资源简介

模型 10 “风筝”型
模型展现
基础模型 1
图示
特点 B,C分别为∠DAE边AD,AE上一点,点 F为∠DAE 内部一点，且在∠DAE 内部形成凸四边形ABFC
结论 ∠DBF+∠ECF =∠A+∠F(腋下两角之和等于上下两角之和)
结论分析
结论:∠DBF+∠ECF=∠A+∠F
证明：如图，连接AF，
∵∠DBF 是△ABF的外角,
∴∠DBF=∠BAF+∠BFA.
∵∠FCE 是△ACF的外角,
∴∠FCE=∠CAF+∠CFA,
∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC,即∠DBF+∠ECF=∠BAC+∠BFC.
基础模型2
图示
特点 四边形ABCD中,连接AC,BD 交于点O
结论 1. S :S =S :S 或S ·S =S ·S 2. AO:CO=(S +S ):(S +S )
怎么用
1.找模型
三角形顶角折叠或与角内部的角产生形似“风筝”的凸四边形
2.用模型
一般需要将四边形分成两个三角形，结合三角形内外角关系解决角度问题
思 考 延 伸
也可以用四边形内角和为360°，∠ABD 和∠ACE 两个平角转换角度来证明.
怎么用
1.找模型
遇到任意四边形，连接对角线，涉及相关面积问题时考虑用“风筝”型
2.用模型
常用三角形面积公式“ 底×高”，结合“同底”或“等高”的特点将面积问题转化为线段问题
结论分析
结论2:
证明：如图，过点D，B 作AC边上的高，分别为
由面积公式可得，
思 考 延 伸
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结论1 和2 也可以利用三角形的面积公式及比例关系的等比性质来进行证明，同学们可以试试哦.
模型典例
例1 如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC上一点,将∠C沿DE 折叠,点 C 的对应点为 C',若 ,则∠C的度数为 ( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
例2 (分新题型-填空双空题)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点E,△ADE,△ABE,△CDE的面积分别为2,3,4,△BCE的面积为 ,AE:CE 的值为 .
针对训练
1. 如图,在△ABC中,AB=BC,延长AB,AC 至点D,E,点F 是∠DAE 内部一点,连接BF,CF.若∠ABC=40°,∠F=50°,则∠DBF+∠ECF的度数为 ( )
A. 90° B. 100°
C. 110° D. 120°
2. 如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是AD,BC上的点,将四边形ABCD沿直线 EF折叠,若∠A=130°,∠B=110°,则∠1+∠2的度数为 .
3. 如图, ABCD 的对角线交于点 O,点E,F分别在BC,CD上,连接EF 交OC 于点 G,连接OE,(OF,S△OEF=S△ODF=2S△CEF,S△BOE=6,则△OCF的面积为 .
4. 模型迁移在平面直角坐标系中，点A(0，a)，B(b，0)分别在y轴正半轴和x轴负半轴，且
(1)求证:OA=OB;
(2)如图,连接AB,将△AOB绕点O 顺时针旋转150°,得到△NOM,连接AM,AN,AN交OM于点 P,求 的值.
模型 10
模型典例
例1 B 【解析】如解图，连接CC'，由折叠可知 ∠BEC'=80°,∴2∠C=80°,∴∠C=40°.
例2 6,1:2 【解析】∵在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点E,S△ADE=2,S△ABE=3,S△CDE =4,∴S△ADE:S△ABE=S△CDE:S△BCE,∴S△BCE=6,由“同高不等底”可知,AE:CE=S△ADE:S△CDE=2:4=1:2.
针对训练
1. D 【解析】∵AB=BC,∠ABC=40°,∴∠BAC=∠BCA=70°,由“风筝”型基础模型1结论可得,∠DBF+∠ECF=∠BAC+∠BFC=70°+50°=120°.
2. 120° 【解析】如解图,延长 EA,FB交于点M,延长 EA',FB'交于点 M',由“风筝”型基础模型 1得∠1+∠2=∠M+∠M',由折叠的性质可知∠M=∠M',∴∠1+∠2=2∠M,∵ ∠EAB= 130°,∴ ∠MAB = 180°-130°=50°,∴ ∠M=∠ABF--∠MAB=110°-50°=60°,∴∠1+∠2=2∠M=2×60°=120°.
3. 4 【解析】∵ ABCD 的对角线交于点 OF 为公共边,∴点 D 到 OF 的距离与点 E到 OF的距离相等,∴OF∥BC,∴点 F 是 CD的中点，. ∴设 则 即 6+x = 2x+2x,解得 x =
4. (1)证明:
∴a(a+b)=0,
∵a≠b且a≠0,
∴a+b=0.∴a=-b,
∴|a|=|b|,
∴OA=OB;
(2)解:由旋转角度为150°可知,∠AON=150°,
∵∠NOM=∠AOB=90°,
∴∠AOM=60°,
∵ OA=OB,由旋转可得OM=OB,S△NOM =
∴OA=OM,
∴△AOM是等边三角形,
由三角形面积公式同底等高可得

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