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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十五章 分式
专题15.3 分式方程
课节学习目标
1．了解分式方程的概念.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
3．会分析题意找出等量关系.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
课节知识点解读
知识点1. 分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
知识点2．解分式方程
1. 解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2. 解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3. 分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
知识点3. 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
写答案.
课节知识点例题讲析
【例题1】下列方程中是分式方程的个数为　　 个。
（1） （2）
（3）　 （4）（a为字母系数）
【答案】1
【解析】分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中（3）是分式方程，其他的均不符合分式方程的定义。
【例题2】分式方程+1＝的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝2
【答案】D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得：x+x﹣1＝3，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【例题3】若分式方程有增根，则a的值是(　　)
A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4
【答案】A
【解析】方程两边同时乘以x-3得，1+x-3=a-x，
∵方程有增根，
∴x-3=0，解得x=3．
∴1+3-3=a-3，解得a=4．
【例题4】若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【解析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
当时，方程无解，
解得．
【例题5】若关于x的分式方程5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解析】去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），
解得：x，
由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，
则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，
【例题6】若关于x=1是分式方程＋＝的解，则m的值为（ ）
A.2 B.9 C.-2 D.-9
【答案】D
【解析】将x=1带入分式方程＋＝，
得：-2+（-m/3）=1，m=-9
D选项正确。
【例题7】根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品 设原计划平均每天可生产箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．
解：设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，
原计划生产4500箱所需要的时间为：，
现在生产6000箱所需要的时间为：，
由题意得：．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.解分式方程1时，去分母变形后正确的是（　　）
A．2﹣（x+2）＝1 B．2﹣x+2＝x﹣1
C．2﹣（x+2）＝x﹣1 D．2+（x+2）＝x﹣1
【答案】C
【解析】分式方程变形后，乘以x﹣1去分母得到结果，即可作出判断．
分式方程两边同乘（x﹣1），
去分母得：2﹣（x+2）＝x﹣1．
2．分式方程+＝1的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
【答案】A
【解析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
分式方程整理得：﹣＝1，
去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
3．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
将代入，得，
解得．
4．已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
【答案】B
【解析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出m的取值范围．根据题意解分式方程，得x═，
∵2x﹣1≠0，
∴x≠，即≠，解得m≠﹣3，
∵x≥0，
∴≥0，解得m≥﹣4，
综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3．
5. 分式方程的解是_____．
【答案】x=
【解析】根据分式方程的解题步骤解出即可．
方程左右两边同乘x－2,得 3－x－x=x－2．
移项合并同类项,得 x=．经检验, x=是方程的解．故答案为: x=．
【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验．
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
【答案】1
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
方程两边都乘，得
∵原方程有增根，∴最简公分母，解得，
当时，故m的值是1，故答案为1
7．若关于x的方程无解，则m的值为________．
【答案】-1或5或
【解析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
去分母得：，可得：，
当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，
解得：或.故答案为：或或.
8．若关于x的方程无解，则m的值为_______．
【答案】-1或5或
【解析】去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或.
故答案为：或或.
9．解关于x的方程﹣= 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【答案】﹣5或﹣
【解析】试题分析：根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
试题解析：方程去分母后得：（k+2）x=-3，分以下两种情况：
令x=1，k+2=-3，
∴k=-5
令x=-2，-2（k+2）=-3，
∴k=-，
综上所述，k的值为-5，或-．
10．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
【答案】且．
【解析】∵分式方程解为负数，∴.
由得和∴的取值范围是且．
11．某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程　 ．
【答案】2．
【解析】设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用2天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，
依题意，得：2．
12. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，故选：C．
【点睛】考查解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
13. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【答案】B
【解析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程即可．
若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得：﹣＝20．
14. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）
A．-=20 B．-=20 C．-= D．=
【答案】C
【解析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
由题意可得，-=，故选：C．
15. 关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
【答案】A
【解析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：
解得：
又题意得：且
∴且，
由得：
由得：
∵解集为
∴
解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13, 故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
16．方程的解是______．
【答案】
【解析】方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，得出的值，再检验即可得出方程的解．
方程两边都乘以，得：，解得：，
检验：时，，所以分式方程的解为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
17．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【答案】见解析。
【解析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过1600元”列出不等式并解答．
解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列分程的根，且合实际，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
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第十五章 分式
专题15.3 分式方程
课节学习目标
1．了解分式方程的概念.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
3．会分析题意找出等量关系.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
课节知识点解读
知识点1. 分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
知识点2．解分式方程
1. 解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2. 解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3. 分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
知识点3. 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
写答案.
课节知识点例题讲析
【例题1】下列方程中是分式方程的个数为　　 个。
（1） （2）
（3）　 （4）（a为字母系数）
【例题2】分式方程+1＝的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝2
【例题3】若分式方程有增根，则a的值是(　　)
A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4
【例题4】若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【例题5】若关于x的分式方程5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
例题6】若关于x=1是分式方程＋＝的解，则m的值为（ ）
A.2 B.9 C.-2 D.-9
【例题7】根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品 设原计划平均每天可生产箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.解分式方程1时，去分母变形后正确的是（　　）
A．2﹣（x+2）＝1 B．2﹣x+2＝x﹣1
C．2﹣（x+2）＝x﹣1 D．2+（x+2）＝x﹣1
2．分式方程+＝1的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
5. 分式方程的解是_____．
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
7．若关于x的方程无解，则m的值为________．
8．若关于x的方程无解，则m的值为_______．
9．解关于x的方程﹣= 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
10．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
11．某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程　 ．
12. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
13. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
14. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）
A．-=20 B．-=20 C．-= D．=
15. 关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
16．方程的解是______．
17．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
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