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第七章
机械振动与机械波
第1讲　机械振动
1.认识简谐运动,能用公式和图像描述简谐运动。2.知道单摆,理解单摆的周期公式。3.认识受迫振动的特点,了解产生共振的条件及其应用。
1.简谐运动。
(1)两种描述:①运动学描述:物体的位移与时间的关系满足x=__________;②动力学描述:回复力与位移的关系满足F=_______。
(2)平衡位置:物体在振动过程中回复力为_______的位置。
(3)回复力:方向指向___________,属于效果力,来源可以是某一个力,也可能是几个力的合力,或某个力的分力。
(4)简谐运动的两种模型:弹簧振子和单摆。
考点1　简谐运动的规律
Asin(ωt+φ)
-kx
零
平衡位置
物理量 定义 意义
位移 由_________指向质点_________的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于_________的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的_________ 描述振动的_________和能量
2.描述简谐运动的物理量。
平衡位置
所在位置
平衡位置
最大距离
强弱
周期 振动物体完成一次_______所需时间
频率 振动物体_________内完成全振动的次数 相位 ωt+φ 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
全振动
单位时间
快慢


1.动力学特征。
F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。
2.运动学特征。
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比且方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时,x、F、a、Ep均增大,v、Ek均减小,衡位置时则相反。

(3)振子由P到O所用时间等于由O到P'所用时间,即tPO=tOP'。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。
5.能量特征。
振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。
考向1　简谐运动基本物理量的分析
【典例1】　如图所示,水平金属杆光滑,在弹簧弹力作用下,小球在BC之间做简谐运动,当小球位于O点时,弹簧处于原长。在小球从C运动到O的过程中(　　)
A.小球的动量不断增大
B.小球的加速度不断增大
C.小球的振幅不断减小
D.小球的机械能保持不变
解析　小球从C运动到O的过程中,速度不断增加,则小球的动量不断增大,A项正确;小球从C运动到O的过程中,位移减小,则回复力减小,则小球的加速度不断减小,B项错误;小球从C运动到O的过程中,位移减小,但是小球的振幅是定值,C项错误;小球从C运动到O的过程中,弹簧的弹力对小球做正功,则小球的机械能增加,D项错误。
答案　A
考向2　简谐运动的周期性和对称性
【典例2】　(多选)一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时,经过5 s质点第一次经过M点(如图所示);再继续运动,又经过2 s它第二次经过M点;则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是
(　　)
A.6 s B.8 s
C.20 s D.22 s

t=T-2 s=24 s-2 s=22 s。综上所述,A、D两项正确。
答案　AD
1.简谐运动的数学表达式:x=Asin(ωt+φ)。
2.根据简谐运动图像可获取的信息。
(1)可以确定振动物体在任一时刻的位移。
(2)确定振动的振幅A和周期T。
考点2　简谐运动的表达式和图像
(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法:振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加,质点的振动方向是远离平衡位置;下一时刻位移如果减小,质点的振动方向指向平衡位置。
(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大,它所具有势能越大,动能则越小。


答案　B
【典例4】　扬声器是语音和音乐的播放装置,在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像,下列判断正确的是
(　　)
A.t=1×10-3 s时刻纸盆中心的位移最大
B.t=2×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C.在0~2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向不变
D.纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4cos (50πt) m

答案　A
1.定义:如果细线的长度不可改变,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略,这样的装置叫作单摆(如图)。
2.视为简谐运动的条件:θ<5°。
3.回复力:F=mgsin θ。
考点3　单摆及其周期公式
4.周期公式:T=_______。
(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和摆球质量无关。

(1)单摆的振动周期由摆球质量和摆角共同决定( )
(2)当单摆的摆球通过最低点位置时,速度最大,加速度为零( )
(3)摆钟移到天和核心舱内将无法用来计时( )




答案　B


答案　A
类单摆模型问题
1.类单摆模型。
(1)等效摆长:等效摆长l'不再是悬点到摆球球心的距离,而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离,摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。如图甲,小球(半径r R)在光滑圆弧轨道内摆动可视为单摆,等效摆长l'=R。如图乙,等长的两根细线悬吊小球在垂直纸面的竖直平面内摆动,等效摆长l'=lcos θ。

1.受迫振动。
(1)概念:系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征:物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。
考点4　受迫振动和共振
2.共振。
(1)概念:当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅最大的现象。
(2)共振的条件:驱动力的频率等于固有频率。
(3)共振的特征:共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f=f0时,A=Am,f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅越小。
(1)物体做受迫振动时,其振动频率与固有频率有关( )
(2)驱动力的频率越接近振动系统的固有频率,其振幅越大( )
简谐运动、受迫振动和共振的比较。
振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振
受力 情况 回复力 F回=-kx 受驱动 力作用 受驱动
力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或
f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
【典例7】　(多选)(2021·浙江卷)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率,工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置,如图甲、乙所示。则(　　)
A.针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加,树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后,树干的振动频率相同
D.稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
解析　根据共振的条件,当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振,此时落果效果最好,而不同的树木的固有频率不同,针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同,A项正确;当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振,此时树干的振幅最大,则随着振动器频率的增加,树干振动的幅度不一定增大,B项错误;不同粗细树干的固有频率不同,则打击结束后,树干的振动频率不同,C项错误;树干在振动器的振动下做受迫振动,则稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同,D项正确。
答案　AD
【典例8】　同一地点,甲、乙单摆在驱动力作用下振动,其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.若驱动力的频率为2f0,乙单摆振动的频率大于2f0
B.若驱动力的频率为2f0,乙单摆振动的频率等于f0
C.若驱动力的频率为2f0,甲、乙单摆振动的振幅
相同
D.若驱动力的频率为2f0,甲单摆振动的振幅小于乙单摆的振幅
解析　当物体做受迫振动时,物体振动的频率等于驱动力频率,A、B两项错误;固有频率与驱动力的频率越接近,振幅越大。由题图可知,甲的固有频率为f0,乙的固有频率为2f0。若驱动力的频率为2f0,甲的振幅小于乙的振幅,C项错误,D项正确。
答案　D

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