资源简介

§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*(或N＋)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是________________的子集，是________________________的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 　 集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　　)
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
题型一　集合的含义与表示
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二　集合间的基本关系
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，则实数a的取值范围是________________．
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2}
B.
C．{x|3≤x<16}
D.
(2)如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1,3,5,7}，B＝{4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{1,3} B．{5,7}
C．{1,3,5} D．{1,3,7}
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 已知集合A＝{x|2m}，且( RA)∪B＝R，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m<2
C．m≤2 D．m>2
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(2022·吕梁模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{－2,1,4,8}，则A∩B等于(　　)
A．{－2,1} B．{1,8}
C．{1,4} D．{4,8}
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)§1.2　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的________条件，q是p的________条件
p是q的________________条件 p q且q p
p是q的________________条件 p q且q p
p是q的________条件 p q
p是q的________________条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记
否定 x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　)
教材改编题
1．命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x
B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－1D． x∈R，ex－12．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0
D． x∈R，tan x＝2
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________.
题型一　充分、必要条件的判定
例1 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练1 (1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝3x－3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝log3|x|
题型二　充分、必要条件的应用
例2 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若A是B的充要条件，则b＝________；
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．
题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词命题的否定
例3 (2022·漳州模拟)命题“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
听课记录：________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　含量词命题真假的判断
例4 (多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．对于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　含量词命题的应用
例5 若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
跟踪训练3 (1)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
(2)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
(3)若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．§1.3　等式性质与不等式性质
考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么________；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么______；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么______．
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b ________；
性质2　传递性：a>b，b>c ________；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ________；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ________；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　　)
(3)若x>y，则x2>y2.(　　)
(4)若>，则b教材改编题
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
3．若1题型一　数(式)的大小比较
例1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
(2)若a＝，b＝，则a________b．(填“>”或“<”)
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
题型二　不等式的性质
例2 (1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)
A．2aB．a(b－c)>b(a－c)
C.>
D．(a－c)3>(b－c)3
(2)(多选)若a>0>b>－a，cA．ad>bc
B.＋<0
C．a－c>b－d
D．a(d－c)>b(d－c)
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2 (1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则aC．若aD．若a>b，则a2>b2
(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
题型三　不等式性质的综合应用
例3 (1)已知－1(2)已知3听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
跟踪训练3 (1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　)
A．[－7,4] B．[－6,9]
C．[6,9] D．[－2,8]
(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．§1.4　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立．
(3)其中________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．
(2)＋≥________(a，b同号)．
(3)ab≤________ (a，b∈R)．
(4)≥____________ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值________．
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________．
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　)
教材改编题
1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
2．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为______．
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
题型一　利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1 (1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　)
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
(2)设0听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　常数代换法
例2 (2023·上饶模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．12
C．8＋4 D．6
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　消元法
例3 (2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
跟踪训练1 (1)(多选)(2022·常德模拟)若a>0，b>0，＋＝1，则(　　)
A．ab≤4 B．a＋b≥4
C．2a＋2b≤8 D．log2a＋log2b≥2
(2)已知x>1，则y＝的最大值为________．
题型二　基本不等式的常见变形应用
例4 (1)若0A．b>>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
(2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟踪训练2 (2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A. B.＋
C. D.
题型三　基本不等式的实际应用
例5 中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
跟踪训练3 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．§1.5　一元二次方程、不等式
考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 {x|x≠－} R
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ________________；
(2)≥0(≤0) ________________.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为____________，|x|0)的解集为________．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
教材改编题
1．不等式<0的解集为(　　)
A．
B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
题型一　一元二次不等式的解法
命题点1　不含参数的不等式
例1 (1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
B．[－2,3]
C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
D．[－3,2]
(2)已知p：|x－1|≤2，q：≤0，则p是q的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　含参数的一元二次不等式
例2 已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解关于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二　一元二次不等式恒成立问题
命题点1　在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2}
B．{a|－2C．{a|－2D．{a|a<2}
(2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤ D．a≥

展开更多......

收起↑