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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.5 探索四点共圆的条件（拓展）
课节学习目标
1.通过四点共圆的条件的探索和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想。
2.能用四点共圆的条件解决圆的有关问题。
课节知识点解读
四点共圆的判定定理：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
几何语言：在四边形ABCD中
∵∠B+∠D=180°
∴过 A、B、C、D四点可作一个圆。
四点共圆的判定定理推论1：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
几何语言：在四边形ABCD中
∵∠DCE=∠A
∴过A、B、C、D四点可作一个圆。
四点共圆的判定定理推论2：共斜边的直角三角形的顶点共圆。
几何语言：若∠BAC=∠BDC=90°，则A、B、C、D四点共圆.
四点共圆的判定定理推论3：同边的两个三角形夹角相等，且在同一边的同侧，则四点共圆。
几何语言：若∠BAC=∠BDC=90°，则A、B、C、D四点共圆。
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以做一个圆，若∠A=120°，则∠C的度数为_________.
【例题2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，则∠ABD的度数为_______.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.如图，矩形ABCD对角线AC与BD相交于点O．求证：A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．
2. 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180 °
求证：过A、B、C、D四点可作一个圆
3. 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，问：
（1）图中有多少组四点共圆？
（2）求证：∠ADF=∠ADE.
4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC， DE⊥AC，DF⊥AB．
求证：B、F、E、C四点共圆．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.5 探索四点共圆的条件（拓展）
课节学习目标
1.通过四点共圆的条件的探索和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想。
2.能用四点共圆的条件解决圆的有关问题。
课节知识点解读
四点共圆的判定定理：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
几何语言：在四边形ABCD中
∵∠B+∠D=180°
∴过 A、B、C、D四点可作一个圆。
四点共圆的判定定理推论1：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
几何语言：在四边形ABCD中
∵∠DCE=∠A
∴过A、B、C、D四点可作一个圆。
四点共圆的判定定理推论2：共斜边的直角三角形的顶点共圆。
几何语言：若∠BAC=∠BDC=90°，则A、B、C、D四点共圆.
四点共圆的判定定理推论3：同边的两个三角形夹角相等，且在同一边的同侧，则四点共圆。
几何语言：若∠BAC=∠BDC=90°，则A、B、C、D四点共圆。
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以做一个圆，若∠A=120°，则∠C的度数为_________.
【答案】60°
【解析】因为A、B、C、D四点共圆，所以
∠A+∠C=180°
∵∠A=120°，
∴∠C=180°-∠A=180°-120°=60°
【例题2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，则∠ABD的度数为_______.
【答案】60°
【解析】∵在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
所以A、B、C、D四点共圆，
所以∠CBD=∠CAD=16°，
∠ABD=90°-∠CBD=90°-16°=74°
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.如图，矩形ABCD对角线AC与BD相交于点O．求证：A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．
【答案】见解析。
【解析】根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC=1/2AC
OB=OD=1/2BD
推出OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．
2. 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180 °
求证：过A、B、C、D四点可作一个圆
证明:假设过A、B、C、D四点不能作一个圆。　　　　　　　　　　　　　　
过A、B、C三点一定可作圆，则点D在圆内或圆外。
①点Ｄ在圆内，延长AD交圆于点E,连接CE，
根据圆内接四边形性质
∠B+∠E=180 °
又∵∠B+∠ADC=180 °　　　　　　
∴∠ADC=∠E　　　　　　　　　　　
这与∠ADC>∠E矛盾,假设不成立．
∴过A、B、C、D四点能作一个圆。
②点D在圆外，设AD与圆交点E，连接CE，
∴∠B+∠AEC=180 °
又∵∠B+∠ADC=180 °
∴∠AEC=∠ADC
这与∠AEC>∠ADC矛盾，假设不成立。
∴过A、B、C、D四点能作一个圆。
综合①、②，过A、B、C、D四点能作一个圆。
3. 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，问：
（1）图中有多少组四点共圆？
（2）求证：∠ADF=∠ADE.
【答案】见解析。
【解析】（1）因为AD、BE、CF为△ABC的三条高，
所以AD⊥BC，CF⊥AB，BE⊥AC，
∠AFC=90°,∠AEB=90°,∠BFC=90°,∠BEC=90°,∠ABD=90°,∠ADC=90°
所以在四边形AFHE中，∠AFH+∠AEH=180°
A、F、H、E四点共圆；
在四边形EHDC中，∠CEH+∠CDH=180°
C、E、H、D四点共圆；
在四边形BFHD中，∠BFH+∠BDH=180°
B、F、H、D四点共圆；
在四边形AFEC中，
∠BFC=90°,∠BEC=90°,
∠BFC=∠BEC,
所以B、F、E、C四点共圆；
同理，在四边形AFDC中，
A、F、D、C四点共圆；
在四边形ABDE中，
A、B、D、E四点共圆。
所以图中有6组四点共圆。
（2）证明：
在ΔABE和ΔAFC中，
因为∠AEB=90°∠AFC=90°,
所以∠AEB=∠AFC,
又∠A=∠A,
所以∠ABE=∠ACF,
因为B、F、H、D四点共圆，
∠ADF=∠ABE.
因为D、H、E、C四点共圆，
所以∠ADE=∠ACF,
从而∠ADF=∠ADE.
4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC， DE⊥AC，DF⊥AB．
求证：B、F、E、C四点共圆．
证明 ∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠AFD＋∠AED=180°，
即A、F、D、E四点共圆，
∠AFE=∠ADE．
又∵AD⊥BC，∠ADE＋∠CDE=90°，
∠CDE＋∠ECD=90°，
∠ADE=∠ECD．
∴∠AFE=∠ECD，
∠BFE＋∠ECB=180°，
即B、F、E、C四点共圆．
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