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模型9 “燕尾”型
模型展现
基础模型
图示
特点 凹四边形ABDC
结论 1. ∠BDC =∠A+∠B+∠C; 2. AB+AC>BD+CD
结论分析
结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C
证法1：如图①，连接AD 并延长，
则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4,
∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证法2:如图②,延长BD交AC于点E,
∵ ∠BEC是△ABE 的外角,
∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC是△CDE的外角,
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
结论 2:AB+AC>BD+CD
证明:如图②,延长BD 交AC 于点 E,则在△ABE中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE,在△CDE中,DE+CE>CD.
∵AC=AE+CE,
∴AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.
怎么用
1. 找模型
遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1
2. 用模型
“燕尾”型通常是把凹四边形的角转换在两个三角形内，根据三角形内外角关系解决角度问题
思 考 延 伸
同学们可尝试连接BC，进行结论的证明.
提示：使用三角形内角和定理来证明！
基础模型2
图示
特点 在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF 相交于同一点 O
结论 1. S△AOB:S△AOC=BD:CD; 2. S△AOB:S△COB=AE:CE; 3. S△BOC:S△AOC=BF:AF
结论分析
结论 1:S△AOB:S△AOC=BD:CD
证明:如图,分别过点B,C作BH,CG垂直于AD交于点H,G,在△ABC中, 在△BHD 和△CGD中,∠BHD=∠CGD=90°,∠BDH=∠CDG,
∴△BHD∽△CGD,
4怎么用
1.找模型
遇到类似“共边”的两个三角形的面积或线段比值相关问题，考虑用“燕尾”型基础模型2
2.用模型
一般依据三角形面积公式，建立面积与线段之间的关系
满 分 技 法
燕尾相邻的两个三角形同底不等高，常根据三角形的面积公式 底×高”可推导“同底不等高”的三角形的面积比即为对应高的比.
模型典例
例1 将一副直角三角板按如图所示放置使两直角顶点重合，则∠1的度数为 ( )
A. 75° B. 105° C. 135° D. 165°
思 路 点 拨
两个三角板斜边相交构成凹四边形，且已知对应角度数，结合三角形内外角关系即可求解.
例2 如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,AE,BF,CD交于点O,且 则 的值为 ( )
A. B. C. D.
思 路 点 拨
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通过“燕尾”模型基础模型2将线段之比转化为对应面积之比，再由面积之比转化为对应线段之比即可.
针对训练
1. 模型构造如图是一块不规则的纸片,已 知∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为 ( )
A. 80° B. 160°
C. 240° D. 360°
2. 如图,已知点 D,E 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,将∠A 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 F的位置,已知∠A=50°,∠1=130°,则∠2的度数为 ( )
A. 120° B. 130°
C. 140° D. 150°
3. 如图,∠A =45°,∠BDC = 135°,∠ABE = 则∠BEC 的度数是 ( )
A. 30° B. 45°
C. 75° D. 90°
4. 如图,在矩形ABCD 中,点 E,F 分别是边AB,BC的中点,连接AF,CE交于点 G,若矩形ABCD的面积为3,则四边形AGCD 的面积为 .
5. 如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC边上,AD 与 BE 交于点 F,若CD=3BD,EC=4AE,四边形 CDFE 的面积是 10,则△ABC的面积为 .
6.(分创新题型-阅读理解试题)模型规律定义：在四边形中，仅有一个角大于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型.
模型应用
(1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)
拓展应用
(2)如图③,在四边形 ABCD 中,BC=CD,∠BCD=2∠BAD. O 是四边形 ABCD 内一点,且OA=OB=OD.求证:四边形OBCD是菱形.
模型 9 “燕尾”型
模型典例
例1 D 【解析】如解图,∵∠1=∠COB=∠CEB+∠B,∠CEB = ∠D+∠C.∴ ∠1 = ∠COB=
例2 B 【解析】根据“燕尾”型结论,S△AOB: 同理可得：S△AOB:S△BOC=
针对训练
1. B 【解析】如解图,连接AD,结合“燕尾”型得∠F +∠DAF +∠ADE = ∠DEF,∠BAD +∠ADC + ∠C = ∠ABC,∴ ∠F + ∠DAF +∠ADE + ∠BAD + ∠ADC + ∠C = ∠DEF + ,即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=160°.
2. D 【解析】由折叠的性质得:∠A=∠F=50°(折叠的性质，这一步是解题的关键哦)， ∴∠2 = ∠A+∠F +∠AEF = 50°+ 50°+50°=150°.
3. C 【解析】∵ ∠A = 45°,∠BDC = 135°,∠BDC =∠A+∠ABD+∠ACD,∴ ∠ABD+∠ACD=∠BDC -∠A = 135°-45°= 90°.
∴∠BEC = ∠A + ∠ABE + ∠ACE = 45°+
4. 2 【解析】如解图,连接BG,AC,∵ E,F 分别是AB,BC的中点,∴AE:BE=1:1,CF:BF=1:1,∴S△ACC:S△BGC=AE∶BE=1:1,S△AGC:S△ABC = CF : BF = 1 : 1,∴ S△AGC = S△BGC =
【解析】如解图，连接CF,∵ CD=3BD,EC=4AE,∴BD:CD=1:3,AE : EC = 1 : 4, CD=1:3,S△ABF : S△BCF = AE : EC = 1:4, 设 则 设S△CDF = b,则S△BDF = 又∵a+b=10,∴a=
6. (1)解:在凹四边形ABOC中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α,
在凹四边形 DOEF 中,∠D+∠E+∠F =∠DOE=α,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α;
(2)证明:如解图,连接OC,∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAD=∠ODA,
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO+∠ADO=2∠BAD.
∵ ∠BCD=2∠BAD,
∴∠BCD=∠BOD.
∵ BC=CD,OA=OB=OD,OC是公共边,
∴△OBC≌△ODC(SSS),
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
又∵∠BOD=∠BCD,
∴∠BOC=∠BCO,
∴BO=BC.
又∵OB=OD,BC=CD,
∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.

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