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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十二章 二次函数
专题22.2 二次函数和一元二次方程
课节学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
课节知识点解读
知识点1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
知识点2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
课节知识点例题讲析
【例题1】若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
例题2】二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（　　）
( http: / / www..cn )
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【例题3】若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0
（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
3. 已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2
4. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x
轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　 .
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6.孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为　　．
7.已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是 ．
8. 已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．
（1）当x取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；
（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．
（1）﹣2 （2）a取任何实数。
9. 已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）设该函数的图象与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；
（3）该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
10. 已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十二章 二次函数
专题22.2 二次函数和一元二次方程
课节学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
课节知识点解读
知识点1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
知识点2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
课节知识点例题讲析
【例题1】若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
【答案】C
【解析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一个解为：x＝﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x1，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
【例题2】二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（　　）
( http: / / www..cn )
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【答案】B
【解析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．
∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，
﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选B．
【例题3】若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．
抛物线y=2x2﹣2x+1，
令x=0，得到y=1，即抛物线与y轴交点为（0，1）；
令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，
解得：x1=x2=，即抛物线与x轴交点为（，0），
则抛物线与坐标轴的交点个数是2。
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0
（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【答案】C．
【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，
∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．
3. 已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2
【答案】A
【解析】本题考点有二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解．
将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．
把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，∴y1＜y2＜y3．故选A．
4. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
【答案】D
【解析】利用函数图象平移即可求解．
函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c，
而y′顶点的纵坐标为﹣2，
故y′＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c0有两个同号不相等的实数根，
5. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x
轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　 .
( http: / / www..cn )
【答案】．
【解析】把（0，－3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，把它的坐标代入解析式即可求出答案．
把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=－3，∴y=x2+bx－3.∵确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入，得0=4+2b﹣3，∴b=．故答案为．
6.孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为　　．
【答案】2．
【解析】根据两根x1=1，x2=2，得出两根之积求出c的值即可．
解方程x2﹣3x+c=0得x1=1，x2=2，
∴x1x2=c=1×2，
∴c=2．
7.已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是 ．
【答案】．
【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值．
∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，
∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2．
∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，
∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，当a＞0时，x＝－2±．
∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．
∴AB＝2．
∵线段AB的长不大于4，
∴2≤4．
∴a≥．
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，
∴当a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．
8. 已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．
（1）当x取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；
（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．
【答案】（1）﹣2 （2）a取任何实数。
【解析】（1）根据二次函数对称轴求法得出x=﹣==﹣2，即可求出；
当对称轴是x=﹣2，
∴x=﹣ QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 ==﹣2，
解得：a=﹣1；
（2）利用一元二次方程根的判别式，证明其大于等于0即可．
∵△=（1﹣3a）2﹣4a（2a﹣1）=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，
∴a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．
9. 已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）设该函数的图象与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；
（3）该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：当y＝0时，m（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝m+3，
当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x＝0时，y＝m2+3m，
∴点A坐标为（0，m2+3m），
∵该函数的图象与y轴交于点A，点A在x轴上方，
∴m2+3m＞0．
设z＝m2+3m，即z是m的二次函数，当m＝0或﹣3时，z＝0．
∵抛物线开口向上，
∴当m＞0或m＜﹣3时，z＞0．
∴m的取值范围是m＞0或m＜﹣3；
（3）①当m＞0时，图象经过一、二、四象限；
②当﹣3＜m＜0（m≠﹣2）时，图象经过一、三、四象限；
③当m＝﹣2时，图象经过三、四象限；
④当m＜﹣3时，图象经过一、二、三、四象限．
10. 已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
【答案】见解析。
【解析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，
则c＝4a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），
且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），
又△ABC为等腰直角三角形，
∴点A为抛物线的顶点；
①c＝1，顶点A（1，0），
抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，
②，
x2﹣（2+k）x+k＝0，
x＝（2+k±），
xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；
则D，
yC＝（2+k2+k，
C，A（1，0），
∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，
直线AC表达式中的k值为：kAC＝，
∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．
【点拨】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．
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