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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十二章 全等三角形
专题12.1 全等三角形
课节学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；
4.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题。
课节知识点解读
知识点1. 全等形与全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
说明：对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合
的角叫做对应角.“全等”用≌表示，读作“全等于”。
如图：两个三角形△ABC与△ A1B1C1. 完全重合的，则△ABC≌△ A1B1C1 。
对应顶点：点A与点A1是对应顶点;点B与点B1是对应顶点;点C与 点C1是对应顶点。
对应边：AB与A1B1 是对应边； BC与B1C1 是对应边； CA与C1A1是对应边。
对应角：∠A 与∠A1是对应角；∠B与∠B1是对应角；∠C 与∠C1是对应角。
知识点2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【温馨提醒】找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
课节知识点例题讲析
考点1. 全等形的认识
【例题1】观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】B
【解析】根据全等图形的定义进行判断即可．
观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
【例题2】找一找下列全等图形的对应元素？
甲 乙
【答案】见解析
【解析】对于甲图，对应顶点：A与D,B与E,C与F；
对应边：AB=DE，AC=DF，BC=EF；
对应角：∠A=∠D，∠B=∠1，∠2=∠F.
对于乙图，对应顶点：A与A,B与F,C与D；
对应边：AB=AF，AC=AD，BC=FD；
对应角：∠B=∠F，∠ACB=∠ADF，∠BAC=∠FAD.
考点2. 全等三角形的性质
【例题3】一个三角形的三边为2、5、x+2y，另一个三角形的三边为2x+y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝_____．
【答案】3
【解析】根据全等三角形对应边相等相加即可得解．
∵两个三角形全等，∴x+2y=4，2x+y=5，两式相加得：3x+3y=9，∴x+y=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键．
【例题4】如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．
【答案】见解析。
【解析】根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．
∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.
【方法总结】本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下列图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
【答案】D
【解析】根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项D是正确的．
【方法总结】判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．
2.如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
【答案】见解析。
【解析】结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．
△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.
【方法总结】找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．
3. 如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，？
【答案】见解析。
【解析】 (1)证明：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，AC＝DE，
又∵AE＝AC+CE，
∴BC＝DE+CE；
(2)解：∵，
∴∠BCE＝∠E，
又∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠ACB＝90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，．
4.如图，沿BC方向平移到的位置．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求平移的距离．
【答案】见解析。
【解析】 (1)解：由平移可知，
∴，
∴．
(2)由平移可知，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距离BE为3．
5.如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
【答案】见解析。
【解析】根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．
∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
【方法总结】本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
6．如图，，且，，，____．
【答案】95
【解析】由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形外交的性质求解即可．
，
，
，，
，
，
故答案为：95．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
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第十二章 全等三角形
专题12.1 全等三角形
课节学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；
4.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题。
课节知识点解读
知识点1. 全等形与全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
说明：对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合
的角叫做对应角.“全等”用≌表示，读作“全等于”。
如图：两个三角形△ABC与△ A1B1C1. 完全重合的，则△ABC≌△ A1B1C1 。
对应顶点：点A与点A1是对应顶点;点B与点B1是对应顶点;点C与 点C1是对应顶点。
对应边：AB与A1B1 是对应边； BC与B1C1 是对应边； CA与C1A1是对应边。
对应角：∠A 与∠A1是对应角；∠B与∠B1是对应角；∠C 与∠C1是对应角。
知识点2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【温馨提醒】找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
课节知识点例题讲析
考点1. 全等形的认识
【例题1】观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【例题2】找一找下列全等图形的对应元素？
甲 乙
考点2. 全等三角形的性质
【例题3】一个三角形的三边为2、5、x+2y，另一个三角形的三边为2x+y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝_____．
【例题4】如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下列图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
2.如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
3. 如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，？
4.如图，沿BC方向平移到的位置．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求平移的距离．
5.如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
6．如图，，且，，，____．
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