④这3个数进行求和得，
=2+1+1
=4；
选取①③④这3个数进行求和得，
=4+1+1
=6；
（2）解：
，
当时，
原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）选取①②③这3个数进行求和，根据有理数的乘方运算法则、绝对值性质及0指数幂的性质“任何一个不为零的数的0次幂都等于1”分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
选取①②④这3个数进行求和得，根据有理数的乘方运算法则、绝对值性质及有理数的乘法运算法则分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
选取②③④这3个数进行求和得，根据绝对值性质、0指数幂的性质“任何一个不为零的数的0次幂都等于1”及有理数的乘法运算法则分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
选取①③④这3个数进行求和得，根据有理数的乘方运算法则、0指数幂的性质“任何一个不为零的数的0次幂都等于1”及有理数的乘法运算法则分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
（2）先根据平方差公式将第一个因式分解因式，同时利用提取公因式法将第二个因式的分母分解因式，然后计算乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
18．【答案】（1）解：将点代入，
得：，
∴ 反比例函数的表达式为；
（2）解：方法一：由图象得：；
方法二：将点，，代入，
得：，，，
．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）方法一：画出反比例函数图象的草图，根据三点的横坐标描出图象上三点的大概位置，再过这三点分别向y轴所在的直线引垂线，在垂足处标出三点对应的纵坐标的值，即可比较得出答案；
方法二：将三点的坐标分别代入比例函数的解析式可求出a、b、c得值，再比较即可.
19．【答案】（1）7.38；8.26
（2）解：小星同学的说法正确，小红同学的说法不正确，理由如下：
∵∵7.38＜7.61＜7.65
∴5名男生中成绩最好的是7.38秒，
∴小星同学的说法正确；
∵5名女生的成绩中超过8.3秒的有8.32秒，
名女生的成绩不都是优秀等次，
∴小红同学的说法不正确；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 　 （甲，乙） （甲，丙）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　
共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲），共4种，
甲被抽中的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）男生成绩中出现次数最多的是7.38，出现了4次，故男生成绩的众数为7.38；
将女生成绩按从低到高排列为：8.16、8.23、8.26、8.27、8.32，排最中间位置的数为8.26，
∴ 女生成绩的中位数为8.26；
故答案为：7.38；8.26；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）50米短跑成绩用时越少，成绩越好，据此可判断小星说法；由于规定女生50米短跑时间不超过8.3秒为优，可判断小红说法；
（3）根据题意画出表格，展示出所有等可能得情况数，由表可知：共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果数有4种，从而根据概率公式计算可得答案.
20．【答案】（1）解：选择①，证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
选择②，证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5
，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）选择①，首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形得出结论；选择②，首先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形得出结论；
（2）首先根据勾股定理算出BC的长，再根据矩形的面积等于两邻边之积列式计算即可.
21．【答案】（1）解：设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要名学生，
根据题意得：，
解得：．
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生；
（2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，
根据题意得：，
解得：5≤m≤10，
的最小值为5．
答：至少种植甲作物5亩．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设种植1亩甲作物需要名x学生，种植1亩乙作物需要y名学生，根据“ 种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生 ”列出方程组，求解即可；
（2）设种植甲作物m亩，则种植乙作物（10-m）亩，根据“ 需学生人数不超过55人及种植乙种作物的数量不小于0 ”列出不等式组，求出最小整数解即可.
22．【答案】（1）解：在中，，∠C=90°，
，
；
（2）解：由题意易得四边形ECNO是矩形，
∴，
在Rt△ONB中，∠B=45°，
，
又，
，
．
【知识点】矩形底座模型
【解析】【分析】（1）由等角对等边可解决此题；
（2）由题意易得四边形ECNO是矩形，由矩形的对比相等并结合中点定义得ON=EC=10cm，由等腰直角三角形性质得NB=ON=10cm，在Rt△OND中，用∠DON的正切函数可求出ND的长，最后根据BD=BN-DN计算可得答案.
23．【答案】（1）
（2）证明：连接，
与半圆相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
设，，
，
，，
，
，
或（不合题意舍去），
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
故答案为：∠DCE；
【分析】（1）由等边对等角可得答案；
（2）连接OC，由切线的性质可得∠OCD=∠DCE+∠ACO=90°，由等边对等角得∠A=∠ACO，结合对顶角相等及等量代换推出∠A+∠AEO=90°，由三角形的内角和定理得∠AOE=90°，从而得出结论；
（3）设OE=x，则OA=OF=2x，DE=DC=x+2，OD=2x+2，在Rt△OCD中，用勾股定理建立方程求出x的值，从而得出OD、OC、CD的长；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠D=∠COP，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CDO∽△COP，由相似三角形对应边成比例可求出OP的长，最后根据BP=OP-OB可算出答案.
24．【答案】（1）解：设．
．
解得：．
；
（2）解：设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：
．
最大利润为392元，
．
整理得：．
．
解得：，．
当时，，
每盒糖果的利润（元），故舍去．
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）设日销售利润为w元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，再把函数解析式配成顶点式，结合函数解析式的性质可得答案；
（3） 赠送礼品后，每千克糖果的利润为(x-10-m)元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而根据日销售获得的最大利润为392元，结合顶点纵坐标公式建立方程，求解得出m的值，再检验即可得出符合题意的答案.
25．【答案】（1）90
（2）证明：如图，过作于点．
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
（3）解：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵AP⊥OA，PC⊥OB，
∴∠A=∠PCO=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴四边形OACP是矩形，
∴∠APC=90°.
故答案为：90°；
【分析】（1）由垂直的定义得∠A=∠PCO=90°，结合∠AOB=90°，根据有三个角是直角的 四边形是矩形得出四边形OACP是矩形，进而根据矩形的四个角都是直角可得∠APC的度数；
（2）过点P作PC⊥OB于点C，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PC，由有一组邻边相等得矩形是正方形得四边形OAPC是正方形，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，最后根据线段的和差及等量代换可得结论；
（3）分类讨论：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G，设OM=x，则ON=3x，OA=AP=2x，结合（2）得结论可推出AM=OM=x，从而用ASA证△MON≌△MAG，由全等三角形的性质得AG=ON=3x；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ONF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出答案；②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，由线段和差推出ON-OM=2OA，由ON=3OM推出AO=x，CN=AM=x；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△CGN∽△OMN，由相似三角形对应边成比例可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△OMF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出，从而得出，综上即可得出答案.
1 / 1贵州省2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2024·贵州）下列有理数中最小的数是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜4，
∴这四个数中最小的数是-2.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，直接比较可得答案.
2．（2024·贵州）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是“ ”.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断得出答案.
3．（2024·贵州）计算的结果正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：2a+3a=(2+3)a=5a.
故答案为：A.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，据此计算可得答案.
4．（2024·贵州）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
5．（2024·贵州）一元二次方程的解是 （　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=0，
x(x-2)=0，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2.
故答案为：B.
【分析】此一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
6．（2024·贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，
则“技”所在的象限是第一象限.
故答案为：A，
【分析】根据“创”“新”的坐标可得表示“新”的点为坐标原点，然后以过这点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，建立出平面直角坐标系，再根据“技”所在的位置判断出所在的象限.
7．（2024·贵州）为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（　　）
A．100人 B．120人 C．150人 D．160人
【答案】D
【知识点】用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：800×=160（人）.
故答案为：D.
【分析】用该校学生的总人数乘以样本中每月阅读经典作品两本以上的人数所占的比例即可估算出该校每月阅读经典作品两本以上的人数.
8．（2024·贵州）如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴A、B、D三个选项不一定成立，只有B选项一定成立.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的性质：对角线互相平分，对角相等，对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
9．（2024·贵州）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是 （　　）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4， 由概率的意义可知： 小星定点投篮1次，不一定能投中 ，故A选项正确，B选项错误； 小星定点投篮10次，不一定能投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定能投中1次，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】概率是反映随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，但不代表一定会发生，据此逐一判断得出答案.
10．（2024·贵州）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长计算公式“”直接计算即可.
11．（2024·贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为，，则下列关系式正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设“ ▲ ”的质量为z，
根据甲天平，得x+y=y+2z，整理得x=2z①，
根据乙天平，得x+z=x+2y，整理得z=2y②，
将②代入①得x=4y.
故答案为：C.
【分析】设“ ▲ ”的质量为z，根据甲、乙两个天平， 分别列等式x=2z①，z=2y②，再将②代入①即可得出答案.
12．（2024·贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（　　）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，随的增大而减小
D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，4），∴二次函数的对称轴直线为x=-1，故此选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线为x=-1，且与x轴一个交点的横坐标为-3，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为1，故此选项错误，不符合题意；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线为x=-1，且抛物线的开口向下，∴当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；
D、∵设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4，
将点（-3，0）代入得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4，
令抛物线y=-(x+1)2+4中的x=0得y=3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），即抛物线与y轴交点的纵坐标是3，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】此题告知了抛物线的顶点坐标，由抛物线的对称轴直线就是经过顶点且平行于y轴的一条直线，从而可得二次函数的对称轴直线为x=-1，据此可判断A选项；由抛物线的对称性，结合抛物线的对称轴直线及与x轴一个交点的横坐标可判断出抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，据此可判断B选项；由抛物线开口方向及顶点坐标，结合抛物线的增减性可判断C选项；利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令解析式中的x=0算出对应的函数值，即可判断D选项.
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2024·贵州）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则“”直接计算即可.
14．（2024·贵州）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接．若，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图过程可得点B、D都在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
∴AB=AD=5.
故答案为：5.
【分析】由同圆的半径相等可得答案.
15．（2024·贵州）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是　 　．
【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设快马追上慢马需要x天，
由题意得240x=150（12+x），
解得x=20，
即快马追上慢马需要的天数是20天.
故答案为：20.
【分析】设快马追上慢马需要x天，根据追及问题的等量关系：快马x天所走的路程=慢马(x+20)天所走的路程建立方程，求解即可.
16．（2024·贵州）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF与BC的延长线相交于点H，则∠AGE=∠EGH=90°，
∵，AE=5，
∴EG=4，
在Rt△AEG中，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∵点E与点F分别是BC、CD的中点，
∴BE=CE=CF=DF=AB，
在△ABE与△ADF中，
∵AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴AE=AF=5，
∴FG=AF-AG=5-3=2，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△HCF，
∴，
∴AD=CH=AB，FH=AF=5，
∴GH=GF+FH=7，
在Rt△EGH中，
∵EH=AB+AB=AB，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EG⊥AF于点G，延长AF与BC的延长线相交于点H，则∠AGE=∠EGH=90°，由∠EAF得正弦函数值可求出EG的长，在Rt△AEG中，由勾股定理算出AG的长，由菱形的性质并结合中点定义，利用SAS判断出△ABE≌△ADF，得AE=AF=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△HCF，由相似三角形对应边成比例得AD=CH=AB，FH=AF=5，在Rt△EGH中，利用勾股定理算出EH即可解决此题.
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024·贵州）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：选取①②③这3个数进行求和得，
；
选取①②④这3个数进行求和得，
=4+2+1
=7；
选取②③④这3个数进行求和得，
=2+1+1
=4；
选取①③④这3个数进行求和得，
=4+1+1
=6；
（2）解：
，
当时，
原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）选取①②③这3个数进行求和，根据有理数的乘方运算法则、绝对值性质及0指数幂的性质“任何一个不为零的数的0次幂都等于1”分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
选取①②④这3个数进行求和得，根据有理数的乘方运算法则、绝对值性质及有理数的乘法运算法则分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
选取②③④这3个数进行求和得，根据绝对值性质、0指数幂的性质“任何一个不为零的数的0次幂都等于1”及有理数的乘法运算法则分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
选取①③④这3个数进行求和得，根据有理数的乘方运算法则、0指数幂的性质“任何一个不为零的数的0次幂都等于1”及有理数的乘法运算法则分别计算，再计算有理数的加法法则可得答案；
（2）先根据平方差公式将第一个因式分解因式，同时利用提取公因式法将第二个因式的分母分解因式，然后计算乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
18．（2024·贵州）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：将点代入，
得：，
∴ 反比例函数的表达式为；
（2）解：方法一：由图象得：；
方法二：将点，，代入，
得：，，，
．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）方法一：画出反比例函数图象的草图，根据三点的横坐标描出图象上三点的大概位置，再过这三点分别向y轴所在的直线引垂线，在垂足处标出三点对应的纵坐标的值，即可比较得出答案；
方法二：将三点的坐标分别代入比例函数的解析式可求出a、b、c得值，再比较即可.
19．（2024·贵州）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
（1）男生成绩的众数为　 　，女生成绩的中位数为　 　；
（2）判断下列两位同学的说法是否正确．
（3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率．
【答案】（1）7.38；8.26
（2）解：小星同学的说法正确，小红同学的说法不正确，理由如下：
∵∵7.38＜7.61＜7.65
∴5名男生中成绩最好的是7.38秒，
∴小星同学的说法正确；
∵5名女生的成绩中超过8.3秒的有8.32秒，
名女生的成绩不都是优秀等次，
∴小红同学的说法不正确；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 　 （甲，乙） （甲，丙）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　
共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲），共4种，
甲被抽中的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）男生成绩中出现次数最多的是7.38，出现了4次，故男生成绩的众数为7.38；
将女生成绩按从低到高排列为：8.16、8.23、8.26、8.27、8.32，排最中间位置的数为8.26，
∴ 女生成绩的中位数为8.26；
故答案为：7.38；8.26；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）50米短跑成绩用时越少，成绩越好，据此可判断小星说法；由于规定女生50米短跑时间不超过8.3秒为优，可判断小红说法；
（3）根据题意画出表格，展示出所有等可能得情况数，由表可知：共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果数有4种，从而根据概率公式计算可得答案.
20．（2024·贵州）如图，四边形的对角线与相交于点，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：选择①，证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
选择②，证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5
，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）选择①，首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形得出结论；选择②，首先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形得出结论；
（2）首先根据勾股定理算出BC的长，再根据矩形的面积等于两邻边之积列式计算即可.
21．（2024·贵州）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【答案】（1）解：设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要名学生，
根据题意得：，
解得：．
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生；
（2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，
根据题意得：，
解得：5≤m≤10，
的最小值为5．
答：至少种植甲作物5亩．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设种植1亩甲作物需要名x学生，种植1亩乙作物需要y名学生，根据“ 种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生 ”列出方程组，求解即可；
（2）设种植甲作物m亩，则种植乙作物（10-m）亩，根据“ 需学生人数不超过55人及种植乙种作物的数量不小于0 ”列出不等式组，求出最小整数解即可.
22．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求，之间的距离（结果精确到．
（参考数据：，，
【答案】（1）解：在中，，∠C=90°，
，
；
（2）解：由题意易得四边形ECNO是矩形，
∴，
在Rt△ONB中，∠B=45°，
，
又，
，
．
【知识点】矩形底座模型
【解析】【分析】（1）由等角对等边可解决此题；
（2）由题意易得四边形ECNO是矩形，由矩形的对比相等并结合中点定义得ON=EC=10cm，由等腰直角三角形性质得NB=ON=10cm，在Rt△OND中，用∠DON的正切函数可求出ND的长，最后根据BD=BN-DN计算可得答案.
23．（2024·贵州）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．
（1）写出图中一个与相等的角：　 　；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）证明：连接，
与半圆相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
设，，
，
，，
，
，
或（不合题意舍去），
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
故答案为：∠DCE；
【分析】（1）由等边对等角可得答案；
（2）连接OC，由切线的性质可得∠OCD=∠DCE+∠ACO=90°，由等边对等角得∠A=∠ACO，结合对顶角相等及等量代换推出∠A+∠AEO=90°，由三角形的内角和定理得∠AOE=90°，从而得出结论；
（3）设OE=x，则OA=OF=2x，DE=DC=x+2，OD=2x+2，在Rt△OCD中，用勾股定理建立方程求出x的值，从而得出OD、OC、CD的长；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠D=∠COP，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CDO∽△COP，由相似三角形对应边成比例可求出OP的长，最后根据BP=OP-OB可算出答案.
24．（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元 12 14 16 18 20
销售量盒 56 52 48 44 40
（1）求与的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值．
【答案】（1）解：设．
．
解得：．
；
（2）解：设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：
．
最大利润为392元，
．
整理得：．
．
解得：，．
当时，，
每盒糖果的利润（元），故舍去．
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）设日销售利润为w元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，再把函数解析式配成顶点式，结合函数解析式的性质可得答案；
（3） 赠送礼品后，每千克糖果的利润为(x-10-m)元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而根据日销售获得的最大利润为392元，结合顶点纵坐标公式建立方程，求解得出m的值，再检验即可得出符合题意的答案.
25．（2024·贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为　 　度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【答案】（1）90
（2）证明：如图，过作于点．
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
（3）解：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵AP⊥OA，PC⊥OB，
∴∠A=∠PCO=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴四边形OACP是矩形，
∴∠APC=90°.
故答案为：90°；
【分析】（1）由垂直的定义得∠A=∠PCO=90°，结合∠AOB=90°，根据有三个角是直角的 四边形是矩形得出四边形OACP是矩形，进而根据矩形的四个角都是直角可得∠APC的度数；
（2）过点P作PC⊥OB于点C，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PC，由有一组邻边相等得矩形是正方形得四边形OAPC是正方形，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，最后根据线段的和差及等量代换可得结论；
（3）分类讨论：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G，设OM=x，则ON=3x，OA=AP=2x，结合（2）得结论可推出AM=OM=x，从而用ASA证△MON≌△MAG，由全等三角形的性质得AG=ON=3x；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ONF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出答案；②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，由线段和差推出ON-OM=2OA，由ON=3OM推出AO=x，CN=AM=x；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△CGN∽△OMN，由相似三角形对应边成比例可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△OMF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出，从而得出，综上即可得出答案.
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