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模型50 “射影定理”模型
模型展现
基础模型
图示
特点 △ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC
结论 1. △DBA∽△DAC AD =BD·CD; 2. △DBA∽△ABC AB =BD·BC; 3. △DAC∽△ABC AC =CD·BC
结论分析
结论1:
证明:在△ABD与△CAD中,
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C.
又∵∠ADB=∠CDA=90°,
∴△DBA∽△DAC,
即
结论2:
证明:在△ABD与△CBA中,
∵∠BAD+∠B=90°,∠B+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C.
又∵∠ADB=∠CAB=90°,
∴△DBA∽△ABC,
即
怎么用
1.找模型
在直角三角形中，有斜边上的高存在，考虑“射影定理”模型
2.用模型
射影定理构成相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，可以解决图形面积、线段长度、角度大小等问题
满 分 技法
射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高.
思 考 延伸
结论3 的证明同学们可以自己试试！
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模型典例
例1 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD于点E,若AE=3,BE=1,则矩形ABCD的面积为 ( )
A. 15 B. 20
C. 25 D. 30
例2 如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O 的弦,AB与CD交于点E,且AB⊥CD,若CD=AE=8,则OE的长为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
针对训练
1. 如图,在△ABC中,CD 是AB 边上的高,且 .若CD=4,BD=6,则AD的长为 ( )
A .B. C. 2 D.
2. 如图,在菱形 ABCD 中,AB=8,对角线 AC,BD交于点 O,过点 O 作OE⊥AB于点 E,若BE=2,则∠DAB的度数为 ( )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CE 是∠ACB的平分线,CD 为 AB边上的高,若AC=9,BC=12,则DE的长为 ( )
D.
4. 模型迁移 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 A,B 两点，与y轴交于点C，以AB为直径的⊙D经过点C，过点C作⊙D的切线交x轴于点E，则点 E的坐标为 ( )
B. (2,0)
D. (3,0)
5. 模型构造 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=4,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BC 上一点,且 DE⊥BD,则 CE的长为 .
6. 如图,在正方形ABCD 中,对角线 AC 与 BD交于点O,点E是BC边上一点,BF⊥AE于点F,连接OF.
(1)求证:△AOF∽△AEC;
(2)若AB=6,CE=2BE,求AF的长.
模型典例
例 1 D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,AE⊥BD,∴ ∠BAD = ∠AEB = 90°,∴ ∠BAE +∠DAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE= 即 = E,.. DE=9,∴BD=10,∴ S△ABD=
2S△ABD=30.
例2 B 【解析】如解图,连接BC,∵AB 是⊙O的直径,AB⊥CD,∴∠ACB=∠AEC=∠CEB= 90°,∵ ∠CAE +∠ACE = 90°,∴ ∠CAE =∠BCE.∵∠AEC=∠CEB=90°,∴ △AEC∽ 即 CE =AE·BE,∴BE= 5,∴OE=OB-BE=5-2=3.
针对训练
1. A 【解析】∵ (有平方，有垂直，逆推 可得到 三 角 形 相似)， ∵∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴∠ACB=∠CDB =90°. 由射影定理得, BI
2. D 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,在 Rt△AOB 中,( ∵AB=8,BE=2,∴AE=6,∴OE=√AE·BE= 30°,∴∠DAB=2∠OAE=60°.
3. A 【解析】∵AC=9,BC=12,∠ACB=90°,CD是AB边上的高，. 根据射影定理得 如解图，过点 A作AF∥BC交CE的延长线于点 F,则△BEC∽ CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE,∴∠ACF= 即
C 【解析】令y=0,即 解得 点A(-4,0),B(1,0),令x=0,得y=2,∴点C的坐标为(0,2).∴点D 的坐标为 如解图,连接CD,∵CE是⊙D 的切线,∴ ∠DCE=90°,∵ CO⊥DE, 艮 解得 点 E 的坐标为
【解析】如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点F,在 Rt △ABC 中,AB = AC = 4, ∠BAC = ∴点 D 是 AC 的中点,∴在Rt△ABD中, 3 ,∵DE⊥BD,∴根据射影定理可得, BF·BE,即 解得 BE =
6. (1)证明:∵四边形ABCD 为正方形,
∴OB⊥AO(正方形的对角线互相垂直)，∠ABC=90°,
∴由射影定理得
∵BF⊥AE,
∴由射影定理得.
∴AO·AC=AF·AE,即
∵∠OAF=∠EAC,∴△AOF∽△AEC;
(2)解:∵四边形ABCD 为正方形,
∴BC=AB=6.
由射影定理得

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