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模型53 “胡不归”模型
模型故事
胡不归
从前，有个小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了路径AB，但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时，老人刚刚咽气.邻居告诉说，老头弥留之际不断念叨着“胡不归 胡不归 …”
而如果先沿着驿道AC走一段，再走砂砾地，会不会更早些到家 在这个问题中，由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同，那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后，再走砂砾地带 虽然走的路多了，但总用时变少了，如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢
模型展现
基础模型
图示
特点 点A为直线l上一定点,点B为直线外一定点,点 P在直线l上运动
问题 如何确定点 P,使得kAP+BP(0 怎么用
直线上一定点 A ，一动点 P，B为直线外一点，求kAP+BP 的最小值，考虑“胡不归”模型
构造直角三角形，利用三角函数将含系数的线段进行转换，再根据垂线段最短化折为直，从而得到线段和最小值，最后运用锐角三角函数求解即可
如图，求这类带有系数的折线最值问题，通常我们都是将折线转化成为线段，再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解.
该模型就是利用了垂线段最短的性质，具体解题步骤如下：
一找：找带有系数k的线段kAP；
二构：在点B异侧，构造以线段AP 为斜边的直角三角形；
①以定点A为顶点作. 使得
②过动点P作垂线构造
三转化：化折为直，将kAP 转化为PC；
四求解：使得 ，利用“垂线段最短”转化为求 BD的长度.
模型典例
例1 如图,在 ABCD中,. P为CD边上一动点，则 的最小值为 .
例2 如图,在△ABC中,AB=AC=5,tanA=2,BD⊥AC于点D,点P 是BD 上一动点,则 的最小值为 .
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针对训练
1. 模型构造 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点P是BC上一点,若AC=2,BC=3,则 的最小值为 .
2. ( 模型迁移 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交y轴、x轴于A,B两点，若C为y轴上一动点，则2BC+AC的最小值为 .
3. 如图,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,P为CD 上一动点(不与D,C重合),连接AP,则 的最小值为 .
4. 拔高 ( 创新题型-填空双空题)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 垂直平分BD,相交于点O,且OB=OC,∠BAD=120°.
(1)∠ABC的度数为 ;
(2)若E 为 BD上的一个动点,BC=6,当 取得最小值时，BE 的长为 .
5. 模型迁移 如图，已知抛物线与x 轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点 C(0,-3)，D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
(2)点M为y轴上的一个动点，连接AM，求 的最小值.
模型 53 “胡不归”模型
模型典例
例1 3 【解析】如解图,过点 P 作 PH⊥AD,交AD 的延长线于点 H,过点B 作BH'⊥AH于点H',交CD于点P'.∵在 ABCD中,AB∥CD,∴ ∠HDP =∠DAB =45°,∴ PH = PH.根据垂线段最短可得，当B，P，H三点共线且BH⊥AD,即点 H 与点 H'重合时,PB+ 的值最小，最小值为 BH'的长.∵ 在Rt△ABH'中, 的最小值为3 .
例2 2 【解析】如解图,过点 P 作 PH⊥AB于点 H,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M.∵ BD⊥ 设 AD=a,∴BD=2a,∴25=a +4a ,解得 或 (舍去),. BD⊥ AC,CM ⊥ AB,∴ CM = BD = 2 ,∵∠PBH = ∠ABD, ∠BHP = ∠BDA = 的最 .
针对训练
1. 5 【解析】如解图,以点 B 为顶点,BC 为一边在下方作∠CBM=45°,过点P 作PF⊥BM于点 F,过点 A 作 AD⊥BM于点 D,交 BC 于点 E, 要使 最小，只需 最小，∵∠CBM=45°,PF⊥BM,∴△BFP是等腰直角三角形，. 最小即是 AP+FP最小,当P 与E 重合,F 与 D重合时， 的值最小，最小值是线段AD 的长度,∵ ∠CBM = 45°,AD ⊥ BM,∴∠BED = ∠AEC = 45°,∵ ∠BCA = 90°, 又∵ AC = 2,∴ AE =2 ,CE=2,∵ BC= BP 的最小值是
2. 6 【解析】∵ 一次函数 分别交.y轴、x 轴于 A,B 两点,∴ 点 A(0,3),点B( ,0),∴ AO = 3, BO = ,∴ AB = 如解图，作点 B 关于 y轴的对称点 B',连接AB',过点 C作 CH ⊥ AB'于点 H,. 又∵ 是等边三角形,∵ AO⊥BB',∴∠B'AO=30°,∵ CH⊥ 2(BC+CH),∴当B,C,H三点共线时,BC+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，最小值为 BH'的长, 如解图, 此时 BH' ⊥ AB',∵△ABB'是 等边 三 角形,. 3,∴BC+CH的最小值为3,∴2BC+AC的最小值为6.
3. 24/5【解析】如解图，延长 AD 至点 E，使得DE=AD,连接CE,∵CD=AB=4,∴在Rt△CDE中, 过点P 作PG⊥CE 于点 G,过点 A 作AF⊥CE 于点 F,交 CD 于点 P',在 Rt△CGP 中,PG= PG,当A,P,G三点共线时AP+PG最小,最小值为 AF 的长,∵ 在 Rt△CDE 中, sin E = ,∴在Rt△AEF 中,AE=AD+DE=6,AF= 的最小值为
4. (1)75°;(2)2√2 【解析】(1)∵AC垂直平分 BD,∴ AB = AD,∴ ∠ABD = ∠ADB,∵∠BAD=120°,∴∠ABD=(180°-120°)÷2=30°,∵OB=OC,OB⊥OC,∴∠OBC=45°, ;(2)如解图,作点A关于OB 的对称点 A',连接A'B,过点 A 作AG⊥A'B 于点 G,过点 E 作 EF⊥A'B 于点F,∵ ∠ABO=30°,∴ ∠A'BO=30°,∴FE= 设 AG 与OB 交于点 E',BE'即为当 最小时的BE,∵ BC=6,∠OBC=45°,∴OB=OC= A'B,∴△ABA'是等边三角形,
5.解：(1)根据题意可设抛物线的解析式为x=a(x+1)(x-3)(已知抛物线与x轴的交点,可设交点式)，
∵ 抛物线经过点 C(0,-3),
∴将点C代入γ=a(x+1)(x-3)解得a=1,
∴抛物线的解析式为
∴顶点 D 的坐标为(1,-4);
(2)如解图,以 MC 为斜边作 Rt△CME(点 E在y轴右侧)，使得
过点A作AF∥ME,交y轴于点 M',交 CE于点 F,则AF⊥CE.
根据 得∠MCE=60°,则 当A,M,E 三点共线具ME⊥CE 时,ME+AM 的值最小(垂线段最短)，最小值为AF的长，
∵AF∥ME,
∴∠AM'O=∠CME=90°-∠MCE=30°,
∵在Rt△AM'O中,OA=1,∠AM'O=30°,
即 的最小值为

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