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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十三章 旋转
专题23.2 中心对称
课节学习目标
1.理解中心对称的定义.掌握中心对称的性质及其应用.
2.会识别中心对称图形.会运用中心对称图形的性质解决实际问题.
3. 掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系.
4. 会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.
5. 进一步体会数形结合的思想.
课节知识点解读
知识点1.概念：如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180 ，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称或中心对称，点O就是对称中心.
如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则O是对称中心，点A与C是对称点， 点B与D是对称点.
（1）中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180 °.
（2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
知识点2.中心对称的性质
（1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
（2）中心对称的两个图形是全等形.
注意：中心对称与轴对称的异同
温故知新：轴对称图形问题回顾
1．对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2．轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
3．轴对称的性质：
（1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
（4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
知识点3.探究中心对称图形的概念
1.中心对称图形的定义
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 注意：中心对称图形是指一个图形.
2.探究中心对称图形的性质
经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分。
3. 关于原点对称的点的坐标关系特点
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P′（-a,-b)；
点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为P′（a,-b)；
点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为P′（-a, b).
简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”
4.作关于原点对称的图形的步骤：
(1) 写出图形顶点坐标；
(2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标；
(3) 描点；
(4) 顺次连接；
(5) 下结论.
课节知识点例题讲析
【例题1】绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形.小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数_____.
【例题2】下列图标中，属于中心对称的是 （ ）
【例题3】如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系
2. 有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6. 在平面直角坐标系中点A（2, 3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7．若点P（2，）与点Q（，）关于原点对称，则m＋n的值分别为（ ）
A． B． C．1 D．5
8. 如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为________.
9. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，求点关于轴的对称点的坐标．
10.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
11. 规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十三章 旋转
专题23.2 中心对称
课节学习目标
1.理解中心对称的定义.掌握中心对称的性质及其应用.
2.会识别中心对称图形.会运用中心对称图形的性质解决实际问题.
3. 掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系.
4. 会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.
5. 进一步体会数形结合的思想.
课节知识点解读
知识点1.概念：如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180 ，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称或中心对称，点O就是对称中心.
如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则O是对称中心，点A与C是对称点， 点B与D是对称点.
（1）中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180 °.
（2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
知识点2.中心对称的性质
（1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
（2）中心对称的两个图形是全等形.
注意：中心对称与轴对称的异同
温故知新：轴对称图形问题回顾
1．对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2．轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
3．轴对称的性质：
（1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
（4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
知识点3.探究中心对称图形的概念
1.中心对称图形的定义
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 注意：中心对称图形是指一个图形.
2.探究中心对称图形的性质
经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分。
3. 关于原点对称的点的坐标关系特点
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P′（-a,-b)；
点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为P′（a,-b)；
点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为P′（-a, b).
简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”
4.作关于原点对称的图形的步骤：
(1) 写出图形顶点坐标；
(2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标；
(3) 描点；
(4) 顺次连接；
(5) 下结论.
课节知识点例题讲析
【例题1】绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形.小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数_____.
【答案】60°
【解析】因为正六边形是中心对称图形，所以，解题时要充分利用中心对称图形的有关知识.正六边形绕着它的中心旋转60°或120°都可以使它与原来的正六边形重合.
【例题2】下列图标中，属于中心对称的是 （ ）
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此所给图标中，属于中心对称的是C。故选C。
【例题3】如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为．
【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系
【答案】见解析。
【解析】成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）中心对称的两个图形是全等形.
(1) OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′
（2）△ABC≌△A′B′C′
2. 有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．
如图所示，计算出每个正多边形中心角，是的3倍，则可以旋转得到．
A.B.C.D.
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合
故选C．
【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合．
A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B.轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意．
【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题的关键是熟练地掌握中心对称图形和轴对称图形的判断方法．
4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
5．如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【解析】如图所示：
点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B，
所以点B是对称中心．故选B．
6. 在平面直角坐标系中点A（2, 3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据点的坐标关于坐标轴对称的方法进行判断，关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数，进而问题得到解决．
由题意得：点关于y轴对称点的坐标是．
【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征是解题的关键．
7．若点P（2，）与点Q（，）关于原点对称，则m＋n的值分别为（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【解析】∵P（2，-n）与点Q（-m，-3）关于原点对称，
∴2=-（-m），-n=-（-3），
∴m=2，n=-3,
∴ ．
8. 如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为________.
【答案】8
【解析】设AB边上的高为h，因为△AOB的面积是12，AB＝3，易得h＝8.
又因为△AOB与△DOC成中心对称，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD边上的高是8.
9. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，求点关于轴的对称点的坐标．
【答案】1
【解析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
，
．
点，
关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点的坐标为．
10.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点A1；
（2）依据线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，即可得出旋转后的线段A1B1；
（3）依据割补法进行计算，即可得到四边形ABA1B1的面积．
解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则
四边形ABA1B1的面积=24
11. 规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【解析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
【点拨】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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