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专题4.8 四点共圆
1.四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
2．四点共圆的性质
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．
(2)圆内接四边形的对角互补．
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
3．四点共圆的判定
(1)用“角”判定：
①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；
②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；
③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．
(2)“等线段”判定：
四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．
(3)用“比例线段”判定：
若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.
模型解读：
模型1：对角互补型：
若∠A+∠C=180 或∠B+∠D=180 ,
则A、B、C、D四点共圆
模型2：同侧等角型
（1）若∠A=∠C,
则A、B、C、D四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB
结论：①△OAC∽△OBD
②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
模型3：直径是圆中最长的弦
1.定圆中最长的弦是直径；
2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
【典例1】如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
如图，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ADC＝∠ABE＝60°，
∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，
∴S△ABC＝＝＝300km2．
则当△ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大．
当AD＝CD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大．
在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，
∵∠ADF＝＝30°，
∴DF＝AF＝5km，
∴S△ADC＝＝＝925km2．
300+925＝1225km2．
∴四边形ABCD的最大面积为1225km2．
【变式1-1】如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积，
∴四边形ACBD的面积＝AB DE+AB DF
＝AB （DE+DF），
∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，
即当DE+DF＝时，
四边形ACBD的面积＝××＝16，
∴四边形ACBD面积的最大值为16．
【变式1-2】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则BD的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴A、E、D、F四点共圆，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴DE＝DF＝6，
∵∠BDC＝120°，
∴∠CDE＝60°＝∠FAC，
∵∠ACD＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAF，
∴AF：AC＝DE：CD＝6：10＝3：5，
如图，延长CF到P，使DP＝DB，
∵∠PBD＝60°，
∴△BDP为等边三角形，
∴∠P＝60°，
∴△AFC∽△PFB，
∴PF：PB＝AF：AC＝3：5，
设每一份为k，
∴PB＝PD＝5k，PF＝3k，
∴DF＝2k＝6，
∴k＝3，
∴BD＝5k＝15．
故选：C．
【变式1-3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，则点A′到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∵，，
∴AB＝＝＝5，
∴AD＝BD＝，
根据折叠的性质可得，AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，
∴A′D＝AD＝，
∴△AA′B为直角三角形，
∴A、B、A′、C四点共圆，
以AB为直径，D为圆心作圆，过点A′作A′F⊥AB，设CD与AA′交于点O，如图，
∵，
∴∠A′CO＝∠BAO，
∵∠A′OC＝∠BOA，
∴△A′OC∽△BOA，
∴，
设OC＝x，则OB＝BC﹣OC＝，
∴，
∴OA＝，OA′＝2﹣，
在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，
∴，
解得：x＝或（舍去），
∴OA′＝2﹣＝，OB＝2＝，
在Rt△OA′B中，A′B＝＝＝3，
设DF＝a，则BF＝BD﹣DF＝，
在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，
在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，
∴，
解得：a＝，
∴A′F＝＝，
即点A′到AB的距离是．
故选：B．
【变式1-4】如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤
【答案】D
【解答】解：在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE；
连接AC，
∵△ADG≌△CDE，
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠DAG+∠CAG+∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠CAG+∠ACD＝90°，
即∠AHC＝180°﹣（∠DCE+∠CAG+∠ACD）＝90°，
∴AG⊥CE；
∵AG⊥CE，∠GDE＝90°，
∴点G、D、H、E四点在以EG为半径的圆上；
∵a和b不一定相等，
∴DH不一定平分∠ADE；
连接AC，AE，EG，CG，
∵AH2+CH2＝AC2，HG2+HE2＝EG2
∴AC2+EG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，
∵AH2+EH2＝AE2，CH2+HG2＝CG2，
∴AE2+CG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，
即AC2+EG2＝CG2+AE2，
∴①②③⑤结论正确；
故选：D．
【变式1-5】如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，
此时C点在的中点处，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，
∴CB+CD最大值为AC＝4，
故选：A．
【变式1-6】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，则DF＝　6　，△ABC的面积为 　　．
【答案】6，．
【解答】解：连接AD，过点A作AG⊥BC于点G，如图，
根据折叠的性质可得，∠CED＝∠DEF，∠C＝∠DFE，
∵∠AFD＝∠DEF，
∴∠CED＝∠AFD，
∴A、F、D、E四点共圆，
∴∠DAF＝∠DEF，∠CAD＝∠DFE，
∴∠AFD＝∠DAF，∠CAD＝∠C，
∴DF＝AD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CED＝∠DEF＝∠DAF，
∴△BAD∽△CED，
∴，
∵DE＝4，BD＝9，DF＝AD＝CD，
∴，
∴DF＝AD＝CD＝6，
∴BC＝BD+CD＝9+6＝15，
∵AG⊥BC，AB＝AC，
∴BG＝CG＝＝，
∴DG＝CG﹣CD＝＝，
在Rt△ADG中，由勾股定理得＝＝，
∴＝＝．
故答案为：6，．
【变式1-7】如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝　30°　，若AC＝10，CD＝9，则BE＝　　．
【答案】30°，．
【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC＝60°，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠DBE＝∠DCE＝30°，
∴∠ABE＝30°，
设BC＝x，则AB＝2x，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，
∵AC＝10，
∴（2x）2＝102+x2，
解得：x＝，
∴BC＝，
设DE＝a，则CE＝2a，
在Rt△CED中，
由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，
∵CD＝9，
∴（2a）2＝a2+92，
解得：a＝，
∴DE＝，CE＝，
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
在Rt△CBE中，
由勾股定理得＝．
【变式1-8】如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　　．
【答案】．
【解答】解：连接BD并延长，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∴B，E，D，F四点共圆，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠DBF＝∠DEF＝45°，
∴∠DBF＝∠DBE＝45°，
∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上，
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BD时，AD取最小值，
∴AD的最小值为AB＝，
故答案为：．
【变式1-9】【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 　　；
（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为 　　．
【答案】【问题情境】见解析；
【问题解决】（1）；
（2）．
【解答】【问题情境】证明：如图，连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，O为AC的中点，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC，
∴A、B、C、D四点共圆；
【问题解决】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，点E是边CD的中点，AB＝2，
∴AD＝2，DE＝1，
∴AE＝，
由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，如图，
∴∠PAE＝∠PDE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠PDE＝∠PAE＝45°，
∵EP⊥AF，
∴△PAE为等腰直角三角形，
设AP长为a，则PE长为a，
∴AP2+PE2＝AE2，
即，
解得：a1＝，（不合题意，舍去），
∴线段AP的长度为；
故答案为：；
（2）由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，
如图，过点O作OG⊥AD于点G，作OH⊥AB于点H，连接OB交⊙O于点P′，连接PB，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠PMB＝∠MBN＝∠PNB＝90°，
∴四边形MBNP为矩形，
∴MN＝PB，
要求MN的最小值，即求PB的最小值，
由（1）知，AE＝，
∴，
∵OG⊥AD，且点O为AE的中点，
∴OG∥DE，
∴OG为△ADE的中位线，
∴AG＝1，OG＝，
∵OG⊥AD，OH⊥AB，
∴四边形AHOG为矩形，
∴AH＝OG＝，OH＝AG＝1，
∴BH＝，
在Rt△BHO中，，
根据两点之间线段最短得，PB+OP≥OB，
PB≥OB﹣OP＝，
∴PB的最小值为，
∴MN的最小值为．
故答案为：．
【变式1-10】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A，D，B，E四点共圆．
【答案】（1）10°；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：由旋转知，AD＝AC，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣80°＝10°；
（2）证明：连接BE，
由旋转知，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝10°，
∴∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD＝90°﹣10°＝80°，
∴∠EBA＝∠BEA＝×（180°﹣∠EAB）＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBD＝∠EBA+∠ABC＝50°+40°＝90°，
即△EBD是以ED为斜边的直角三角形，
又∵△EAD也是以ED边为斜边的直角三角形，
∴A，D，B，E四点在以ED为直径的圆上，
即A，D，B，E四点共圆．
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专题4.8 四点共圆
1.四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
2．四点共圆的性质
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．
(2)圆内接四边形的对角互补．
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
3．四点共圆的判定
(1)用“角”判定：
①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；
②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；
③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．
(2)“等线段”判定：
四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．
(3)用“比例线段”判定：
若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.
模型解读：
模型1：对角互补型：
若∠A+∠C=180 或∠B+∠D=180 ,
则A、B、C、D四点共圆
模型2：同侧等角型
（1）若∠A=∠C,
则A、B、C、D四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB
结论：①△OAC∽△OBD
②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
模型3：直径是圆中最长的弦
1.定圆中最长的弦是直径；
2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
【典例1】如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．
【变式1-1】如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．
【变式1-2】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则BD的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
【变式1-3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，则点A′到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-4】如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤
【变式1-5】如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　）
A．4 B．8 C．10 D．6
【变式1-6】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，则DF＝　，△ABC的面积为 　　．
【变式1-7】如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝　　，若AC＝10，CD＝9，则BE＝　　．
【变式1-8】如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　　．
【变式1-9】【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 　　；
（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为 　　．
【变式1-10】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A，D，B，E四点共圆．
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