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2023-2024学年重庆市七校联盟高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知两个互斥事件，满足，，则( )
A. B. C. D.
3.正方体中，直线与直线夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4.三棱锥中，与面所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
5.中，角，，所对应的边分别是，，，，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为，则甲成功破译密码的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，非零向量满足对都有成立，则的值为( )
A. B. C. D.
8.边长为的正三角形的内切圆上有一点，已知，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛一枚质地均匀的硬币两次，事件：“第次硬币正面朝上”，事件：“第次硬币正面朝上”，事件：“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.关于的方程在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.如果一个多面体由两个及其两个以上的正多边形组成，我们称这样的多面体是半正多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个由正方形和正三角形构成的半正多面体笔筒，其中面面，且两个正方形的中心的连线与这两个正方形所在平面垂直，，，且所有的棱长都为，则下列说法正确的是( )
A. 该多面体有个面
B. 平面与平面的距离是
C. 该几何体外接球的表面积是
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数：，，，，，这组数的第四十百分位数是______．
13.已知圆锥的母线长为，底面圆的周长为，则该圆锥的内切球的体积为______．
14.已知，，，的平均数和方差分别是，，若，则，，，的平均数是______，，，，的方差是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了位考生的成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
估计这名学生的数学成绩的平均数与中位数；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，不能整除的保留位小数
为了进一步了解分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在分数段的同学中按组，各算一组从样本中分层抽取了个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这个人中随机抽取个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于的概率．
16.本小题分
如图所示的直三棱柱的每条棱长均为，，分别是棱，的中点，，分别是棱，上的点，平面平面．
求证：是的中点；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
中，角，，所对应的边分别是，，，且．
求；
若，求边上高的最大值．
18.本小题分
如图，在中，，，．
用，表示；
求证：、、三点共线；
若，，，求．
19.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是平行四边形，是正三角形，，，面面，．
求证：平面；
当时，
若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值；
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由．
参考答案
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15.解：平均数为，
第一组频率，
第二组频率，
第三组频率，
因为，而，
所以中位数在之间，设中位数为，
则，
解得．
从成绩在分数段的同学中按组，各算一组从样本中分层抽取了个人，
则中的人数为人，
中的人数为人，共人，
则需从中的人数抽取人，
则需从中的人数抽取人，
则从中抽取位学生的数学成绩，这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于的概率为．
16.解：证明：平面平面，
又平面平面，平面平面，
，又是棱的中点，是的中点，
同理可证，是的中点；
，分别是棱，的中点，
三棱锥的体积为：
．
17.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，可得，
所以，
在中，，
可得，
即，
因为，可得，
可得；
，设边上高为，
则，
而，
可得，
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
即，
所以．
即边上高的最大值为．
18.解：依题意有是中点，所以，
又，所以，
．
证明：由有，又，所以，
所以，又，
所以，向量与有公共点，
所以，，三点共线．
因为，所以，
在中由余弦定理得，
即，所以，
由有，所以，
，
所以，因为，所以，
在中由余弦定理得，
即．
19.证明：因为，，且四边形是平行四边形，
所以，，所以．
因为平面平面，且平面平面，平面，
由平面与平面垂直的性质得平面．
解：如图所示，反向延长至点，过点作，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面又因为平面，所以．
设平行四边形对角线交点为，连接，，连接，反向延长交于，
因为点为的重心，即为的中点，
过点作平面交平面于，
又因为平面，所以，
且，，三点在同一条直线，所以，且点在上，
连接，则为直线与平面的夹角．
因为点为的重心，点为的中点，
所以，且∽，
所以，
又因为为等边三角形，，
所以，，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
则．
因为四边形是平行四边形，，，，
所以，，
即，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，且，
所以，
解得，即，
所以，
故直线与平面的夹角的正弦值为．
棱存在一点，使得二面角的余弦值为，
即点与点重合，，
由可知，，，，
即，所以．
如图所示，过点作交于，连接，
在中，，即，
因为，，所以∽，
即，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得，
因为，
所以，
所以为平面与平面的夹角，
在中，由余弦定理得，
所以二面角夹角余弦值为，
故当点与点重合时，二面角的余弦值为，
所以棱存在一点，使得二面角的余弦值为，
即点与点重合，．
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