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模型51 “飞鱼”模型
模型展现
基础模型
图示
特点 共顶点且过顶点的两条边共线
已知 ①AB:BC=1:m;②DE:CD=1:n;③AF:DF=1:x;(④EF:BF=1:y
结论 从上述4个关系式中,任选两个作为已知条件,可求出另外两个的值.如已知AYB -m,PD=1/n则AF=n+1
结论分析
结论：已知 则
证明:如图,过点D作DG∥BE交AC于点G,
∵ DG∥BE,
∴△CDG∽△CEB,△ABF∽△AGD,
∵AB:BC=1:m,
怎么用
1.找模型
若题图中有或者包含两个三角形共顶点且过顶点的两条边也共线，形似“鱼”型，考虑“飞鱼”模型
2.用模型
确定“飞鱼”模型，可通过作平行线构造相似三角形，用相似三角形的性质解题
满 分 技 法
遇到“飞鱼”模型，常作平行线，其本质是构造“8 字”模型或“A字”模型解题.
模型拓展
拓展方向：解决“飞鱼”模型常见辅助线作法
类型 图示
过点 A 作辅助线 过点 E 与点 A 辅助线作法一样
过点 B 作辅助线 过点 D 与点 B 辅助线作法一样
过点 C 作辅助线
过点 F 作辅助线
模型典例
例 如图,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,AE:CE=1:2,F是BE的中点,连接AF并延长交BC于点 D,则BD:CD=BF:EF=1:1( )
1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3
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针对训练
1. 如图,在△ABC 中,D,E是边 BC 上的三等分点,BF 是AC边上的中线,AD,AE 分别与BF交于点G,H,若S△ABC=1,则△AGH的面积为 ( )
A. B. C.
2. 如图,PA是⊙O的切线,OP交⊙O 于点 B,点C是⊙O 上一点,连接AC,BC,AC交OP于点E,延长CB交PA于点 D,且CD⊥PA,若AE:EC=3:4,PD:DA=3:5,PB=2,则OE的长为 .
3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CE⊥AB,垂足为E,F为AC 的中点,BF 与 CE交于点 D,则 DE 的长为 .
4. 模型构造 如图,在矩形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,DE与AF,BF分别交于点P,Q.若AB=4,BC=6,则PQ的长为 .
5. 在△ABC 中,AD 是△ABC 的中线,点 E 为AB上一点.
(1)如图①,若点E 是 AB的中点,CE 与AD交于点O,求证:AO=2OD;
(2)如图②,点 F 为AC 上一点,连接EF 交AD 于点O,若 求 的值.
模型51 “飞鱼”模型
模型典例
例 B 【解析】解法1:如解图①,过点 E 作EG∥AD 交BC 于点 G.∵ F 是 BE 的中点,∴BF=EF,∴BD=DG,BD:BG=1:2,又∵AE:EC=1:2,∴DG:CG=1:2,∴BD:CD=1:3.
解法2:如解图②,过点 E 作 EG∥BC 交AD于点 G,则△AEG∽△ACD,∠EGF=∠BDF.∵AE:EC=1:2,∴AE:AC=1:3,∴EG:CD=1:3.∵F是BE的中点,∴BF=EF.∵∠BFD=∠EFG,∴△BDF≌△EGF,∴BD=EG,∴BD:CD=1:3.
解法3:如解图③,过点 F 作 FG∥BC 交AC于点 G,∵ F 是 BE 的中点,∴ G 是 EC 的中点.又∵AE:EC=1:2,∴AE=EG=GC,∴AG:GC=2:1,∴AF:FD=2:1,∴S△AFB:S△BFD =2:1.设S△BFD =S,则S△AFB =2S,又∵ BF=EF,∴S△AFE=S△ABF=2S,S△ABE=4S,∵ AE:CE=1:2,∴ S△BEC = 2S△ABE = 8S,∴ S四边形CEFD =
针对训练
1. A 【解析】如解图,过点 F 作 FP∥BC 交AE于点 P[第 1 个“飞鱼”模型],过点 H 作HQ∥BC 交 AD 于点 Q[第 2 个“飞鱼”模型],∵ BF 是 AC 边上的中线,∴ AF =FC,∴AP=PE,∴CE=2FP.∵ D,E 是边 BC上的三等分点,∴ BD = DE = EC,∴ BE =4FP,∵FP∥BE,∴△PFH∽△EBH,∴PHF= 又∵ ,∵ HQ∥BE,∴△AQH∽△ADE,△HGQ∽ ∴FH:HG:BG=2:3:5,∵AF=FC,∴S△ABF=
2. 【解析】如解图,连接OA,∵ PA是⊙O的切线,∴ OA ⊥ PA,∵ CD ⊥ PA,∴ BD∥OA,∴ △PBD∽ △POA,∵ PD : DA = 3 :
3. 【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于点G.在 Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC= 为AC 的中点, 设DG=2k,则BG=3k,CG=3-3k,∵tan∠DCG=
【解析】如解图,延长AF,BC交于点M,∵ 四边形 ABCD 是矩形,AB=4,BC=6,∴∠DCB=90°,AD=BC=6,CD=AB=4,AB∥CD,AD∥BC,∵E为BC的中点,∴BE=CE=3,在 Rt△DCE 中,由勾股定理得 DE = ∠FAD,∵ F 为 CD 的中点,CD=4,∴ CF=DF=2,又∵ ∠MFC=∠AFD,∴ △MCF≌△ADF(AAS),∴CM=AD=6,即ME=6+3=9,∵ AD∥BC,∴△MPE∽△APD,∴EPP= 延长DE 和 AB 交于点 N,同理可得 AB = BN=4,∴AN=8,∵BC∥AD,∴DE=EN=5,∴DN=10,∵ AB∥CD,∴△DQF∽△NQB,∴D = 解得
5. (1)证明:如解图①,过点D 作DG∥CE 交AB于点G,
∵ AD 是BC 边上的中线,∴BD=CD,∴BG=EG,
∵E 是AB 的中点,∴BE:EA=1:1,
则AO:OD=AE:EG=2:1,
∴AO=2OD;
(2)解:如解图②,延长 FE 与 CB 的延长线交于点M，
构造第一个“飞鱼”模型,过点 D 作 DN∥EF交AC 于点 N,则△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN,
∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3.
∵AF:FC=3:2=6:4,
∴FN:NC=MD:DC=3:1.
∵BD=CD,∴MD:CD=MD:BD=3:1.
如解图③，构造第二个“飞鱼”模型，过点 B作 BP∥EF交AD于点P,则△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO,
∴MB:BD=OP:PD=2:1.
∵AO:OD=2:1=6:3,
∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1,

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