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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十二章 二次函数
专题22.4 二次函数单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1.知道二次函数的概念
2.理解二次函数的图象与性质
3.掌握二次函数图像的平移
4.会求二次函数表达式
5.理解二次函数与一元二次方程的关系
6.能用二次函数解决实际问题
单元知识点思维导图与题型方法总结
1. 二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，　a ≠0)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2. 二次函数的图象与性质
3.二次函数图像的平移
4. 求二次函数的表达式的方法
5. 二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
6.二次函数的应用
A. 二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
B. 一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
单元考点例题讲析
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
【例题1】（2023甘肃兰州）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A.对称轴为 B. 顶点坐标为
C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3
【例题2】抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
【例题3】如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是　　
A． B． C． D．
【例题4】已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
【例题5】若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0 对称轴是y轴；a、b同号 对称轴在y轴左侧；a、b异号 对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
【例题6】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是　 　（填写序号）．
考点四 抛物线的几何变换
【例题7】抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
考点五 二次函数表达式的确定
【例题8】若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
考点六 二次函数与一元二次方程
【例题9】（2023龙东） 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题10】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
考点七 二次函数与实际问题
【例题11】某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
题13】如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？
-数学家事迹
特殊的阿基米德三角形
过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线 ( https: / / baike. / item / %E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF / 3555564 fromModule=lemma_inlink" \t "https: / / baike. / item / %E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 / _blank )的切线l1，l2相交于P点。那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：
1. P点必在抛物线的准线上.
2. △PAB为直角三角形，且∠P为直角.
3. PF⊥AB（即符合射影定理）.
注意：这个素材以后可以在命制中考新定义型试题使用。
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十二章 二次函数
专题22.4 二次函数单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1.知道二次函数的概念
2.理解二次函数的图象与性质
3.掌握二次函数图像的平移
4.会求二次函数表达式
5.理解二次函数与一元二次方程的关系
6.能用二次函数解决实际问题
单元知识点思维导图与题型方法总结
1. 二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，　a ≠0)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2. 二次函数的图象与性质
3.二次函数图像的平移
4. 求二次函数的表达式的方法
5. 二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
6.二次函数的应用
A. 二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
B. 一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
单元考点例题讲析
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
【例题1】（2023甘肃兰州）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A.对称轴为 B. 顶点坐标为
C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3
【答案】C
【解析】根据二次函数图象及性质进行判断即可．
二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【例题2】抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
【答案】D．
【解析】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
【例题3】如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
.由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；
.由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；
.由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；
.由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．故选：．
【例题4】已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B．
【解析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5
考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
【例题5】若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【答案】D
【解析】∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2 故选：D．
【点拨】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，
y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2。
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0 对称轴是y轴；a、b同号 对称轴在y轴左侧；a、b异号 对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
【例题6】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是　 　（填写序号）．
【答案】①③④．
【解析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＜0，根据图象与y轴交点可得c＞0，再根据二次函数的对称轴x＝﹣＝1，结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得y＝a﹣b+c，再根据对称性判断出②的正误；把b＝﹣2a代入a﹣b+c中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
解：根据图象可得：a＜0，c＞0，
对称轴：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，
∵a＜0，∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得：y＝a﹣b+c，
由抛物线的对称轴是直线x＝1，且过点（3，0），可得当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，故②错误；
∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
即：3a+c＝0，故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
考点四 抛物线的几何变换
【例题7】抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
【点拨】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
考点五 二次函数表达式的确定
【例题8】若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
【答案】C．
【解析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1
考点六 二次函数与一元二次方程
【例题9】（2023龙东） 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，点的坐标为或
【解析】【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
【详解】（1）因为抛物线经过点 和点两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：．
（2）如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）．
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
又，
可设直线的函数解析式为，
因为直线经过点 ，所以
．
解得．
所以，直线的函数解析式为．
根据题意可知，
．
又，
所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．
所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得
，
化简，得
，
解得，
所以，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：存在，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．
【例题10】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【答案】C．
【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，
∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．
考点七 二次函数与实际问题
【例题11】某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解答】（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，
根据题意得，x（20﹣3x）＝25，
解得：x1＝5，x2，
当x时，AD＝15＞6，
∴x＝5，
∴AD＝5，
答：AD的长是5米；
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB[20﹣x﹣（x﹣6）]，
根据题意得，y＝x（）x2x（x＞6），
∴当x时，y有最大值为．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；
（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝xx，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S；
按图乙方案，S[20﹣x﹣（x﹣a）]x，
∴当x时，S的值最大为S，此时a取最大值n时，S的值最大为S；∵[（n﹣10）2]0，
∴，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【例题12】小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解答】（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
【例题13】如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？
【答案】见解析。
【解析】（1）设抛物线的解析式为
y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵对称轴为y轴，
∴y0，
∴b＝0，
∴y＝ax2+c，由题意得，抛物线过点（13，0），（12，1），
把 ，，
代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为yx2；
（2）由题意得，把x＝5代入yx2y，
∴点F的坐标为F（5，），
∴MH＝OM﹣OH1m，
∵1m＜1.5m，
∴此时水面超过警戒水位．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
特殊的阿基米德三角形
过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线 ( https: / / baike. / item / %E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF / 3555564 fromModule=lemma_inlink" \t "https: / / baike. / item / %E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 / _blank )的切线l1，l2相交于P点。那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：
1. P点必在抛物线的准线上.
2. △PAB为直角三角形，且∠P为直角.
3. PF⊥AB（即符合射影定理）.
注意：这个素材以后可以在命制中考新定义型试题使用。
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