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模型5 “铅笔头”模型
模型展现
基础模型
图示
特点 AB∥CD,点O在平行线之间,连接OB,OC,且两条线段凸出来
结论 ∠BOC+∠B+∠C=360°
与“M”模型的关联 通过作延长线可知，实线部分为“铅笔头”模型，拐点与虚线部分为“M”模型，两个模型相互依存，同学们在使用中，可根据题目条件灵活选择合适的模型进行计算
结论分析
结论:∠BOC+∠B+∠C=360°
证法1:如图①,过点 O 作 OE∥AB.
∵ AB∥CD,∴OE∥AB∥CD.
∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,
∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°,
∴∠B+∠BOC+∠C=360°.
证法2:如图②,延长AB,CO交于点E,
∵AB∥CD,∴∠E+∠C=180°,
∵∠ABO+∠EBO=180°,
∴ ∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=360°.
∵∠E+∠EBO=∠BOC,
∴∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=∠C+∠ABO+∠BOC=360°.
也可以延长BO，DC按照证法2证明，试试看呦.
怎么用
1.找模型
平行线间某一端存在两条凸出的线段并交于一点
2.用模型
一般过平行线间的交点作平行线，再利用平行线性质同旁内角互补转换或结合三角形的性质求解
思考延伸
同学们还可尝试连接 BC，进行结论证明.
提示：根据同旁内角互补及三角形内角和为180°.
模型拓展
拓展方向：研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
结论 ∠O + ∠O + ( ∠B +∠C)=3×180° ∠O +∠O +∠O +…+∠On+(∠B+∠C)=(n+1)×180°
思 考 延 伸
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“铅笔头”模型与“M”模型求角度时均过拐点作平行线，思考一下，“铅笔头”模型的规律为什么是(n+1),“M”模型为什么是(n-1)呢
模型典例
例1 如图是由一个矩形纸片剪去两个角后得到，已知∠ABO=125°,∠BOC=100°,则∠OCD的度数为 ( )
A. 135° B. 125°
C. 115° D. 105°
思 路 点 拨
已知矩形，即隐含AB∥DC，剪去两个角后为“铅笔头”模型，利用模型结论解题.
例2 模型叠加 如图,已知AB∥CD,BF与CF分别平分∠ABE,∠DCE，则下列说法正确的是 ( )
A. ∠BEC=∠ABF+∠DCF
B. ∠BEC=360°-2∠BFC
C. ∠BFC=∠ABE
D. ∠BFC=360°-∠BEC
思 路 点 拨
AB∥CD,与∠BFC 形成“M”模型,与∠BEC 形成“铅笔头”模型，且给出角平分线知道角的数量关系，从而转换角度判断结论.
针对训练
1. 如图,l ∥l ,∠3=60°,则∠1+∠2的度数为( )
A. 120° B. 200° C. 240° D. 300°
2. 如图,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,若∠CPG=20°,则∠EFP的度数为( )
A. 160° B. 150° C. 110° D. 90°
3. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是AD,BC上的点,沿EF将矩形折叠,若∠FEA'=70°,则∠A'GF的度数为 ( )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
4. 一个小区大门的栏杆如图所示，BA⊥AE 于点A,CD∥AE,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数为 .
5. 模型迁移 如图,AB∥CD,点E,F分别在直线AB，CD上，若射线EA绕点 E 逆时针旋转至EB后立即回转，射线 FD 绕点 F逆时针旋转至 FC 后立即回转，两射线分别绕点E，F不停地旋转，若射线EA转动的速度是a°/秒,射线 FD转动的速度是b°/秒,且a,b满足方程组
(1)求a,b的值;
(2)若射线 EA和射线 FD同时旋转，至少旋转多少秒时，射线 EA 和射线 FD 互相垂直
模型5 “铅笔头”模型
模型典例
例 1 A 【解析】∵AB∥CD,∴根据“铅笔头”模型可 知, ∠BOC + ∠ABO +∠OCD = 360°,
例2 B 【解析】∵AB∥CD,∴根据“M”模型,∠BFC=∠ABF+∠DCF,根据“铅笔头”模型,∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°,又∵ BF与 CF 分别平分∠ABE,∠DCE,∴∠ABE=2∠ABF,∠DCE = 2 ∠DCF,∴ 2 ∠ABF +∠BEC+2∠DCF =360°,∴ ∠BEC = 360°-2∠BFC.
针对训练
1. C 【解析】如解图,∵∠3+∠4=180°(平角的性质),∠3 = 60°,∴ ∠4 = 180°-60°=120°.∵l ∥l ,∴根据“铅笔头”模型的结论有∠1+∠2+∠4=360°,∴ ∠1+∠2=360°-120°=240°.
2. C 【解析】解法1：从题图左侧看，符合“铅笔头”模型,根据模型结论可得,∠AOF+∠OFP+∠FPC=360°,∵EF⊥AB,∴∠AOF=90°,∵∠CPG=20°,∴∠FPC=160°,∴∠EFP=∠OFP=360°-160°-90°=110°.
解法2：从题图右侧看，符合“M”模型，根据模型结论可得,∠OFP=∠BOF+∠FPD,
∵∠BOF=90°,∠FPD=∠CPG=20°,∴∠EFP=
3.D 【解析】由折叠的性质可知， 90°,∠AEF=∠FEA'=70°,∴∠AEA'=140°,根据“铅笔头”模型，
4. 120° 【解析】∵ CD∥AE,AB 与 BC 两条线段相交凸出来，满足“铅笔头”模型，∴∠DCB+∠ABC+∠BAE=360°,又∵AB⊥AE,∴∠BAE=90°,∴ ∠BCD = 360°--∠BAE--∠ABC =
5. 解:(1)令
①+②可得4a=12,解得a=3,
将a=3代入①中可得b=1,
∴a=3,b=1;
(2)设至少旋转 t 秒时,射线 EA 与射线 FD互相垂直，
∵ 当射线EA⊥AB时,∠A'EA=90°,
∴射线 FD旋转的角度为30°,
∴当射线 EA 与射线 FD 相交时,∠AEA'>90°,如解图，射线 EA 与 FD 的交点为G，且第一次相交时，∠EGF从右侧凸出去，
∴∠AEG=(3t)°,∠CFG=180°-t°,
由“铅笔头”模型可知∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°,
即
解得t=45.
∴ 至少旋转45秒时,射线 EA 和射线 FD 互相垂直.

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