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模型 48 “8字”模型
模型展现
基础模型
图示
特点 AC 与BD交于点 O,AB∥CD
结论 △AOB∽△COD
结论分析
结论:△AOB∽△COD
证明:∵AB∥CD,
∴∠OAB=∠OCD,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD.
模型拓展
拓展方向：由正“8字”模型向斜“8字”模型拓展
类型 斜“8字”型(蝴蝶型) 燕尾型
图示
特点 AC 与 BD 交于点 O,∠A=∠D或∠B=∠C B,D 分别是 AE,CE上的一点,AD 与 BC 相交于点 F,∠A=∠C 或∠ABF=∠CDF
结论 △AOB∽△DOC △ABF∽△CDF; △ADE∽△CBE
怎么用
1.找模型
有一组角为对顶角，且有一组边平行(或另一组角相等)，考虑“8字”模型
2.用模型
“8字”模型找对顶角之外的另一组角相等，并用相似三角形的性质解题
满 分 技法
考虑到对应边是否平行时，则分两种情况:①∠A=∠C,此时为正“8字”型;②∠A=∠D,此时为斜“8字”型，然后结合已知条件求解.
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模型典例
例1 如图,AB是⊙O的直径,弦AC,BD 相交于点E,若∠AED=60°,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
例2 如图,在△ABC中,AC=BC,AB=10,BC=13,CD是△ABC的角平分线,E是AC边上一点,连接BE,交CD于点F,若CE=7,则CF的长为 ( )
A. 3 B. 8 C. D. 10
针对训练
1. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在AB,AC 上，连接DE 并延长，交 BC 的延长线于点F,已知∠A=∠F,CE=2DE,BF=8,AB=6,则AD的长为 ( )
A. 2
B.
C. 2.8
D. 3
2. 如图,在△ABC中,D,E是BC,AC 的三等分点,且靠近点C,BE交AD 于点F,若AB=3,BC=4,则△DEF面积的最大值是 ( )
2 B. 1
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠BAD的平分线交 BC于点 E，交 DC 的延长线于点 F,则△CEF 的周长为 .
4. 如图,在 ABCD中,连接AC,过点B的直线分别与 AC,AD,CD 的延长线交于点 E,F,G.
(1)求证:△ABF∽△DGF;
(2)若BE=5,EF=2,求FG的长.
5. 模型迁移如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-3,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),连接AC.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 D 是直线AC 上方抛物线上一点，连接OD,CD,OD 交AC 于点 F,若 3:2,求点 D的坐标.
模型 48 “8字”模型
模型典例
例1 A 【解析】如解图,连接AD,∵AB 是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠CDB=∠CAB,∠ACD=∠ABD(圆周角定理),∴△CDE∽△BAE.∵ ∠AED=60°,∴cos∠AED=DE=
例2 C 【解析】∵AC=BC,CD是△ABC的角平分线,∴∠ADC=∠BDC=90°,AD=BD(等腰三角形“三线合一”),∵AB=10,∴BD=5.∵ BC = 13,∴ AC = BC = 13. 又∵ CE =7,∴AE=AC-CE=13-7=6.如解图,过点 D作 DG∥AC 交 BE 于点 G.∵ AD=BD,∴ DG是△BAE的中位线,∴ AC,∴△DGF∽△CEF,∴DF=DG,即 .在Rt△BDC 中,根据勾股定理,得CD=
针对训练
1. C 【解析】∵ ∠CEF=∠DEA,∠A=∠F,∴△CEF∽△DEA[斜“8字”型(蝴蝶型)],
设 AD =x,则 CF =2x,∴BD=AB-AD=6-x,BC=BF-CF = 8-
2. D 【解析】∵ D,E 是 BC,AC 的三等分点, ∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA[正“A字”型], AB,∴△DEF∽△ABF[正“8字”型],. ∴当S△ABD 最大时,S△DEF 最大,∵ AB⊥BD时,S△ABD取得最大值,
【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴AD∥BC,∠DAE=∠AEB,BC=AD=8,∵AE平分∠BAD,∴ ∠BAE=∠DAE,∴ ∠BAE =∠AEB,∴△ABE为等腰直角三角形,∴BE=AB=6,∴ EC = BC--BE = 8-6 = 2,AE =6 ,∵AB∥CF,∴△BAE∽△CFE[正“8字”型], 即 的周长为
4. (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CG,
∴∠ABF=∠G,∠BAF=∠FDG,
∴△ABF∽△DGF[正“8字”型];
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵AB∥CG,∴△ABE∽△CGE,
即
解得EG=12.5,
∴FG=EG-EF=12.5-2=10.5.
5. 解:(1)∵抛物线 与 x 轴交于A(-3,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),∴将A(-3,0),C(0,3)代入 得 解得
∴抛物线的表达式为
(2)如解图,过点 D 作 DG∥y 轴交 AC 于点 G,
∴OF:DF=3:2,
∵DG∥OC,
∴∠OCF=∠CGD,∠COF=∠ODG,
∵OC=3,∴DG=2,
易得直线 AC 的解析式为y=x+3,设点D的坐标为( 则点G的坐标为(m,m+3),
解得
∴点D的坐标为(-1,4)或(-2,3).

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