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§8.1　直线的方程
考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含直线x＝x0
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　　)
(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(　　)
教材改编题
1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
(2)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B.
C. D.
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思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
跟踪训练1　(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
题型二　求直线的方程
例2　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.
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思维升华　求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　)
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
题型三　直线方程的综合应用
例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
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延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
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2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
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思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3　(1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．§8.2　两条直线的位置关系
考试要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行
垂直
相交
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)
教材改编题
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B. C. D.
2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于(　　)
A．4 B．－4 C．1 D．－1
3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________．
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
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思维升华　判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
跟踪训练1　(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.
题型二　两直线的交点与距离问题
例2　(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　)
A．a＝6，d＝
B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝
D．a＝6，d＝
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为(　　)
A．y＝1 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
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思维升华　利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
跟踪训练2　(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．2 D．6
题型三　对称问题
命题点1　点关于点的对称问题
例3　直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
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命题点2　点关于直线的对称问题
例4　(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)
A．2 B．9 C. D．10
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命题点3　直线关于直线的对称问题
例5　两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
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思维升华　对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
跟踪训练3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
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________________________________________________________________________§8.3　圆的方程
考试要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到的距离等于的点的集合叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C_______
半径为_______
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C_______
半径r＝_______
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
题型一　圆的方程
例1　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为
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(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
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思维升华　求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．
题型二　与圆有关的轨迹问题
例2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
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(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
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思维升华　求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2　(2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
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(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
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题型三　与圆有关的最值问题
命题点1　利用几何性质求最值
例3　(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
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(3)x2＋y2的最大值和最小值．
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命题点2　利用函数求最值
例4　(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．
延伸探究　若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为________．
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思维升华　与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3　(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)
A．6 B．25 C．26 D．36
(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
几何观点 dr dr dr
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离
外切
相交
内切
内含
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(　　)
(4)在圆中最长的弦是直径．(　　)
教材改编题
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4 B．2 C. D.
3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
题型一　直线与圆的位置关系
命题点1　位置关系的判断
例1　(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2　弦长问题
例2　(1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为(　　)
A．± B. C. D．±
(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3　切线问题
例3　已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
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(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
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思维升华　当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4　直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4　(2023·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1　(1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
(2)(2023·昆明模拟)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最大值为(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
题型二　圆与圆的位置关系
例5　(1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华　(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练2　(1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为(　　)
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．§8.5　椭　圆
考试要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围
顶点
轴长 短轴长为，长轴长为______
焦点
焦距 |F1F2|＝____
对称性 对称轴：________，对称中心：______
离心率
a，b，c的关系
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
教材改编题
1．椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
题型一　椭圆的定义及其应用
例1　(1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
听课记录：______________________________________________________________
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延伸探究　若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
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思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1　(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(y≠0)
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：＋＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为(　　)
A．4 B．8 C．10 D．20
题型二　椭圆的标准方程
命题点1　定义法
例2　(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2　待定系数法
例3　已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．
听课记录：______________________________________________________________
思维升华　根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2　(1)“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
题型三　椭圆的几何性质
命题点1　离心率
例4　(1)(2022·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　)
A.＋1 B.－1
C. D.
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)问题
例5　(1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为(　　)
A. B. C. D.
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3　(1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.§8.6　双曲线
考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的等于非零常数(|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点
焦距
范围 或，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：；对称中心：______
顶点
轴 实轴：线段，长：；虚轴：线段B1B2，长：，实半轴长：，虚半轴长：_____
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈_________
a，b，c的关系 c2＝(c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
教材改编题
1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
题型一　双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0D.＋＝1(0(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为__________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.
题型二　双曲线的标准方程
例2　(1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型三　双曲线的几何性质
命题点1　渐近线
例3　(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2　离心率
例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于4
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线C的离心率的取值范围为
(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．§8.7　抛物线
考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线 方程
对称轴
顶点
离心率 e＝_____
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　　)
教材改编题
1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
题型一　抛物线的定义及应用
例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1　(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
题型二　抛物线的标准方程
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
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思维升华　求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2　(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
题型三　抛物线的几何性质
例3　(1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________.§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ0；直线与圆锥曲线相切 Δ0；直线与圆锥曲线相离 Δ0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝___________________
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. C. D.
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　(1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有(　　)
A．1个 B．至多1个
C．2个 D．0个
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(　　)
A．1 B. C. D.
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思维升华　(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1　(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
题型二　弦长问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
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思维升华　(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2　已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．
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题型三　中点弦问题
例3　(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
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思维升华　(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
(2)点差法常用结论
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
跟踪训练3　(1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，相交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练
题型一　离心率范围问题
例1　(1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－1,1] D.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B．[＋1，＋∞)
C. D．(1，＋1]
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思维升华　求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．
(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．
跟踪训练1　(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
题型二　圆锥曲线中二级结论的应用
命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2　(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
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思维升华　焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，
则椭圆中＝b2·tan ，
双曲线中＝.
周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，
则椭圆中kPA·kPB＝－，
双曲线中kPA·kPB＝.
跟踪训练2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
(2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)
A. B. C．－1 D．－
命题点2　抛物线中二级结论的应用
例3　(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　　)
A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
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思维升华　与抛物线的焦点弦有关的二级结论：
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则
①焦半径|AF|＝x1＋＝，
|BF|＝x2＋＝，
②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，
③S△OAB＝(O为坐标原点)，
④x1x2＝，y1y2＝－p2，
⑤＋＝，
⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
跟踪训练3　已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　)
A. B. C．4 D．2
题型三　圆锥曲线与其他知识的综合
例4　(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(　　)
A．该椭圆的离心率为
B．该椭圆的离心率为2－
C．该椭圆的焦距为
D．该椭圆的焦距为2－1
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思维升华　高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．
跟踪训练4　(多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则(　　)
A．双曲线C的方程为－＝1
B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题
题型一　求值问题
例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
思维升华　求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
跟踪训练1　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，焦距与长轴之比为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．
(1)求椭圆C的方程；
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(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积；
(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求·的值．
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题型二　证明问题
例2　(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．
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思维升华　圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
跟踪训练2　(2022·宁德模拟)若A，B，C(0,1)，D四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆T的方程；
(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
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