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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.3 正多边形和圆
课节学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念。
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。
课节知识点解读
知识点1. 正多边形和圆
1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
知识点2. 正多边形的对称性
1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
知识点3. 正多边形的性质
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.
(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
知识点4. 正多边形的有关计算
(1)正n边形的中心角怎么计算？
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
特别重要：圆内接正多边形的辅助线
(1)连半径，得中心角；
(2)作边心距，构造直角三角形.
方法总结：
1.正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
3.正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距.
4.记忆概念思维导图
课节知识点例题讲析
考点1. 多边形中心角
【例题1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（　　）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
【答案】A
【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB==60°，
∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．
【例题2】如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
考点2. 正多边形与圆
【例题3】如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
【答案】A
【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A. 2mm B. C. D. 4mm
【答案】D
【解析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
连接CF与AD交于点O，
∵正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，故选：D．
【点睛】考查正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
2. 如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
　
A．2， B．2，π C． ， D． 2，
【答案】D
【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，故选D．
4. 正六边形的边长为4，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解．
如图，过正六边形中心O作OG⊥AB于G
∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB==60°；
∵OA=OB，∠AOB=60°,OG⊥AB
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴OG=OA cos30°=4×=2，
∴S△OAB=×AB×OG=×4×2=4，
∴S六边形=6S△OAB=6×4=24
故选：B．
5. 如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
【答案】12
【解析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
6. （2023山东菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
由题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为．
7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，求这个正六边形的边心距OM和的长。
【答案】2，
【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，故选D．
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第二十四章 圆
专题24.3 正多边形和圆
课节学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念。
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。
课节知识点解读
知识点1. 正多边形和圆
1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
知识点2. 正多边形的对称性
1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
知识点3. 正多边形的性质
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.
(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
知识点4. 正多边形的有关计算
(1)正n边形的中心角怎么计算？
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
特别重要：圆内接正多边形的辅助线
(1)连半径，得中心角；
(2)作边心距，构造直角三角形.
方法总结：
1.正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
3.正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距.
4.记忆概念思维导图
课节知识点例题讲析
考点1. 多边形中心角
【例题1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（　　）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
【例题2】如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. C. 3 D.
考点2. 正多边形与圆
【例题3】如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A. 2mm B. C. D. 4mm
2. 如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
　
A．2， B．2，π C． ， D． 2，
4. 正六边形的边长为4，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
6. （2023山东菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，求这个正六边形的边心距OM和的长。
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