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必备知识·逐点夯实
第六节　双曲线第1课时　双曲线的定义、标准方程及其几何性质
第九章　直线与圆、圆锥曲线
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题或填空题形式出现.
预测 预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在选择题、填空题中出现,双曲线与其他圆锥曲线交汇考查比较灵活,各种题型都可能涉及.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.双曲线的定义
(1)一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)
的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲
线的焦距.
(2)数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且
c>a>0.
定点
微点拨 (1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
(2)若a=c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若a>c,则轨迹不存在;若a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:________　　对称中心:______ 顶点 顶点坐标: A1______, A2_____　 顶点坐标:
A1______, A2_____　
坐标轴
原点
(-a,0)
(a,0)
(0,-a)
(0,a)
性 质 渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞) a,b,c的关系 c2=______ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=____; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=____; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 等轴 双曲线 ①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. ②性质:a=b;e=;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 a2+b2
2a
2b
微思考 双曲线的范围经常在什么情况下使用
提示:在求最值、范围、是否存在等题目求解时,使用范围这个性质.
常用结论
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,
则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为.
4.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0).
5.双曲线的离心率公式可表示为e=.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.(　 　)
提示:(1)双曲线的焦点一定在实轴上;
√
(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.(　 　)
提示:(2)若两条双曲线的焦点相同,==,若离心率不同,焦点在x轴上时,则
渐近线的斜率的绝对值也不相同,则渐近线也不相同,同样焦点在y轴也有类似结论;
(3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.(　 　)
提示:(3)==,焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,e越大,则越大,即渐近
线斜率的绝对值越大;
×
√
(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.
(　 　)
提示:(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线,如双曲线-=1和-=1
的渐近线相同,都为y=±x.
×
2.(混淆焦点位置)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.由题意,c=5,2a=6,所以a=3,
则b==4,结合条件可知,双曲线的标准方程为-=1.
3.(选择性必修第一册P120例1变条件)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　)
A.-=1 B.-=1(x≥4)
C.-=1 D.-=1(x≥3)
【解析】选D.由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知c=5,a=3,所以b==4,故点M的轨迹方程为-=1(x≥3).
4.(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2= 60°, |PF1|= 3|PF2|,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.设|PF1|=m,|PF2|=n,
则根据题意及余弦定理可得:,
解得,所以所求离心率为===.
核心考点·分类突破
考点一 双曲线的定义及应用
[例1](1)(2024·潍坊模拟)已知动圆M与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆M的圆心轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.抛物线 D.前三个答案都不对
【解析】选B.题中两圆分别记为圆A:x2+y2=1以及圆B:(x-3)2+y2=2,设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则,
于是|MB|-|MA|=-1(<|AB|=3)为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支.
(2)若F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点.
①若双曲线上一点P到焦点F1的距离为7,求|PF2|;
【解析】①由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由于|PF1|=7(2)若F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点.
②若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【解析】②由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=64,
所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
解题技法
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
对点训练
1. 已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的
是(　　)
A.-=±7
B.-=±6
C.-=±4
D.-=±6
【解析】选C.由题意,因为=6,所以由双曲线的定义知,
当0<<6时,动点P的轨迹为双曲线.
2.(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内
一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为(　　)
A.+4 B.-4
C.-2 D.+2
【解析】选C.因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求
|AP|+|AF1|的最小值.如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时,
|AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|==.
故|AP|+|AF2|的最小值为-2.
【加练备选】
　　 1.(2024·渭南模拟)如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是(　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不确定
【解析】选C.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=2,c==4;
则|PF2|=8>6,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4,即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12,由于c-a=2,故点P到它的左焦点的距离是4或12.
2.(2024·荆州模拟)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是C的右支上的
一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=_______.
【解析】如图所示,延长F2M交PF1于Q,
由于PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM,
所以△QPF2是等腰三角形,
所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中点.
根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,
由于O是F1F2的中点,所以MO是△QF1F2的中位线,
所以|MO|=|QF1|=4.
4
考点二 双曲线的标准方程
[例2](2024·武汉模拟)已知点F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2的距离之差为6,则曲线方程为(　　)
A.-=1(x>0) 　　B.-=1
C.-=1(y>0) 　　D.-=1
【解析】选A.由题意可得|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线的一支,且2a=6,2c=8,即a=3,c=4,
所以b2=c2-a2=16-9=7.又因为焦点在x轴上,所以曲线方程为-=1(x>0).
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=x是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.由双曲线C:-=1,则其渐近线方程为y=±x,由题意可得:=,整理可得b=a,将(2,2)代入双曲线方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.由离心率为,可知a=b,c=a,所以F(-a,0),
由题意知kPF===1,所以a=4,解得a=2,
所以双曲线的方程为-=1.
解题技法
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法.
一般步骤.
对点训练
1.(2021·北京高考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【解析】选A.由e==2,得c=2a,b==a,则双曲线的方程为-=1,
将点(,)的坐标代入双曲线的方程可得-=1,解得a=1,故b=,
因此双曲线的标准方程为x2-=1.
2.在平面直角坐标系中,已知圆M:(x+2)2+y2=12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点,线段
NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为
____________.
【解析】因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以|PQ|=|PN|,
所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=2<|MN|=4,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N
为焦点,2为实轴长的双曲线,则c=2,a=,得b=1,
所以曲线E的方程为-y2=1.
-y2=1
【加练备选】
　　 (2024·杭州模拟)已知等轴双曲线Γ经过点A(3,2),则Γ的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.y2-x2=1 D.x2-y2=1
【解析】选A.设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),
代入点A(3,2),得λ=9-4=5,故所求双曲线的方程为x2-y2=5,
其标准方程为-=1.
考点三 双曲线的几何性质
考情提示
双曲线的离心率及渐近线方程是高考命题的热点,它们常与方程、不等式及向量等知识相结合,多以选择或填空题的形式出现.
角度1 双曲线的离心率
[例4](1)(2024·厦门模拟)已知双曲线-y2=1的焦距为4,则其离心率为(　　)
A. B. C.2 D.4
【解析】选B.由双曲线-y2=1的焦距为4,可得c=2,b=1,
所以a===,e===.
(2)(2024·广州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是(　　)
A. (1, B.[,+∞) C.(1,] D.[,+∞)
【解析】选A.设P(x,y),|PB|≥b ≥b x2+y2-2by≥0(*),
由-=1 x2=a2(1+),代入不等式*中,化简,得y2-2by+a2≥0恒成立,
则有Δ=4b2-≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2-a2≤ac e2-e-1≤0,
解得≤e≤,而e>1,所以1解题技法
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c,直接利用e=求解;
(2)若已知a,b,可直接利用e=得解;
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
角度2 双曲线的渐近线方程
[例5](1)(2024·南京模拟)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双
曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程
为(　　)
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0
C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,如图所示,
因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
(2)(一题多法)(2022·北京高考)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则
m=______.
【解析】方法一:依题意得m<0,双曲线的方程可表示为y2-=1,此时双曲线的渐
近线的斜率为±=±,解得m=-3.
方法二:依题意得m<0,令y2-=0,
得y=±x=±x,解得m=-3.
-3
(3)(一题多法)若双曲线经过点(1,),其渐近线方程为y=±2x,则双曲线的方程是
_________.
【解析】方法一:由题意可知,①若双曲线的焦点在x轴上,则可设-=1(a>0,b>0),则
-=1且=2,联立解得a=,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1;
②若双曲线的焦点在y轴上,则可设-=1(a>0,b>0),则-=1,且=2,此时无解,
综上,双曲线的方程为4x2-y2=1.
方法二:由题可设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0),
因为双曲线经过点(1,),所以λ=4×12-()2=1,
所以双曲线方程为4x2-y2=1.
4x2-y2=1
解题技法
1.渐近线的求法
求双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程±=0 (y=±x).
2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程
(1)渐近线为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2 =m (m≠0);
(3)与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
对点训练
1.(多选题)已知点F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C位于第一象限内一点,若·=0,=2||,则下列结论正确的是(　　)
A.△PF1F2的面积为a2
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0
D.若双曲线C的焦距为2,则双曲线C的方程为x2-=1
【解析】选BD.对于选项A:由定义可得|PF1|-|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,
所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,由已知∠F1PF2=90°,
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2,故A错误;
对于选项B:由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即5a2=c2,所以e===,故B正确;
对于选项C:因为b2=c2-a2=4a2,所以=4,即=2,所以双曲线的渐近线方程为:2x±y=0,故C错误;
对于选项D:由双曲线C的焦距为2得c=,从而a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-=1,故D正确.
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A
在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为________.
【解析】方法一:依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,
在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos∠F1AF2===,
所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2==,
整理得5c2=9a2,故e==.
方法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),
因为=-,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),则x0=c,y0=-t,
又⊥,所以·=(c,-t)(c,t)=c2-t2=0,则t2=4c2,
又点A在C上,则-=1,整理得-=1,则-=1,
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),
整理得25c4-50c2a2+9a4=0,则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,
又e>1,所以e=或e=(舍去),故e=.
【加练备选】
　　(多选题)(2024·阜阳模拟)已知曲线C:+=1(m≠0,n≠0),则下列叙述正确的
有(　　)
A.若曲线C为圆,则m=n
B.若m=-n,则曲线C的离心率为2
C.若0D.若m<0【解析】选ACD.若方程+=1(m≠0,n≠0)的曲线为圆,则m=n>0,A正确;
若m=-n,则曲线C为等轴双曲线,所以双曲线C的离心率为,B不正确;
若0若m<0双曲线C的渐近线方程为y=±x,D正确.
谢谢观赏！！9.6.1-双曲线的定义、标准方程及其几何性质
【课标解读】
【课程标准】
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题或填空题形式出现.
预测 预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在选择题、填空题中出现,双曲线与其他圆锥曲线交汇考查比较灵活,各种题型都可能涉及.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.双曲线的定义
(1)一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0.
微点拨 (1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
(2)若a=c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若a>c,则轨迹不存在;若a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴　　对称中心:原点
顶点 顶点坐标: A1(-a,0),A2(a,0)　 顶点坐标: A1(0,-a),A2(0,a)　
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞)
a,b,c 的关系 c2=a2+b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
等轴 双曲线 ①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. ②性质:a=b;e=;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
微思考 双曲线的范围经常在什么情况下使用
提示:在求最值、范围、是否存在等题目求解时,使用范围这个性质.
常用结论
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为.
4.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0).
5.双曲线的离心率公式可表示为e=.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.(　 √　)
提示:(1)双曲线的焦点一定在实轴上;
(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.(　 ×　)
提示:(2)若两条双曲线的焦点相同,==,若离心率不同,焦点在x轴上时,则渐近线的斜率的绝对值也不相同,则渐近线也不相同,同样焦点在y轴也有类似结论;
(3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.(　 √　)
提示:(3)==,焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,e越大,则越大,即渐近线斜率的绝对值越大;
(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.(　 ×　)
提示:(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线,如双曲线-=1和-=1的渐近线相同,都为y=±x.
2.(混淆焦点位置)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.由题意,c=5,2a=6,所以a=3,
则b==4,结合条件可知,双曲线的标准方程为-=1.
3.(选择性必修第一册P120例1变条件)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　)
A.-=1 B.-=1(x≥4)
C.-=1 D.-=1(x≥3)
【解析】选D.由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知c=5,a=3,所以b==4,故点M的轨迹方程为-=1(x≥3).
4.(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2= 60°, |PF1|= 3|PF2|,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.设|PF1|=m,|PF2|=n,
则根据题意及余弦定理可得:,
解得,所以所求离心率为===.
【核心考点·分类突破】
考点一双曲线的定义及应用
[例1](1)(2024·潍坊模拟)已知动圆M与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆M的圆心轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.抛物线 D.前三个答案都不对
【解析】选B.题中两圆分别记为圆A:x2+y2=1以及圆B:(x-3)2+y2=2,设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则,
于是|MB|-|MA|=-1(<|AB|=3)为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支.
(2)若F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点.
①若双曲线上一点P到焦点F1的距离为7,求|PF2|;
【解析】①由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由于|PF1|=7②若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【解析】②由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=64,所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
解题技法
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
对点训练
1. 已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是(　　)
A.-=±7
B.-=±6
C.-=±4
D.-=±6
【解析】选C.由题意,因为=6,所以由双曲线的定义知,
当0<<6时,动点P的轨迹为双曲线.
2.(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为(　　)
A.+4 B.-4
C.-2 D.+2
【解析】选C.因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时,
|AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|==.
故|AP|+|AF2|的最小值为-2.
【加练备选】
　　 1.(2024·渭南模拟)如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是(　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不确定
【解析】选C.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=2,c==4;
则|PF2|=8>6,
由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4,即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12,由于c-a=2,故点P到它的左焦点的距离是4或12.
2.(2024·荆州模拟)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=____________.
【解析】如图所示,延长F2M交PF1于Q,
由于PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM,
所以△QPF2是等腰三角形,
所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中点.
根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,
由于O是F1F2的中点,所以MO是△QF1F2的中位线,
所以|MO|=|QF1|=4.
答案:4
考点二双曲线的标准方程
[例2](2024·武汉模拟)已知点F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2的距离之差为6,则曲线方程为(　　)
A.-=1(x>0) 　　B.-=1
C.-=1(y>0) 　　D.-=1
【解析】选A.由题意可得|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线的一支,且2a=6,2c=8,即a=3,c=4,
所以b2=c2-a2=16-9=7.又因为焦点在x轴上,所以曲线方程为-=1(x>0).
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=x是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.由双曲线C:-=1,则其渐近线方程为y=±x,由题意可得:=,整理可得b=a,将(2,2)代入双曲线方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.由离心率为,可知a=b,c=a,所以F(-a,0),
由题意知kPF===1,所以a=4,解得a=2,
所以双曲线的方程为-=1.
解题技法
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法.
一般步骤.
对点训练
1.(2021·北京高考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【解析】选A.由e==2,得c=2a,b==a,则双曲线的方程为-=1,
将点(,)的坐标代入双曲线的方程可得-=1,解得a=1,故b=,
因此双曲线的标准方程为x2-=1.
2.在平面直角坐标系中,已知圆M:(x+2)2+y2=12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点,线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为____________.
【解析】因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以|PQ|=|PN|,
所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=2<|MN|=4,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点,2为实轴长的双曲线,则c=2,a=,得b=1,
所以曲线E的方程为-y2=1.
答案:-y2=1
【加练备选】
　　 (2024·杭州模拟)已知等轴双曲线Γ经过点A(3,2),则Γ的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.y2-x2=1 D.x2-y2=1
【解析】选A.设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),
代入点A(3,2),得λ=9-4=5,故所求双曲线的方程为x2-y2=5,
其标准方程为-=1.
考点三双曲线的几何性质
考情提示
双曲线的离心率及渐近线方程是高考命题的热点,它们常与方程、不等式及向量等知识相结合,多以选择或填空题的形式出现.
角度1 双曲线的离心率
[例4](1)(2024·厦门模拟)已知双曲线-y2=1的焦距为4,则其离心率为(　　)
A. B. C.2 D.4
【解析】选B.由双曲线-y2=1的焦距为4,可得c=2,b=1,
所以a===,e===.
(2)(2024·广州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是(　　)
A. (1, B.[,+∞)
C.(1,] D.[,+∞)
【解析】选A.设P(x,y),|PB|≥b ≥b x2+y2-2by≥0(*),
由-=1 x2=a2(1+),代入不等式*中,化简,得y2-2by+a2≥0恒成立,
则有Δ=4b2-≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2-a2≤ac e2-e-1≤0,
解得≤e≤,而e>1,所以1解题技法
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c,直接利用e=求解;
(2)若已知a,b,可直接利用e=得解;
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
角度2 双曲线的渐近线方程
[例5](1)(2024·南京模拟)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0
C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,如图所示,
因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
(2)(一题多法)(2022·北京高考)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=______.
【解析】方法一:依题意得m<0,双曲线的方程可表示为y2-=1,此时双曲线的渐近线的斜率为±=±,解得m=-3.
方法二:依题意得m<0,令y2-=0,
得y=±x=±x,解得m=-3.
答案:-3
(3)(一题多法)若双曲线经过点(1,),其渐近线方程为y=±2x,则双曲线的方程是________.
【解析】方法一:由题意可知,①若双曲线的焦点在x轴上,则可设-=1(a>0,b>0),则-=1且=2,联立解得a=,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1;
②若双曲线的焦点在y轴上,则可设-=1(a>0,b>0),则-=1,且=2,此时无解,综上,双曲线的方程为4x2-y2=1.
方法二:由题可设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0),
因为双曲线经过点(1,),所以λ=4×12-()2=1,
所以双曲线方程为4x2-y2=1.
答案:4x2-y2=1
解题技法
1.渐近线的求法
求双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程±=0 (y=±x).
2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程
(1)渐近线为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2 =m (m≠0);
(3)与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
对点训练
1.(多选题)(2024·长沙模拟)已知点F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C位于第一象限内一点,若·=0,=2||,则下列结论正确的是(　　)
A.△PF1F2的面积为a2
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0
D.若双曲线C的焦距为2,则双曲线C的方程为x2-=1
【解析】选BD.对于选项A:由定义可得|PF1|-|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,由已知∠F1PF2=90°,
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2,故A错误;
对于选项B:由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即5a2=c2,所以e===,故B正确;
对于选项C:因为b2=c2-a2=4a2,所以=4,即=2,所以双曲线的渐近线方程为:2x±y=0,故C错误;
对于选项D:由双曲线C的焦距为2得c=,从而a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-=1,故D正确.
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为________.
【解析】方法一:依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,
在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,
故cos∠F1AF2===,所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2==,
整理得5c2=9a2,故e==.
方法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),
因为=-,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),则x0=c,y0=-t,
又⊥,所以·=(c,-t)(c,t)=c2-t2=0,则t2=4c2,
又点A在C上,则-=1,整理得-=1,则-=1,
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),
整理得25c4-50c2a2+9a4=0,
则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,
又e>1,所以e=或e=(舍去),故e=.
答案:
【加练备选】
　　(多选题)(2024·阜阳模拟)已知曲线C:+=1(m≠0,n≠0),则下列叙述正确的有(　　)
A.若曲线C为圆,则m=n
B.若m=-n,则曲线C的离心率为2
C.若0D.若m<0【解析】选ACD.若方程+=1(m≠0,n≠0)的曲线为圆,则m=n>0,A正确;
若m=-n,则曲线C为等轴双曲线,所以双曲线C的离心率为,B不正确;
若0若m<0双曲线C的渐近线方程为y=±x,D正确.

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