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2023-2024学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D.
3.如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为( )
A. B. C. D.
4.要使二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，在 中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
6.某班学生积极参加献爱心活动，该班名学生的捐款统计情况如下表：
金额元
人数
则他们捐款金额的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.如图，在 中，为边上一点，以为边作正方形，若，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，菱形对角线交于点，动点以米秒的速度做匀速运动，从点出发到，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点设运动时间是秒，的长度是米，图反映了随变化而变化的图象下列说法不正确的是( )
A. 点与点、点的纵坐标相同 B. 的最小值为米
C. D. 的周长是米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个介于和之间的数为______．
12.如图，已知中，以的三边为直径向外作个半圆，以、为直径的半圆面积分别为和，则以为直径的半圆面积为______．
13.某食堂午餐供应元、元、元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是______元．
14.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为的中点， 的顶点在轴上，顶点在直线上，则 的面积为______．
15.如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图，，请参考此方法按下列要求作图．
在图中以格点为顶点画一个，使得，；
猜想是什么形状的三角形？并说明理由．
18.本小题分
为庆祝中国共产主义青年团成立周年，学校团委在八、九年级各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分，竞赛成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩
九年级竞赛成绩
根据以上信息，回答下列问题．
填空 ______， ______；
现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？
若规定成绩分及以上同学获奖，则哪个年级的获奖率高？
19.本小题分
如图，在平行四边形中，是的中点，是边上的动点，不与、重合的延长线与的延长线相交于点，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
填空：若，，，则当 ______时，四边形是菱形．
20.本小题分
某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 测得水平距离的长为米．
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．
小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度请完成以下任务．
已知：如图，在中，，，求线段的长．
如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
21.本小题分
近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为元．
汉服款式 甲系列 乙系列
进价元套
售价元套
求与的函数关系式；
该汉服店计划投入万元购进这套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？
在的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低元其中，且最多购进套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案．
22.本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点．
请直接写出直线的表达式；
求出的面积；
当与面积相等时，求实数的值．
23.本小题分
综合与实践：
实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形的边的交点，再将纸片还原．
初步思考：若点落在矩形的边上如图
当点与点重合时， ______，当点与点重合时， ______；
当点在上，点在上时如图，求证：四边形为菱形；
深入探究：点与点重合，点在上，线段与线段交于点如图是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.答案不唯一
12.
13.
14.
15.
16.解：原式
；
原式
．
17.解：如图，即为所求；
是等腰直角三角形．
理由：，，
，
，
是等腰直角三角形．
18.解：， ；
九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀；
九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳，
应该给九年级颁奖．
八年级分及以上的学生有人，九年级分及以上的学生有人，
八年级的获奖率为，九年级的获奖率为，
，
九年级的获奖率高．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
20.解：在中，，米，米，
由勾股定理，可得：
米，
米．
答：线段的长为米．
如图，当风筝沿方向再上升米，米，

在中，，米，
由勾股定理，可得米，
则应该再放出米，
答：他应该再放出米长的线．
21.解：购进乙系列汉服套．
根据题意，得，
与的函数关系式为．
根据题意，得，
解得，
至少购进套甲系列汉服．
，，
随的减小而增大，
，
当时，值最大，最大，
汉服店可获得的最大利润是元．
根据题意，得，
，
，
随的增大而增大，
，
当时，值最大，套，
购进甲系列汉服套、乙系列汉服套可使汉服店利润最大．
22.解：；
在中，
由勾股定理得：
为等腰直角三角形，
；
连接，，，则：
若点在第一象限时，如图：
，，，
，
即，解得；
若点在第四象限时，如图：
，，，
，
即，解得；
故：当与面积相等时，实数的值为或．
23.，；
证明：当点在上，点在上时，如图，
是的中垂线，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
四边形是菱形；
存在，
情况一：如图，连接，
，，，
≌，
，
设，则，，
，，
，
在中，，
，
解得：，
线段的长为．
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