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2024年辽宁省中考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40
其中最低海拔最小的大洲是（　　）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
3．越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（　　）
A．532×108 B．53.2×109 C．5.32×1010 D．5.32×1011
4．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+a
6．一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
7．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．方程的解为 　 　．
12．在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 　 　．
13．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 　 　（用含a的代数式表示）．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：；
（2）计算：．
17．（8分）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
18．（8分）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
19．（8分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
20．（8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
23．（13分）已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
2024年辽宁省中考数学试题参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．A 3．C 4．C 5．D
6．B 7．B 8．D 9．C 10．B
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．x＝3 12．（1，2） 13．12 14．4 15．a﹣10
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）解：（1）
＝16﹣10+23
＝9；
（2）

＝1．
17．（8分）解：（1）设甲池的排水速度是x m3/h．
根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8），
解得x＝4，
∴甲池的排水速度是4m3/h．
（2）设排水t小时．
根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24，
解得t≤4，
∴最多可以排水4小时．
18．（8分）解：（1）样本容量为：12÷40%＝30，
30﹣1﹣12﹣10＝7（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；
（2）所抽取的学生成绩为C等级的人数为85；
（3）360120（人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．
19．（8分）解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2600＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
20．（8分）解：（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6m，
则AB的长为6m；
（2）在Rt△ABC中，AB＝6m，AC＝3m，
根据勾股定理得：BC3m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，1.73，
∴sin∠CDB，即0.60，
∴BD≈8.65m，
∴CE＝BD﹣BA＝8.65﹣6＝2.65≈2.7（m），
则物体上升的高度CE约为2.7m．
21．（8分）（1）证明：如图1，连接OC，
∵∠CAO是△ACE的一个外角，
∴∠CAO＝∠CEA+∠ACE，
即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE，
∵∠CEA＝∠CAD．
∴∠DAB＝∠ACE，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABC+∠OCA＝90°，
∴∠ACE+∠OCA＝90°，
即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，
设∠DAB＝x，
∵∠CEA＝2∠DAB，
∴∠CEA＝2x，
∵∠CEA＝∠CAD，
∴∠CAD＝2x，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴x+2x+x＝90°，
∴x＝22.5°，
即∠DAB＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝45°，
∵OA＝8，
∴的长为2π．
22．（12分）（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）；
（2）PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，
AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；
（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，
∴EF＝DF，
∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；
②解：设CE＝a，BC＝DE＝b，
∴BE＝BC﹣CE＝b﹣a，
由①知，
点F是PD的中点，
∴PFPD，
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，
∴△PBF∽△PED，
∴，
∴PE＝2BE＝2（b﹣a），BFDEb，
∴S△CEF，
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b﹣a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b﹣a）+a＝2b﹣a，
∴b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，
化简得，
3a2﹣4ab+b2＝0，
∴b＝a或b＝3a，
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，
∴b＝3a，
∴S△CEFab，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，
∴a2＝40，
∴S△CEF，
∴△CEF的面积是30．
23．（13分）解：（1），图象如图2所示．
（2）如图3，
∵，
设，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，
解得m＝3．
所以A（3，1）．
（3）①因为，
所以A（m，﹣m+4），B（m，﹣m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么﹣m+4＝﹣m2+4m．
整理，得m2﹣5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（﹣m2+4m）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m﹣4）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+14m﹣16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4﹣2m）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+6m．
综上，y＝2m2+14m﹣16或＝﹣2m2+6m．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝﹣2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝﹣2m2+14m﹣16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2﹣t1＝8﹣4＝4．
情形2，如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点．
由，得，
所以，
所以点F的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，t2﹣t1＝4或3﹣2．
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