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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十三章 旋转
专题23.4 旋转单元基础知识归纳总结
单元课标要求
（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基 本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质: 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、旋转的特征
1．旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度．
2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等．
3．旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状不变．
二、中心对称
1．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2．中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
3.中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
三、旋转变换的应用总结
（1）求角度；
（2）求弧度；
（3）求面积；
（4）证明线段相等；
（5）证明角相等；
（6）证明位置关系；
（7）综合应用。
解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。
四、中心对称图形性质解题时注意的地方
（1）中心对称图形上的每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分．
（2）过对称中心的直线可以把中心对称图形分成面积相等的两部分.
（3）对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形，平分面积时，关键找到它们的对称中心，再过对称中心作直线.
1.画旋转后的图形方法
(1)画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；
(2)旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向(顺时针或逆时针)．
五、中心对称和中心对称图形的区别
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。
单元考点例题讲析
考点一 旋转的概念及性质的应用
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
考点二 旋转变换
【例题2】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2, B2的坐标.
【例题3】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 中心对称
【例题4】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B C D
考点四 图形变换的简单应用
【例题5】如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换
是（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【例题6】如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）.
(1)对称中心的坐标；
(2)写出顶点B、 C、B1 、C1的坐标.
情感态度与价值观教育--数学家事迹
对中心旋转有研究的数学家是菲利克斯·克莱因。
菲利克斯·克莱因是19世纪末和20世纪初德国的数学家， 他在几何学领域进行了思想上的革命， 这场革命被称为“几何学的群化”。 克莱因认为， 不同的几何结构之间应该存在一些联系， 它们可以通过一组变换来描述。 他提出了所谓的培尔斯背景(Erlangen Program)， 将几何学的研究从具体的几何对象中抽象出来， 转向对它们的变换性质的研究。 克莱因的贡献不仅在于将几何学的研究从具体对象中抽象出来， 更重要的是， 他引入了群论这个强有力的工具， 将代数和几何联系在了一起。 这种联系是以前不存在的， 因为传统的几何学只关注于几何对象本身， 而没有涉及到它们的变换。 克莱因的群化观点对数学的发展产生了深远影响， 促进了对于群的研究， 拓展了群论的应用范围， 同时揭示了几何之间的内在联系， 提供了新的研究思路和方法。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十三章 旋转
专题23.4 旋转单元基础知识归纳总结
单元课标要求
（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基 本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质: 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、旋转的特征
1．旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度．
2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等．
3．旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状不变．
二、中心对称
1．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2．中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
3.中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
三、旋转变换的应用总结
（1）求角度；
（2）求弧度；
（3）求面积；
（4）证明线段相等；
（5）证明角相等；
（6）证明位置关系；
（7）综合应用。
解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。
四、中心对称图形性质解题时注意的地方
（1）中心对称图形上的每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分．
（2）过对称中心的直线可以把中心对称图形分成面积相等的两部分.
（3）对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形，平分面积时，关键找到它们的对称中心，再过对称中心作直线.
1.画旋转后的图形方法
(1)画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；
(2)旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向(顺时针或逆时针)．
五、中心对称和中心对称图形的区别
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。
单元考点例题讲析
考点一 旋转的概念及性质的应用
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案．
过B作于，过作轴于，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．
【方法总结】 (1)画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；
(2)旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向(顺时针或逆时针)．
考点二 旋转变换
【例题2】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2, B2的坐标.
【答案】见解析。
【解析】 (1)因为旋转角90 °，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的位置；
（2）先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次连结得到所要画的图形.
解：(1)如图所示；
如图所示，点A2的坐标为(-3，-2),B2的坐标为(-1，-3).
【例题3】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵对应点的连线被对称中心平分，
∴，，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即，
∴C正确，故选A．
考点三 中心对称
【例题4】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
A．将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，这个图形不是中心对称图形；
B．将此图形绕圆心旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；
C．将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，这个图形不是中心对称图形；
D．将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，这个图形不是中心对称图形。
【方法总结】中心对称图形和轴对称图形的主要区别在于一个是绕一点旋转，另一个是沿一条直线对折.这是易错点，也是辨别它们不同的关键.
考点四 图形变换的简单应用
【例题5】如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换
是（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【答案】D
【解析】图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【例题6】如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）.
(1)对称中心的坐标；
(2)写出顶点B、 C、B1 、C1的坐标.
【答案】见解析
【解析】（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是D1D的中点，
∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，
∴B、C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），
∴A1的坐标是（0，1），
∴B1、C1的坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得顶点B、C、B1 、C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
对中心旋转有研究的数学家是菲利克斯·克莱因。
菲利克斯·克莱因是19世纪末和20世纪初德国的数学家， 他在几何学领域进行了思想上的革命， 这场革命被称为“几何学的群化”。 克莱因认为， 不同的几何结构之间应该存在一些联系， 它们可以通过一组变换来描述。 他提出了所谓的培尔斯背景(Erlangen Program)， 将几何学的研究从具体的几何对象中抽象出来， 转向对它们的变换性质的研究。 克莱因的贡献不仅在于将几何学的研究从具体对象中抽象出来， 更重要的是， 他引入了群论这个强有力的工具， 将代数和几何联系在了一起。 这种联系是以前不存在的， 因为传统的几何学只关注于几何对象本身， 而没有涉及到它们的变换。 克莱因的群化观点对数学的发展产生了深远影响， 促进了对于群的研究， 拓展了群论的应用范围， 同时揭示了几何之间的内在联系， 提供了新的研究思路和方法。
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