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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十一章 三角形
专题11.2 与三角形有关的角
课节学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°；会运用三角形内角和定理进行计算；
2.了解直角三角形两个锐角的关系；掌握直角三角形的判定；会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算；
3.理解并掌握三角形的外角的概念；能够在能够复杂图形中找出外角；
4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和；会利用三角形的外角性质解决问题。
课节知识点解读
知识点1. 三角形的内角和定理
1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
数学语言：如图，已知△ABC.则∠A+∠B+∠C=180°
2．三角形内角和定理的证明
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法1：过点A作l∥BC，如图所示
∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，如图所示
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.如图所示
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
数学思想总结：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法。
注意：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
知识点2.直角三角形的性质与判定
1.性质：直角三角形两锐角互余。
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,即∠A +∠B=90°.
注意：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
知识点3. 三角形的外角及其性质
1. 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上。
②一条边是三角形的一条边。
③另一条边是三角形的某条边的延长线。
注意：每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
3. 三角形的外角和
如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
结论：三角形的三个外角和等于360°.
课节知识点例题讲析
【例题1】证明三角形的内角和等于180°
【例题2】在中，，则为（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
【例题3】定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
证法1 证法2
如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵（平角的定义），∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），又∵（平角定义），∴（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【例题4】如图，在中，，延长BA到D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
3．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________．
4．如图所示，，则______°．
5．如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，则∠CDE=（ ）
A． B． C． D．
7．在白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
8．在中，，比大则______．
9. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
10. 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 °
11．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
12．如图，已知在中，，AE是BC边上的高，AD是的角平分线，求的度数．
13.如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
14. 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
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第十一章 三角形
专题11.2 与三角形有关的角
课节学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°；会运用三角形内角和定理进行计算；
2.了解直角三角形两个锐角的关系；掌握直角三角形的判定；会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算；
3.理解并掌握三角形的外角的概念；能够在能够复杂图形中找出外角；
4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和；会利用三角形的外角性质解决问题。
课节知识点解读
知识点1. 三角形的内角和定理
1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
数学语言：如图，已知△ABC.则∠A+∠B+∠C=180°
2．三角形内角和定理的证明
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法1：过点A作l∥BC，如图所示
∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，如图所示
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.如图所示
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
数学思想总结：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法。
注意：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
知识点2.直角三角形的性质与判定
1.性质：直角三角形两锐角互余。
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,即∠A +∠B=90°.
注意：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
知识点3. 三角形的外角及其性质
1. 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上。
②一条边是三角形的一条边。
③另一条边是三角形的某条边的延长线。
注意：每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
3. 三角形的外角和
如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
结论：三角形的三个外角和等于360°.
课节知识点例题讲析
【例题1】证明三角形的内角和等于180°
【答案】见解析
【解析】如图（1）已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：延长BC到D,过点C作CE∥AB .
∵CE∥AB (已知)
∴∠2＝∠B （两直线平行，同位角相等）
∠1＝∠A （两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＋∠2＋∠3＝180° （平角定义）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
【例题2】在中，，则为（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
【答案】B
【解析】根据分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．
∵
∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
因此△ABC是直角三角形
故答案选择B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的基本概念与三角形内角和定理．
【例题3】定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
证法1 证法2
如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵（平角的定义），∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），又∵（平角定义），∴（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D
【解析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可．
三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键．
【例题4】如图，在中，，延长BA到D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角形的外角性质即可得出结果．
由三角形的外角性质得：
∠CAD=∠B+∠C=40°+20°=60°；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质；熟记三角形的外角性质是解决问题的关键．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据直角三角形的判定，对各个条件进行分析，从而得到答案．
A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确．
故选：D ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
2. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
【答案】D
【解析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．如图，
根据题意得：∠5=30°，
∵，
∴∠3=∠1=120°，
∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，
∴∠2=120°+30°=150°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．
3．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________．
【答案】48°##48度
【解析】先根据三角形的内角和定理，可得180°+2∠C+∠C= 180°，据此求出∠C的度数，进而可求出∠B的度数．
∵∠A= 108°，∠B= 2∠C，
∴108°十2∠C +∠C= 180°，
∴∠C=24°，
∴∠B=2∠C=2×24°=48°，
故答案为：48°
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°，并能求出每个内角的度数是多少．
4．如图所示，，则______°．
【答案】200
【解析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答．
如图，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为200．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为是解题关键．
5．如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【答案】C
【解析】连接BD，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠1、∠3替换为四边形的内和，再利用即可求出∠D．
连接BD，如图
∴，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴
故选 ：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角，熟练运用三角形外角的性质将外角转换为内角是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，则∠CDE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC=∠B+28°-∠EDC，
解得∠EDC=14°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．在白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
【答案】C
【解析】过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可．
【详解】过点C作CH∥BE，CG∥AF，
由题意点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBE=20°，
∵CH∥BE，
∴∠HCB=∠CBE=20°，
∵∠ACB=70°，
∴∠ACH=70°-20°=50°，
∴点A在点C的南偏西50°方向．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质求解是解答此题的关键．
8．在中，，比大则______．
【答案】35°
【解析】根据直角三角形两锐角互余可得，然后解方程组即可．
，
，
比大，
，
得，，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于、的两个方程是解题的关键．
9. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】C
【解析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
10. 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 °
【答案】见解析
【解析】证明：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
11．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
【答案】
【解析】根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
12．如图，已知在中，，AE是BC边上的高，AD是的角平分线，求的度数．
【答案】10°
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=60°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
13.如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】作的角平分线即可．
如图，射线即为所求作．
【点睛】考查角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
14. 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
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