资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十二章 二次函数
专题22.1 二次函数的图像和性质
课节学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式.会利用二次函数的概念解决问题.
2. 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点. 掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.
3. 会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.
4. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2(a ≠0)之间的联系.
5. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
6. 会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
7. 会用待定系数法求二次函数的表达式.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
课节知识点解读
知识点1. 二次函数的定义
1. 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
2. 二次函数定义的应用
（1）考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
（2）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
3. 求二次函数的值
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
知识点2. 二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
重点提示：二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
知识点3. 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
注意：二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.平移规律如图所示：
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
知识点4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
知识点5. 求解二次函数解析式
1. 一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
2. 顶点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
3. 交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
课节知识点例题讲析
【例题1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】抛物线的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
【例题3】抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
【例题4】（2023河南）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【例题5】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；③9a+c＞0；④b：c＝1：4，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题6】过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A． y=3x﹣1 B． y=ax2+bx+c C． s=2t2﹣2t+1 D． y=x2+
2．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
3．若二次函数的开口向下，则m的值是（ ）
A．2 B．-1
C．2或-1 D．以上答案都不对
4．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
5．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A． x=4 B．x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2
7．二次函数y=x2-3x+2的顶点坐标是（　　）
A．（，-） B．（-，） C．（，） D．（-，-）
8．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
9.若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
10. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大
12．对于二次函数，下列说法正确的是(　　　)
A．当，随的增大而增大 B．当时，有最大值
C．图象的顶点坐标为 D．图象与轴有一个交点
13．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
14. （2023湖南湘潭）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的
是（ ）
A. B. C. D.
15．若是关于的二次函数，则的值为__________．
16．已知长方形的周长为 16cm，其中一边长为 xcm，面积为 y，则这个长方形的面积 y 与 x 之间的关系可表示为 ______
17．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　．
18．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　．
19．抛物线的顶点坐标是______．
20．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______．
21.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 。
22．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为____________．
23．当m为何值时，函数是二次函数．
24．画函数的图象．
25．已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
26．已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十二章 二次函数
专题22.1 二次函数的图像和性质
课节学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式.会利用二次函数的概念解决问题.
2. 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点. 掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.
3. 会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.
4. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2(a ≠0)之间的联系.
5. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
6. 会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
7. 会用待定系数法求二次函数的表达式.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
课节知识点解读
知识点1. 二次函数的定义
1. 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
2. 二次函数定义的应用
（1）考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
（2）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
3. 求二次函数的值
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
知识点2. 二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
重点提示：二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
知识点3. 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
注意：二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.平移规律如图所示：
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
知识点4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
知识点5. 求解二次函数解析式
1. 一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
2. 顶点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
3. 交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
课节知识点例题讲析
【例题1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：
二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
A.是一次函数，故本题选项错误；
B.，是一次函数，故本题选项错误；
C. ，是二次函数，故本题选项正确；
D.是反比例函数，故本题选项错误．
【例题2】抛物线的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
【答案】D
【解析】抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
故可知，抛物线的共同性质是顶点是原点．
【例题3】抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
【答案】D．
【解析】考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
【例题4】（2023河南）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
【例题5】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；③9a+c＞0；④b：c＝1：4，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D．
【解析】①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，∴8a+c＝0，
∵a＞0，∴9a+c＞0，结论③正确；
④∵b＝﹣2a，∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b﹣2b+c＝0，∴4b＝c，
∴b：c＝1：4，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：①②③④．
【点拨】①由抛物线开口向上，可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，可得ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论②正确；③当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到b＝﹣2a，代入得8a+c＝0，由a＞0，可得9a+c＞0，结论③正确；④把a＝﹣代入y＝4a﹣2b+c＝0，整理得到4b＝c，可得b：c＝1：4，结论④正确．综上即可得出结论．
【例题6】过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
【答案】D
【解析】经过原点（0，0）的抛物线，当时，y=0代入计算即可判断．
A．当时，，不符合题意；
B．当时，，不符合题意；
C．当时，，不符合题意；
D．当时，，符合题意。
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A． y=3x﹣1 B． y=ax2+bx+c C． s=2t2﹣2t+1 D． y=x2+
【答案】C．
【解析】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．
根据二次函数的定义，可得答案．
A．y=3x﹣1是一次函数，故A错误；
B．y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C．s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
D．y=x2+不是二次函数，故D错误。
2．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键．
根据二次函数的标准形式即可得到答案．
二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9．
3．若二次函数的开口向下，则m的值是（ ）
A．2 B．-1
C．2或-1 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】由二次函数可得，由开口向下可得m-1＜0，问题可解．
∵是二次函数
∴
得m=-1或m=2；
又∵的开口向下
∴m-1＜0
∴m=-1
4．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【答案】C
【解析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
5．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据抛物线的顶点式即可得到答案．
二次函数y＝x2的图象的顶点坐标为（0，0）．
6.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A． x=4 B．x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2
【答案】D．
【解析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．
二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2．
7．二次函数y=x2-3x+2的顶点坐标是（　　）
A．（，-） B．（-，） C．（，） D．（-，-）
【答案】A
【解析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可得出答案．
∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点式为，
故顶点坐标为：（）。
8．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
【答案】B
【解析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．
抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴与x轴有2个交点，故选项C错误；
当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．
9.若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
【答案】C．
【解析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1
10. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
12．对于二次函数，下列说法正确的是(　　　)
A．当，随的增大而增大 B．当时，有最大值
C．图象的顶点坐标为 D．图象与轴有一个交点
【答案】B
【解析】将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数．
∵
∴图象的顶点坐标为，选项C错误；
∵
∴二次函数图象开口向下，当时，有最大值，选项B正确；
∵当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，选项A错误；
∵关于x的方程，，有两个不相等的实数根，
∴二次函数，图象与轴有两个交点，选项D错误。
13．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【解析】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
14. （2023湖南湘潭）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；时函数值的情况，可判断选项D．
A、由函数图象得，抛物线开口向下，故，故A错误；
B、图象与y轴的交点在原点上方，故，故B正确；
C、因为抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误．
D、当时，，故D正确；
故选：BD．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．
15．若是关于的二次函数，则的值为__________．
【答案】2
【解析】根据二次函数的定义解答．
是关于的二次函数，
∴，
解得：
16．已知长方形的周长为 16cm，其中一边长为 xcm，面积为 y，则这个长方形的面积 y 与 x 之间的关系可表示为 ______
【答案】
【解析】∵矩形周长为
∴两邻边之和为
∴若一边长为，则另一边长为；面积为
∴即．
17．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　．
【答案】（1，8）．
【解析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
18．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　．
【答案】y＝x2+3．
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【解析】抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
19．抛物线的顶点坐标是______．
【答案】(1,2)．
【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是（1,2），
故答案为：（1,2）．
【点睛】此题考查了二次函数的性质．二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
20．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______．
【答案】-2
【解析】利用抛物线的对称轴方程得到，解方程即得到m的值.
抛物线的对称轴为直线，
∴m＝-2.故答案为：-2
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是直线x=是解答此题的关键.
21.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 。
【答案】（1，4）．
【解析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．
∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得：，
解得：b=2，c=3，
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣（x﹣1）2+4，
顶点坐标为（1，4）
22．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为____________．
【答案】y＝2x2＋4x－1
【解析】把两组对应值代入y＝ax2＋4x＋c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可．
根据题意得：，
解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2＋4x－1，
故填：y＝2x2＋4x－1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．当m为何值时，函数是二次函数．
【答案】m=3
【解析】∵函数是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数是二次函数．
24．画函数的图象．
【答案】答案见详解．
【解析】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可．
列表：
描点、连线如下图所示：
25．已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x2，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m；
（2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【详解】解：（1）把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，以及二次函数的图形的特点，熟练掌握待定系数法和函数特点是解答此题的关键．
26．已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【分析】（1）将三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到a，b，c的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，
得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑