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2023-2024学年广东省深圳中学初中部八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果不等式的解集为，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，不含因式的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形中，，分别在边，上，，则图中的平行四边形共有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
4.若是关于的方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，中，于点，于点，交于点，若，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知分式为常数满足下列表格中的信息：
的取值
分式的取值 无意义
以下结论中错误的是( )
A. B. C. D.
7.下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是( )
A. B. C. D.
8.已知某四边形的两条对角线相交于点动点从点出发，沿四边形的边按的路径匀速运动到点设点运动的时间为，线段的长为，表示与的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是( )
A. B.
C. D.
9.对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：请根据上述定义解决问题：若不等式有个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知一元二次方程的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：______．
12.在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有______个
13.将分式化为最简分式，所得结果是______．
14.如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，连结，，为的中点，为的中点，连结，则长的最小值为______．
15.如图，动点在正方形内，射线与边有交点，连接，过点作的垂线交射线于点若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；；其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：；
解不等式组．
17.本小题分
分解因式：；
先化简，再求值，，其中．
18.本小题分
如图，是的角平分线，、分别是和的高．
求证：；垂直平分．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，和的顶点的坐标都是整数，已知点，．
将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，请在图中画出；
将绕点逆时针旋转，得到，其中点，分别与点，对应，请在图中画出；
与关于平面内某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
20.本小题分
如图，已知矩形，，，是上一动点，、、分别是、、的中点．
求证：四边形是平行四边形；
当为何值时，四边形是菱形？并给出证明．
21.本小题分
小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
在的条件下，小亮希望日销量不低于台，则台灯的售价不能超过多少元台？
“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
22.本小题分
如图，在正方形中，点是对角线上一点与点、不重合，连结、．
求证：≌；
将线段绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处与点不重合，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由；
在的条件下，当 ______时，射线是的三等分线．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：
，，，
，
；
，
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集是：．
17.解：
；
，
当时，
原式．
18.证明：是的角平分线，，，
，
；
在和中
，
≌，
，
而，
垂直平分．
19.如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
．
20.证明：，分别为，的中点，
，
同理可证：，
四边形为平行四边形；
解：当时，四边形为菱形．
理由：四边形是矩形，
，，
，，
，
在和中，
，，，
≌，
，
，，分别是，，的中点，
，，
，
四边形是菱形．
21.解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
，
解得，
所以台灯的售价不能超过元；
根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
22.证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
解：的大小不发生变化，；
过点作，，垂足分别为点、，如图，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
，
，
即；
或．
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