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必备知识·逐点夯实
第五节　空间向量的运算及其坐标表示
第八章　立体几何初步、空间向量与立体几何
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.
2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.
3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 常以空间向量的表示为载体,考查空间向量投影、线性运算、数量积
的运算.空间向量数量积的运算是高考热点,在选择题或填空题中体现.
预测 2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.空间向量有关概念
(1)单位向量:模为___的向量.
(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________,
那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
(3)共面向量:______于同一个平面的向量.
微点拨
(1)零向量与任意向量平行;
(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.
1
互相平行或重合
平行
2.空间向量有关定理
(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数
λ,使______.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条
件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,
存在唯一的有序实数组(x,y,z),使___________.叫做空间的一个______.
a=λb
p=xa+yb+zc
基底
3.空间向量有关运算
设a=,b=(b1,b2,b3),
(1)坐标运算:则a+b=_________________;
a-b=________________;
λa=________________.
(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos.
微点拨
向量a在向量b方向上的投影向量:cos·=·b.
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3),λ∈R
4.空间向量有关公式
(1)空间两点间距离公式
已知P1,P2,则=.
(2)空间两点的中点公式
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则.
(3)空间向量共线与垂直公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
a∥b a=λb x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).
(4)空间向量模与夹角公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|==;
cos〈a,b〉==.
常用结论
1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(其中x+y=1),O为平面内任意一点.
2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.在利用=x+y证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内.
×
×
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.(　 　)
提示:(1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个;
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　 　)
提示: (2)a⊥α;
×
×
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　 　)
提示: (3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间的一个基底;
(4)若a·b<0,则是钝角.(　 　)
提示: (4)若=π,则a·b<0.
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
【解析】选A.=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
2.(选择性必修一P6T5·变形式)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
3.(选择性必修一P5例1·变形式)若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(　　)
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
【解析】选D.因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.
4.(忘记开方导致错误)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF
的长为　　　.
【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的长为.
核心考点·分类突破
考点一空间向量的线性运算
[例1](1)(2023·武汉模拟)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=OM,设=a,=b,=c,则下列向量与相等的向量是(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a+b+c D.a+b+c
【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=OM,
所以=-=-=×(+)-=+-=-a+b+c.
(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则等于(　　)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b+c
【解析】选D.=++
=-++(+)
=-+++(-)
=-++=-a+b+c.
解题技法
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
对点训练
如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
【解析】(1)因为P是C1D1的中点,
所以=++=a++
=a+c+=a+c+b.
对点训练
如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(2);
【解析】(2)因为N是BC的中点,
所以=++=-a+b+
=-a+b+=-a+b+c.
对点训练
如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(3)+.
【解析】(3)因为M是AA1的中点,
所以=+=+=-a+=a+b+c.
又=+=+=+=c+a,
所以+=+=a+b+c.
考点二共线、共面向量的应用
[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)
A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2
【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa,所以,
解得或.
(2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的
中点,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则=　　　　　.
【解析】由题可设=λ,
因为=++
=2+3+,
所以=2λ+3λ+λ,
因为M,E,F,G四点共面,
所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点
P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面
上　　 　 　 　的点.
【解析】因为点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点
A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以
CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,
则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体
的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.
线段AB1(线段B1C或线段AC)上(答案不唯一)
解题技法
1.共线、共面向量定理的应用
(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线;
(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行,四点共面;
(3)根据向量共线和向量共面求参数取值;
(4)与a同向的单位向量为,反向的单位向量为-,共线的单位向量为±.
2.证明四点P,M,A,B共面的方法
(1)=x+y;
(2)对空间任意一点O,=+x+y;
(3)对空间任意一点O,
=x+y+z(x+y+z=1);
(4)∥或∥或∥.
对点训练
1.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ等于(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【解析】选B.=6-4+λ,
即-=6-4+λ,
整理得=6-3+λ,
由A,B,C,D四点共面,
且其中任意三点均不共线,
可得6-3+λ=1,解得λ=-2.
2.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则(　　)
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
【解析】选A.因为A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),
所以=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).
因为A,B,C,D四点共面,所以存在实数λ,μ使得=λ+μ,
即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),所以,解得2x+y+z=1.
考点三空间向量的数量积及应用
[例3](1)在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则·等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为P-ABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,
所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以·=0,
||=·||·sin 60°=,
故·=·(+)=||2=||2-||2=4-=.
(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).
①求<,>;
【解析】①因为A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以=(0,3,3),=(2,-2,0).
因为·=0×2+3×(-2)+3×0=-6,
||=3,||=2,
所以cos<,>===-,
故<,>=.
(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).
②求在上的投影向量.
【解析】②因为=(2,1,3),=(0,3,3),
所以·=0+1×3+3×3=12.
因为||=3,||=,
所以cos<,>===,
所以在上的投影向量为||cos<,>·=××==(0,2,2).
对点训练
1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+λ与的夹角为120°,则λ的值为
(　　)
A.± B. C.- D.±
【解析】选C.由于+λ=(1,-λ,λ),=(0,-1,1),则cos 120°==-,解得λ=±.经检验λ=不符合题意,舍去,所以λ=-.
2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长;
【解析】(1)如图所示,设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=1,|c|=2.
a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 120°=-1.
因为=++=a+b+c,
所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2.
所以||=.即线段AC1的长为.
2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
【解析】(2)因为=a+b+c,=b-c,
所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2.
又||2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以||=.
所以cos<,>===-.
所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(3)证明:AA1⊥BD.
【解析】(3)因为=c,=b-a,
所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0.
所以⊥,即AA1⊥BD.
谢谢观赏！！8.5-空间向量的运算及其坐标表示
【课标解读】
【课程标准】
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.
2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.
3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 常以空间向量的表示为载体,考查空间向量投影、线性运算、数量积的运算.空间向量数量积的运算是高考热点,在选择题或填空题中体现.
预测 2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.空间向量有关概念
(1)单位向量:模为1的向量.
(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.
微点拨
(1)零向量与任意向量平行;
(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.
2.空间向量有关定理
(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.叫做空间的一个基底.
3.空间向量有关运算
设a=,b=(b1,b2,b3),
(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.
(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=
|a||b|cos.
微点拨
向量a在向量b方向上的投影向量:cos·=·b.
4.空间向量有关公式
(1)空间两点间距离公式
已知P1,P2,则=.
(2)空间两点的中点公式
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则.
(3)空间向量共线与垂直公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
a∥b a=λb x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).
(4)空间向量模与夹角公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|==;
cos〈a,b〉==.
常用结论
1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(其中x+y=1),O为平面内任意一点.
2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.在利用=x+y证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.(　 ×　)
提示:(1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个;
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　 ×　)
提示: (2)a⊥α;
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　 ×　)
提示: (3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间的一个基底;
(4)若a·b<0,则是钝角.(　 ×　)
提示: (4)若=π,则a·b<0.
2.(选择性必修一P6T5·变形式)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
【解析】选A.=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
3.(选择性必修一P5例1·变形式)若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(　　)
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
【解析】选D.因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.
4.(忘记开方导致错误)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　.
【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的长为.
答案:
【核心考点·分类突破】
考点一空间向量的线性运算
[例1](1)(2023·武汉模拟)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=OM,设=a,=b,=c,则下列向量与相等的向量是(　　)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a+b+c
D.a+b+c
【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=OM,
所以=-=-=×(+)-=+-=-a+b+c.
(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则等于(　　)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b+c
【解析】选D.=++
=-++(+)
=-+++(-)
=-++=-a+b+c.
解题技法
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
对点训练
如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
【解析】(1)因为P是C1D1的中点,
所以=++=a++
=a+c+=a+c+b.
(2);
【解析】(2)因为N是BC的中点,
所以=++=-a+b+
=-a+b+=-a+b+c.
(3)+.
【解析】(3)因为M是AA1的中点,
所以=+=+
=-a+=a+b+c.
又=+=+=+
=c+a,
所以+=+
=a+b+c.
考点二共线、共面向量的应用
[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)
A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2
【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa,所以,
解得或.
(2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则=　　　　　.
【解析】由题可设=λ,
因为=++
=2+3+,
所以=2λ+3λ+λ,
因为M,E,F,G四点共面,
所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
答案:
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上　　　　　的点.
【解析】因为点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,
则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.
答案:线段AB1(线段B1C或线段AC)上(答案不唯一)
解题技法
1.共线、共面向量定理的应用
(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线;
(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行,四点共面;
(3)根据向量共线和向量共面求参数取值;
(4)与a同向的单位向量为,反向的单位向量为-,共线的单位向量为±.
2.证明四点P,M,A,B共面的方法
(1)=x+y;
(2)对空间任意一点O,=+x+y;
(3)对空间任意一点O,
=x+y+z(x+y+z=1);
(4)∥或∥或∥.
对点训练
1.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ等于(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【解析】选B.=6-4+λ,
即-=6-4+λ,
整理得=6-3+λ,
由A,B,C,D四点共面,
且其中任意三点均不共线,
可得6-3+λ=1,解得λ=-2.
2.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则(　　)
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
【解析】选A.因为A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),
所以=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).
因为A,B,C,D四点共面,
所以存在实数λ,μ使得=λ+μ,
即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),
所以,解得2x+y+z=1.
考点三空间向量的数量积及应用
[例3](1)在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则·等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为P-ABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,
所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以·=0,
||=·||·sin 60°=,
故·=·(+)=||2=||2-||2=4-=.
(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).
①求<,>;
【解析】①因为A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以=(0,3,3),=(2,-2,0).
因为·=0×2+3×(-2)+3×0=-6,
||=3,||=2,
所以cos<,>===-,
故<,>=.
②求在上的投影向量.
【解析】②因为=(2,1,3),=(0,3,3),
所以·=0+1×3+3×3=12.
因为||=3,||=,
所以cos<,>===,
所以在上的投影向量为||cos<,>·=××==(0,2,2).
解题技法
空间向量数量积的应用
对点训练
1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+λ与的夹角为120°,则λ的值为(　　)
A.± B. C.- D.±
【解析】选C.由于+λ=(1,-λ,λ),=(0,-1,1),则cos 120°==-,解得λ=±.经检验λ=不符合题意,舍去,所以λ=-.
2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长;
【解析】(1)如图所示,设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=1,|c|=2.
a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 120°=-1.
因为=++=a+b+c,
所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2.
所以||=.即线段AC1的长为.
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
【解析】(2)因为=a+b+c,=b-c,
所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2.
又||2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以||=.
所以cos<,>===-.
所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明:AA1⊥BD.
【解析】(3)因为=c,=b-a,
所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0.
所以⊥,即AA1⊥BD.

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